2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：空間向量及其應(yīng)用（學(xué)生版）

第54講空間向量及其應(yīng)用

知識梳理

知識點一：空間向量及其加減運算

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或

模.空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量z的起點是

A,終點是B,則向量［也可以記作荏，其模記為忖或同.

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點A與終點8重合時，

AB=O.

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向

量或相等向量.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向

量.

與向量Z長度相等而方向相反的向量，稱為Z的相反向量，記為-

(4)空間向量的加法和減法運算

?OC=OA+OB=a+b,BA=OA-OB=a-b.如圖所示.

②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律

—>—?-?—*/―?—?\—――1/—?—>\

a+b=b+a,la+b\+c=a+\b+c\

知識點二：空間向量的數(shù)乘運算

(1)數(shù)乘運算

實數(shù)力與空間向量Z的乘積力2稱為向量的數(shù)乘運算.當(dāng)彳>0時，彳￡與向量￡方向相

同；當(dāng)2<0時，向量2a與向量。方向相反.的長度是。的長度的|川倍.

(2)空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律

+b^—Aa+Ab,兒

(3)共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量

或平行向量，。平行于辦，記作。/區(qū).

(4)共線向量定理

對空間中任意兩個向量z,加仿片。)，z/區(qū)的充要條件是存在實數(shù)彳，使z=4.

(5)直線的方向向量

如圖8-153所示，/為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量3的直線.對空間任意一點

O,點尸在直線/上的充要條件是存在實數(shù)f,使麗=函+啟①，其中向量/叫做直線/

的方向向量，在/上取麗=￡,則式①可化為

赤=次+派=西+?礪-礪)=(1T)函+礪②

①和②都稱為空間直線的向量表達式，當(dāng)/=工，即點尸是線段鉆的中點時，

2

OP=^(OA+OB),此式叫做線段AB的中點公式.

(6)共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量a,作Q4=a,如果直線Q4平行于平面a或在平

面a內(nèi)，則說明向量2平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

(7)共面向量定理

如果兩個向量￡,方不共線，那么向量萬與向量加共面的充要條件是存在唯一的有

序?qū)崝?shù)對（X,y）,^p=xa+yb.

推論：①空間一點尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使

AP=xAB+yAC；或?qū)臻g任意一點O,有麗-西=%通+'正，該式稱為空間平面

ABC的向量表達式.

②已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,滿足向量關(guān)系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的點P與點A,B,C共面；反之也成立.

知識點三：空間向量的數(shù)量積運算

（1）兩向量夾角

已知兩個非零向量Z，b,在空間任取一點。，作函=￡,OB=b,則NAO6叫做向

量〃，B的夾角，記作（癡），通常規(guī)定〈乃，如果那么向量a,B互

相垂直，記作

（2）數(shù)量積定義

已知兩個非零向量3,b,則同Wcos（￡,?叫做￡,B的數(shù)量積，記作即

Z?石=WWcos（￡,B1.零向量與任何向量的數(shù)量積為o,特別地，7Z=同2.

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：

（彳々）.萬=4（〃.6），a-b=b-a（交換律）；

a-（b+cj=a-b+a-c（分配律）.

知識點四：空間向量的坐標(biāo)運算及應(yīng)用

（1）設(shè)。=3，。2，。3），5=伍也也），貝!I〃+■=（%+%。2+、2,。3+〃）；

a-b=^ax-b1,a2-b2,a3-b3^；

Aa=（Xq,4a2,2tz3）；

a-b=+a2b2+a3b3；

a//b（Z?w0）=>4=勸］,a2=Ab2,4=Ab3；

〃_LB=>%bi+a2b2+a3b3=0.

（2）設(shè)A（Xi，%,zJ,B（x2,y2,z2）,則A5=O5—OA=（%2-玉,%-必且一zj.

這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)

減起點的坐標(biāo).

