2025年高考數學一輪復習講義：利用導數研究不等式恒（能）成立問題（原卷版）

專題18利用導數研究不等式恒（能）成立問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................2

【考點1】分離參數法求參數范圍2

【考點2】分類討論法求參數范圍..............................................4

【考點3】雙變量的恒（能）成立問題.............................................5

【分層檢測】................................................................6

【基礎篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................7

【培優(yōu)篇】..................................................................8

真題自測

一、解答題

QinX（jr

1.（2023?全國，高考真題）已知函數/（x）=ox———0,-

cos尤12.

⑴當a=8時，討論〃x）的單調性；

（2）若〃x）<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

2.（2023?全國?高考真題）己知函數〃x）=a（e*+a）-x.

⑴討論〃尤）的單調性；

3

⑵證明：當a>0時，/（x）>21ntz+-.

3.（2023?全國?高考真題）（1）證明：當Ovx<l時，尤-尤2<sinx<x;

（2）已知函數〃x）=cosar-ln（l-x2）,若彳=。是/⑺的極大值點，求a的取值范圍.

4.（2022?全國?高考真題）已知函數/⑴=xe?-e1

⑴當a=l時，討論了（幻的單調性；

（2）當x>0時，/W<-1,求。的取值范圍；

111,,,、

（3）設〃eN*,證明：/2+/,++/,>ln（"+1）.

V1+1V22+2yjn2+n

5.（2022■全國■高考真題）已知函數=——lnx+x-a.

⑴若〃工）20,求a的取值范圍;

（2）證明：若/（X）有兩個零點占,馬，貝1占馬<1.

■考點突破

【考點1】分離參數法求參數范圍

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）已知函數十）="一#+獷-xlnx在1,2上存在單調遞減區(qū)間，則實數。的

取值范圍為（）

（2e-ll/ci

A.-oo,——B.S，2]

（2e-l\/小

C.D.（-00,2）

二、多選題

2.（23-24高三上?全國?階段練習）已知函數"x）=e*-1+爐-依，則下列結論中正確的是（）

A.當a=0時，曲線y=〃x）在（0,0）處的切線方程為y=x

B./（尤）在卜1』上的最大值與最小值之和為0

2

C.若f(x)在R上為增函數，則。的取值范圍為(e,2]

D.“X)在R上至多有3個零點

三、填空題

3.(2024?江西?模擬預測)已知關于x的不等式2e*-2xhrc-m＞0在6,+℃]上恒成立，則實數小的取值范

圍是.

四、解答題

k

4.(23-24高二下?江蘇?期中)設函數/(x)=lnx+—,k.

x

⑴若曲線y=/(x)在點(e〃e))處的切線與直線x=2垂直，求人的值：(其中e為自然對數的底數)；

⑵在(1)的條件下求/'(x)的單調區(qū)間和極小值：

⑶若g(x)=/(x)T在(0，a)上存在增區(qū)間，求左的取值范圍.

5.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習)已知函數/(x)=lnx+加-3x(aeR).

⑴若函數〃尤)在x=l處取到極值，求實數。的值；

⑵若a=1,對于任意網,馬e[1,10],當王＜%時，不等式/(%)-4％)＞一(；；占)恒成立，求實數m的取值范

圍.

6.(23-24高三下?四川巴中?階段練習)函數八])=%3+5(1_〃)%2_3以；

⑴當〃=2時，討論函數〃力的單調性；

⑵/(l)=M，"〃n龍-馬4f在xe(l,+◎恒成立，求整數機的最大值.

2x

反思提升：

分離參數法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量.構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

(2)42兀0恒成立Q。N?X)max；

aWy(x)恒成立QaWy(x)min;

a能成立Qa，火x)min;

aW?x)能成立=aW?X)max.

【考點2]分類討論法求參數范圍

一、單選題

3

1.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（%）=",若不等式恒成立，則實數。的取

（x-2）ex--,x＜0%

值范圍為（）

A.（』3）B.（6eT,+oo）

C.（6e-2,3）D.（-co,6e-2）

二、多選題

2.（2024?江西?二模）若/-巴＞aln尤-a恒成立，則實數。的取值可以是（）

尤

A.0B.e「2C.ee+1D./

三、填空題

3.（2024?上海虹口?二模）已知關于x的不等式（血-履）12-（%+3卜+4]40對任意無?0,內）均成立，則

實數上的取值范圍為.

四、解答題

4.（2024?吉林長春?模擬預測）已知4.1,函數/（x）=（xdnx-x"+l.

⑴當。=1時，求外力的最小值；

（2）若x＞l時，〃x）＜0恒成立，求。的取值范圍.

5.（2024?陜西渭南?二模）已知函數/（x）=ln（x+l）-?nr,g（x）=cos?nr-l,其中meR.

⑴討論的單調性；

⑵若/（x）+g（x）W0恒成立，求相.

6.（2024?浙江紹興?二模）已知函數/（x）=q■-x+asinx.

⑴當a=2時，求曲線y=/（x）在點（0,〃0））處的切線方程；

⑵當X?O,兀）時，〃尤）＞0,求實數。的取值范圍.

反思提升：

根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數

分類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一

個值或一段內的函數值不滿足題意即可.