（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

①已知〃=，石二伯也,&），貝=J0；+42+%2；

W==也2+%2+42；

a-b=貼1+a2b2+a3b3；

afy+a2b2+a3b3

J。；+%2+a2J42+a2+壕

②已知A（M，M，ZJ,B（X2,^2,Z2）,貝”頒卜J（石一%2）2+（%—%）2+（4—Z2）2,

或者d（A,5）=|麗卜其中d（A,8）表示A與3兩點間的距離，這就是空間兩點的距離

公式.

知識點五：法向量的求解與簡單應(yīng)用

（1）平面的法向量：

如果表示向量3的有向線段所在直線垂直于平面。，則稱這個向量垂直于平面a,記

作1_La,如果3_La,那么向量[叫做平面a的法向量.

幾點注意：

①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量3是平面的

法向量，向量正是與平面平行或在平面內(nèi)，則有正?￡=（）.

第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向￡=（%，必，zj,B=（%2，%仁）；

3一舊、田n〃?〃=（）[xx+yy,+zz.=0

果二步：那么平面法向量孔=（%，y,z）,滿足<=><].

n-b=0[-^2+yy2+zz2=0

（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線〃，b的方向向量分別為％,b.

若〃〃5,即a=丸B，則Q〃b；

若a_l_6,即q.1=0,則qj_6.

②直線與平面的位置關(guān)系：直線/的方向向量為九平面a的法向量為為，且

若方〃為，即a=2",則/J_a；

若a_L",即a"=0,則石〃ar.

(3)平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為4,平面夕的法向量為質(zhì).

若用〃為2，即4=4%，則a〃,；若用_1_2，即％?%=(),則aJ,￡.

知識點六：空間角公式.

(1)異面直線所成角公式：設(shè)Z,B分別為異面直線/「6上的方向向量，。為異面

a-b

直線所成角的大小，貝！Jcose^cos,，磯=耶一

(2)線面角公式：設(shè)/為平面a的斜線，Z為/的方向向量，3為平面a的法向量，6

為

I/ci-n

I與a所成角的大小,則sin6=cos(a,〃)=可一.

(3)二面角公式：

設(shè)4,%分別為平面。，￡的法向量，二面角的大小為6，貝11。=(1卮)或

兀-?E(需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補)，其中|cosO|=*l.

知識點七：空間中的距離

求解空間中的距離

（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量

的正射影性質(zhì)直接計算.

如圖，設(shè)兩條異面直線。，6的公垂線的方向向量為為，這時分別在a,8上任取A,B

兩點，則向量在河上的正射影長就是兩條異面直線a,匕的距離.則1=|荏.二|=也之

l?l\n\

即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量

積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.

（2）點到平面的距離

A為平面a外一點（如圖），為為平面a的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線AH.

--——.——.——.—.IAB-nIIAB-nI

\AH\=\AB\-sin0^AB\-\cos<AB,n>\=\AB\',~^=',,'

M-Hlnl

,\AB-n\

cl——

\n\

【解題方法總結(jié)】

用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直

的問題，也可以求空間角和距離.因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求

解，且其解法一般都比較簡單.

用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些

點的坐標(biāo)，進而求出向量的坐標(biāo)，再進行坐標(biāo)運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除

要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基

底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底

向量表示，并進行向量運算.

必考題型全歸納

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算

例1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中是假命題的是（）

A.任意向量與它的相反向量不相等

B.和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小

C.如果同=0,則”0

D.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

例2.（2024?全國?高三對口高考）如圖所示，在平行六面體ABCD-AAGA中，M為

4G與耳。的交點，若而=2，AD=b，羽="，貝I面7=（）

c工一17-*

B.一ClH—〃

22

cL1r]-1T*一

C.——a——b+cD.——a+—b+c

2222

例3.（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FPABC中，點。為

△ABC的重心，點，E,尸分別為側(cè)棱以，PB,PC的中點，若訝=/，b=CE，

"麗，則加=（）

11-111-121-222-2

A.-a+—b+—cB.——a——b——cC.——a——b——cD.—a+—b+—c

333333333333

變式1.（2024?高三課時練習(xí)）如圖.空間四邊形O4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,點M

在。4上，且滿足兩'=2麻，點N為的中點，則加=（）

o

1■*2；1-*2-2r1-

A.—a——b+—cB.—a+—b——c

232332

1一1一1一2-171一

C.—a+—b——cD.——a+—b+—c

222322

變式2.（2024?湖南長沙?高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體OA8C的棱8C的中點,

點N在線段。/上,S.MN=-OM,設(shè)OB=b，反金，則下列向量與正相等

3

的向量是（）

一1一1--1-1-

A.-a+—b+—cB.ClH—bT—C

3333

--ly1-cf二1一

C.—QH—b~\—C

6666

變式3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四面體O-ABC中，。是的重心,

G是。G|上的一點，且OG=2GG],若加=龍西+丁礪+z詼，則（x,y,z）為（）

A.(―)

C.(聶力口飛■）

變式4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，,11｝是空間的一組

單位正交基底，,+瓦￡-瓦可是空間的另一組基底.若向量萬在基底亞,瓦弓下的坐標(biāo)為

（4,2,3）,則向量，在基底加+反￡-￡2｝下的坐標(biāo)為（）

A.（4,0,3）B.（1,2,3）C.（3,1,3）D.（2,1,3）

【解題方法總結(jié)】

空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算，可

以類比平面向量的運算法則.

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若空間中任意四點O,A,B,尸滿足

OP=mOA+nOB其中機+w=l,則（）

A.PEABB.PEAB

C.點尸可能在直線上D.以上都不對

例5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知％=（2,-3,1）,則下列向量中與2平行的是（）

A.（1,1,1）B.（T6,-2）C.（2,-3,-1）D.（-2,-3,1）

例6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）向量2,方分別是直線4，4的方向向量，且

?=（1,3,5）,B=（尤,y,2）,若4〃3貝ij（）

13

A.x=—,y=~B.x=3,y=15

〃26-315

C.x=—,y=—D.x=—,y=—

5522

變式5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若點A（2,—5,—1）,,。（祖+3,—3,〃）在

同一條直線上，則根一幾=（）

A.21B.4C.-4D.10

變式6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知￡=（2%,1,3）,b=（l,3,9）,如果％與石為

共線向量，則1=（）

A.1B.-C.—D.一

236

變式7.（2024?浙江?高三專題練習(xí)）若4根+1,1,3）、BQm,n,m—2n）、

。徵+3,〃—3,9）三點共線,則加+"=（）.

A.0

B.1

C.2

D.3

【解題方法總結(jié)】

空間共線向量定理：a//b{b^O）^a=Ab.

利用此定理可解決立體幾何中的平行問題.

題型三：空間向量的數(shù)量積運算

例7.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知向量。5=（-1,0,2）,則下列

正確的是（）

A.o+^=（0,1,3）B.同=6C.a?b2

—JT

D.〈凡6〉=（

例8.（多選題）（2024?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中校考期中）如圖，在平行六

面體ABCD-A耳CA中，其中以頂點A為端點的三條棱長均為6,且彼此夾角都是60。，

下列說法中不正確的是（）

B.AC,1BD

C.向量前與招夾角是60°

D.向量西與衣所成角的余弦值為亞

3

例9.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）四面體ABC。中，AB±BD,CD±BD,

AB=3,BD=2,CD=4,平面ABD與平面BCD的夾角為三，則AC的值可能為（）

A.V17B.723C.735D.741

變式8.（多選題）（2024?校考模擬預(yù)測）在平行六面體ABCO-A與6。中，已知

AB=AD=AAl=l,Z^AB=ZA^AD=ZBAD=60°,貝Ij（）

A.直線AC與所成的角為90。

B.線段AC的長度為行

C.直線A。與Bq所成的角為90。

D.直線AC與平面A3C。所成角的正弦值為諉

3

變式9.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知。（0,0,0）,

m=（-1,2,1）,OB=（-1,2,-1）,DC=（2,3,-1）,則（）

A.網(wǎng)=2

B.AASC是等腰直角三角形

c.與兩平行的單位向量的坐標(biāo)為恪廠半，一,］或一恪，乎，手

I636J636J

「242、

D.0A在歷方向上的投影向量的坐標(biāo)為

變式10.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知空間向量商=（2,-1,3）,

B=（-4,2,X）,下列說法正確的是（）

A.若d，則x=1

B.若3商+5=(2,-1,10),貝ijx=l

1一

C.若己在5上的投影向量為§6,則x=4

D.若M與石夾角為銳角，則xe（；,+8]

變式11.（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）如圖，平行六面體

中，AD=BD=AAi=},ADJ.BD,ZA,AB=45°,ZA,AD=60°,則線

段BA的長為

變式12.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知空間向量4=（1,1,0）,5=（-1,0,2）,則日在方

方向上的投影向量為.