【考點3】雙變量的恒（能）成立問題

一、單選題

X|

1.（2024?河南鄭州?三模）設&尤2e（0,+°°）,J.e+lnx2=1,貝l]（）

4

A.若玉=%，則不egg）B.若%七=1，則%存在且不唯一

C.再+巧>1D.玉+lax2>0

二、多選題

cosx,x<0

2.（23-24高三下?重慶?階段練習）設函數/（》）=尤0，下面四個結論中正確的是（）

—7,X>0

A.函數在（0,1）上單調遞增

B.函數y=/（x）-x有且只有一個零點

C.函數的值域為卜1,目

D.對任意兩個不相等的正實數為,三，若〃占]/仁），則者+為2<2

三、填空題

3.（2023?山西臨汾?模擬預測）已知/■>（）,而（皿找-足小+療+制時內勿此”行恒成立，貝!]/=.

四、解答題

4.（2024?重慶?模擬預測）函數〃x）=lnx

⑴討論〃x）的單調性；

（2）若函數〃尤）有兩個極值點百聲，曲線y=〃尤）上兩點（占〃%）），（尤2〃%））連線斜率記為上求證:

⑶盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個

小球編號各不相同的概率為p，求證：P<±.

e

5.（2024?河南商丘?模擬預測）已知函數〃尤）的定義域為（。,+"）,其導函數

2

7（%）=2x-\---2々（々￡R）J⑴=1-2〃.

⑴求曲線y=f（x）在點（1,/。））處的切線/的方程，并判斷/是否經過一個定點；

（2）若罵滿足。<不（尤2,且/'&）=尸（當）=0,求2〃%）-/（々）的取值范圍.

6.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（x）=ax-?,a>0.

⑴若存在零點，求。的取值范圍；

2

⑵若A，々為的零點，且玉</，證明：a（xl+x2）>2.

反思提升：

5

含參不等式能成立問題（有解問題）可轉化為恒成立問題解決，常見的轉化有:

(1)VX1￡M,3X2￡N,火光l)>g(%2)?y(X)min>g(%)min.

(2)VxiGM,V%2￡N,火%l)>g(%2)^/(x)min>g(%)max.

(3)3X1￡M,3X2￡N,火工l)>g(X2)=^3)max>g(X)min.

(4)3X1￡M,V%2￡N,J(xi)>g(x2)?^(x)max>g(x)max.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預測）Vxe[l,2],有°nt21nA-一恒成立，則實數。的取值范圍為（）

A.[e,+oo）B.[1,+co）C.■|,+cojD.[2e,+co）

2.（23-24高二下?安徽蕪湖?期中）已知函數/（x）=3xTlnx存在兩個零點，則實數f的取值范圍為（）

A.B.卜巴"C.（3e,-H?）D.（^o,3e）

3.（22-23高二上?山東荷澤?期末）己知函數/（"="-攻次與函數g（x）=e-l的圖像上恰有兩對關于x軸

對稱的點，則實數。的取值范圍為（）

A.（-a>,l-e]B.1一C.（-oo,l-e）D.（一

4.（2024?云南昆明?模擬預測）已知函數〃元）=（尤f（e，+a）在區(qū)間（-1,1）上單調遞增，則a的最小值為（）

-1-2

A.eB.eC.eD./

二、多選題

5.（23-24高三上?新疆伊犁?階段練習）下列說法正確的是（）

A.3XGR,2yoB.VXGR,x+—>2

x

C.3XGR,lnx=—D.VXGR,e%-l>x

x

3

6.（22-23高二下?甘肅定西?階段練習）若函數/（尤）=%3+萬九2—6%+Q有三個零點，則實數〃的可能取值是

（）

A.-10B.-9C.2D.3

7.（2023?全國?模擬預測）設函數〃%）=（x+l）ln（x+l）（尤>0）,若/（%）1恒成立,則滿足條件的

正整數/可以是（）

A.1B.2C.3D.4

6

三、填空題

8.(23-24高二下?天津濱海新?階段練習)已知函數/(x)=x2-21nx,若關于尤的不等式f(x)-機20在口,e］上

恒成立，則實數加的取值范圍是.

9.(20-21高二下?河北石家莊?期末)已知函數〃x)=2x+a,g(x)=liu-2x,如果對任意的4,%eg,2,

都有〃3Vg(%)成立，則實數a的取值范圍是.

10.(23-24高二上?陜西榆林?期末)已知函數/'(%)=ae=x2是R上的增函數，貝U“的最小值為.

四、解答題

11.(23-24高三上?河南,階段練習)已知函數〃x)=lnx+2<2x(“wR).

⑴當a=-l時，求函數〃x)的單調區(qū)間；

(2)若g(x)=/(》)—2d,不等式g(x)NT在［1,+s)上存在實數解，求實數”的取值范圍.

12.(21-22高三上?安徽滁州?階段練習)已知函數f(x)=f(九〃eR),在x=l處取得極小值2.

x+n

⑴求函數的解析式；

(2)求函數的極值；

⑶設函數g(x)=/_2ax+a,若對于任意玉eR,總存在/,使得g(%)W/a),求實數a的取值

范圍.

【能力篇】

一、單選題

b

1.(2024高三?全國?專題練習)函數/(%)=3-2依-6+人20對任意;^11成立，則1的最小值為()

5

A.4B.3C.-D.2

2

二、多選題

2.(23-24高二下?河南?階段練習)已知函數/(司=(。+1戶-天遙(可=-/+(4-2)%-1,則下列結論正確

的是()

A.存在aeR,使得的圖象與x軸相切

B.存在aeR,使得f(x)有極大值

C.若°>一1,則〃x)>g(x)

D.若-3<a<-1,則關于x的方程〃x)=ga)有且僅有3個不等的實根

三、填空題

7

3.(2022高三上?河南?專題練習)已知/(x)=,+jlnx+J-2x,左耳2,口)，若曲線y=/(元)上總存在不同

的兩點A&,必),B?,%),使曲線y=/(x)在AB兩點處的切線互相平行，則不飛的取