變式13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知MN是棱長為2的正方體ABCQ-A8|C|R內(nèi)

切球的一條直徑，則麗?麗=.

變式14.（2024?全國?高三對口高考）已知向量1=（1,2,3）,石=（一2,-4,一6）,同=內(nèi)，若

（a+B）?不=7,則〈扇2=.

變式15.（2024?上海?高三專題練習(xí)）已知空間向量4=（1,2,3）,9=（2,-2,0）,

c=（l,lM）,若e，（2萬+b）,貝1]4=.

變式16.（2024?上海?高三專題練習(xí)）已知向量2=（0,1,0）,向量分=（1,1,0）,則￡與萬的

夾角的大小為.

【解題方法總結(jié)】

a-B=|a||&|cos（a,b^=+yxy2+Z]Z2；

求模長時，可根據(jù)M=7?=1x；+yj+z：；

z、a-b

求空間向量夾角時，可先求其余弦值COSG，B）=F=.要判斷空間兩向量垂直時，可以

求兩向量的數(shù)量積是否為0,即Z%=0oaJ_B.

為銳角=＞。?加＞0;（a,3為鈍角=＞。/＜0.由此，通常通過計算a?各的值來判斷

兩向量夾角是銳角還是鈍角.

題型四：證明三點共線

例10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在四面體。4BC中，點M,N分別為。4、BC的中

點，^W=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三點共線，貝|x+y=.

例11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知點A（1,2,3）,B（0,1,2）,C（-1,0,

九），若A,B,C三點共線，則彳=_.

例12.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-4B1GA中，

QC=2EC,~^C=3FC.

⑴求證：A、尸、E三點共線;

⑵若點G是平行四邊形的中心，求證：D、F、G三點共線.

變式17.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在長方體ABCD-AgC.中，/為。2的中點,

N在AC上，且AN:NC=2:1,E為3M的中點.求證：4，E,N三點共線.

【解題方法總結(jié)】

先構(gòu)造共起點的向量題，AC,然后證明存在非零實數(shù)彳，使得荏=2而.

題型五：證明多點共面的方法

例13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（）

A.若向量平行，則所在直線平行

B.若向量所在直線是異面直線，則不共面

C.若A,B,C,。四點不共面，則向量前，也不共面

D.若A,B,C,。四點不共面，則向量初，AC，而不共面

例14.（2024?江蘇常州?高三?？茧A段練習(xí)）以下四組向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1,1）、（1,0,1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

例15.（2024?全國?高三對口高考）已知濟w（2,-L3）石=（—1,4,—2）忑=（7,5,乃,若

三三向量共面，則幾等于（）

62r八-64r65

A.—B.9C.—D.—

777

變式18.（2024?江西?校聯(lián)考二模）在四棱錐尸-ASCD中，棱長為2的側(cè)棱尸￡）垂直底

面邊長為2的正方形ABC。，M為棱尸D的中點，過直線的平面a分別與側(cè)棱上4、

PC相交于點￡、F,當(dāng)尸石=尸尸時，截面MEM的面積為（）

A.2亞B.2C.30D.3

—.3—-1—-—.

變式19.（2024?全國?高三專題練習(xí)）。為空間任意一點，^OP=-OA+-OB+tOC,

48

若A,B,C,尸四點共面，貝心=（）

A.1B.gC.—D.一

284

變式20.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知空間A、B、C、。四點共面，且其中任意

三點均不共線，設(shè)P為空間中任意一點，若麗=5麗-4而+4無，貝＞14=（）

A.2B.-2C.1D.-1

變式21.（2024?廣東廣州?高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型

P-ABCD,過點A作一個平面分別交尸C尸。于點E,F,G,若P￡F!=［3，名PF=1則

PB5PC2

變式22.（2024?甘肅平?jīng)?高三統(tǒng)考期中）對于空間任意一點。和不共線的三點

一一■1—■1--1―.

A,B,C,有如下關(guān)系：OP=—OA+—O2+—OC,貝ij（）

632

A.。A,5c四點必共面B.P,AB,C四點必共面

C.O,尸,&C四點必共面D.O,P,A&C五點必共面

變式23.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一

點。，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.W=1oA+1oB+|oC

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=2OA-OB-OC

變式24.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐尸-ABCD的底面邊長和高均為

⑴若點M是線段PC上的點，B.PM=^PC,判斷點M是否在平面3內(nèi)，并證明你的

結(jié)論;

(2)求直線尸3與平面AEF所成角的正弦值.

變式25.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，在幾何體A2CDE中，AABC,ABCD,△

COE均為邊長為2的等邊三角形，平面42C_L平面BCD,平面。CELL平面BCD.求證：

A,B,D,E四點共面；

變式26.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，四邊形ABE尸為正方形，若平面ABCD工平

面ABE。AD//BC,AD1DC,AD=2DC=2BC.

⑴求二面角A-CF-D的余弦值;

(2)判斷點。與平面CEP的位置關(guān)系，并說明理由.

變式27.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在邊長為3的正方體ABCD-AgC.中,

點P,Q,R分別在棱AB,AG,2。上，且A尸=4。=。氏=1.

（1）求點。到平面尸。尺的距離；

AN

（2）若平面尸。尺與線段AG的交點為N,求大的值.

變式28.（2024?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐

P-ABCD,ZABC=90°,AD//BC,S.AD=AB=-BC=2,平面PCD_L平面ABC。，且

2

△PDC是以/DPC為直角的等腰直角三角形，其中E為棱PC的中點，點尸在棱PD上，

且尸尸=2M>.

⑴求證：AB,瓦下四點共面;

【解題方法總結(jié)】

要證明多點（如A,B,C,D）共面，可使用以下方法解題.

先作出從同一點出發(fā)的三個向量（如荏，AC,AD）,然后證明存在兩個實數(shù)

x,y,使得A。=xAB+yAC.

題型六：證明直線和直線平行

例16.（2024?高二課時練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為矩形，

尸。，平面ABC。，E為CP的中點，N為。E的中點，DM=-DB,DA=DP=l,CD=2,

4

求證：MNHAP.

例17.（2024?高二課時練習(xí)）已知棱長為1的正方體OABC-0兇耳G在空間直角坐標(biāo)系

中的位置如圖所示，。,及己6分別為棱&4,4月，8。,。。的中點，求證：DE//GF.

例18.（2024?高二課時練習(xí)）如圖，四邊形43CD和A8EF都是平行四邊形，且不共

面，M,N分別是AC,8尸的中點，求證：CE//MN.

變式29.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCZ）_L平面尸CZ）,

底面ABC。為梯形.AB//CD,AD1.DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,

ZPDC=120°.若/是棱總的中點，則對于棱BC上是否存在一點凡使得ME與尸C平

行.

【解題方法總結(jié)】

將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線.設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分

別為貝!!a//Bo。=X石(XeR,2w0).

題型七：證明直線和平面平行

例19.(2024?全國?高三專題練習(xí))在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利

于采光，其中一角如圖所示，為多面體ABCDE-A耳GQ&，ABYAE,AE//BC,

AB//ED,A41_L底面ABCDE,四邊形同用6〃是邊長為2的正方形且平行于底面,

AB//AtBt,RE,gB的中點分別為尸，G,AB=AE=2DE=2BC=4,AAt=l.

CB

⑴證明：/G〃平面ac。；

例20.（2024?廣東潮州?高三校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面為

矩形，上4,平面ABC。，E為尸。的中點.

（1）證明：PB〃平面AEC

例21.（2024?天津濱海新?高三?？计谥校┤鐖D，ADHBC且AD=2BC,ADLCD,

EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG,DG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

⑴若M為C尸的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；

變式30.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CD為矩

形，平面PAD_L平面ABCD,ADLMN,AB=2,AD=AP=4,M,N分別是BC,

尸￡）的中點.

（1）求證：MN〃平面PLB；

變式31.（2024?陜西漢中?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底面ABC。

為正方形，24,平面ABC。，E為的中點，PA=AB=2.

（1）求證：尸8〃平面AEC；

變式32.（2024?全國?高三對口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯

形，AB//CD,ZDAB=60°,/C_L平面ABC￡>,AEYBD,CB=CD=CF.

F

⑴求二面角尸—。的余弦值；

Ap

⑵在線段A8（含端點）上，是否存在一點P,使得嚇〃平面AED.若存在，求出口的

AB

值；若不存在，請說明理由.

【解題方法總結(jié)】

（1）利用共面向量定理.設(shè)為平面。內(nèi)不共線的兩個向量，證明存在兩個實數(shù)

x,y,使得l=xa+yb,則///?■.

（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行.

（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）.

題型八：證明平面與平面平行

例22.（2024?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，正四棱ABC。-44GA的底面邊長1,

側(cè)棱長4,中點為E,CG中點為F.求證：平面瓦汨//平面與R尸.

例23.（2024?高二課時練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD-A旦G，中，底面ABCD為等腰

梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,4四=2,尸是棱AB的中點.求證：平面

A41AW/平面尸Cq.

例24.（2024?高二課時練習(xí)）如圖所示，平面平面ABC。，四邊形ABC。為正方

形，是直角三角形，S.PA=AD=2,E,F,G分別是線段抬，PD,C。的中點，

求證：平面EFG〃平面P8C.

變式33.（2024?高二課時練習(xí)）在正方體ABC。-4月￡。中，M,N,P分別是

CG，8C，GQ的中點，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面初VP〃平面4BQ.

【解題方法總結(jié)】

(1)證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行.

(2)轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行(常用此方法).

題型九：證明直線與直線垂直

例25.(2024?山西太原?高二統(tǒng)考期中)如圖，在平行六面體ABC。-4瑪6。中,

AB=AD=4,AAi=5,^DAB=ZDA\=ZBA\=60".

⑴求AG的長;

⑵求證：AG-LBD.

例26.（2024?北京海淀?高二?？计谥校┮阎忮F尸-ABC（如圖1）的平面展開圖

（如圖2）中，四邊形ABCD為邊長為友的正方形，A恒和△3CF均為正三角形.在三

棱錐P—ABC中：

P

（1）求點A到平面8C尸的距離；

⑵若點M在棱PC上，滿足穿一X^e，點N在棱3尸上，且曲/LAN,求警

的取值范圍.

例27.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體A8CO-44G。的所有棱長均為

0,底面ABCD為正方形，幺42=444。=1,點E為B片的中點，點戶為CG的中

點，動點P在平面ABC。內(nèi).

（1）若。為AC中點，求證：Aft1AO；

（2）若打力平面RAE,求線段CP長度的最小值.

變式34.（2024?湖南長沙?雅禮中學(xué)校考一模）斜三棱柱ABC-A4a的各棱長都為2,

NAA3=6O。，點A1在下底面ABC的投影為A8的中點。.

（1）在棱3片（含端點）上是否存在一點。使-LAG?若存在，求出8。的長；若不存

在，請說明理由；

（1）在棱B與（含端點）上是否存在一點。使4。LAG?若存在，求出3。的長；若不存

在，請說明理由；

變式35.（2024?貴州遵義?統(tǒng)考三模）如圖，棱臺ABCD-ABC'。'中，

AA'=BB'=CC'=DD'=y[5,底面ABC。是邊長為4的正方形，底面AECD是邊長為2

的正方形，連接AC,BD,DC.

⑴證明：AC'JLBD；

變式36.（2024?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱

中，CC]_L平面ABC,AC±BC,BC=AC=CCl=4,。為A4的中點,

CB1交BQ于點、E.

(1)證明：CBt±QD；

變式37.（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎比庵?/p>

中，側(cè)面朋耳2為正方形，AB=BC,E,尸分別為AC和CQ的中點，。為

棱4耳上的動點.8斤，44

⑴證明：BFVDE-,

⑴證明：EF^PC.

【解題方法總結(jié)】

設(shè)直線44的方向向量為貝。=

這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方

法.

題型十：證明直線與平面垂直

例28.（2024?內(nèi)蒙古烏蘭察布??？既＃┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，尸底面

ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，PD=DC,F,G分別是依，AO的中點.

⑴求證：G/_L平面PCB；

例29.（2024?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知直三棱柱

ABC-尸G及AC=JBC=4,AC，JBC,O為JBC的中點，D為側(cè)棱BG上一點，且

BD=-BG,三棱柱ABC-FGE的體積為32.

4

（1）過點。作OQLOE,垂足為點Q,求證：B。，平面ACQ；

例30.（2024?上海黃浦?上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，直三棱柱ABC-4耳G中,

4

ABAC=90°,\AB\=\AC\=2,IMI=-。為8C的中點，E為CG上的點，且

|CE|=*G|.

4G

⑴求證：平面A。4；

變式38.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，直三棱柱ABC-A4G的側(cè)面8CG瓦為正

方形，2AB=BC=2,E,B分別為AC,CQ的中點，BF±\BX.

(1)證明：平面4片石；

【解題方法總結(jié)】

(1)證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直.

(2)證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直.

(3)轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線.

題型H^一；證明平面和平面垂直

例31.(2024?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在正方體ABCD-A耳中，如圖￡、尸分別

是B瓦，C￡＞的中點.

(1)求證：平面，平面ADE；

例32.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知在直三棱柱ABC-中，其中

/14=2AC=4,AB=BC,P為8片的中點，點E是CG上靠近C1的四等分點，4尸與底面

A3C所成角的余弦值為亞.

(1)求證：平面AFC_L平面4所；

例33.(2024?北京豐臺?北京豐臺二中?？既?如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PA1.

平面ABC。，ADLCD,AD!IBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點尸在

PC上，且P上F」1

FC2

(1)求證：平面AEF_L平面PCD；

變式39.(2024?北京?北京四中?？寄M預(yù)測)如圖，正三棱柱ABC-44G中，瓦尸分

別是棱441,5月上的點，AlE=BF=^AAl.

(1)證明：平面CEF_L平面ACGA;

變式40.(2024?江西新余?高三江西省分宜中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，在四棱錐

尸-ABCD中，底面ABC。是菱形，ZABC=60°,AB=2,AC[}BD=O,底面

ABCD,PO=2,點E在棱P￡)上，且CE_LPE>.

(1)證明：平面尸班>_1_平面ACE；

變式41.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，在底面是矩形的四棱錐尸-ABCD中,

PA_L平面A3CD,PA=AB=2,BC=4,E是PZ)的中點.

⑴求證：平面PCD_L平面融

變式42.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，已知四棱錐尸-ABC。的底面是平行四邊

形，側(cè)面是等邊三角形，BC=2AB,AC=y/3AB,PB1AC.

(1)求證：平面尸AB_L平面ABCL?；

(2)設(shè)。為側(cè)棱尸￡(上一點，四邊形尸是過兩點的截面，且AC〃平面BEQ尸，是

否存在點Q,使得平面86次，平面尸AD?若存在，求強的值；若不存在，說明理由.

變式43.（2024?江蘇?統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P—ABC的底面為等腰直角三角形，Z

ABC=90°,AB=2.D,E分別為AC,8c的中點，平面ABC,點M在線段PE上.

（1）再從條件①、②、③、④四個條件中選擇兩個作為已知，使得平面M2。，平面P2C,

并給予證明；

⑵在（1）的條件下，求直線8P與平面M3。所成的角的正弦值.

條件①：PD=y/2-,

條件②：NPED=60。；

條件③：PM=3ME：

條件④：PE=3ME.

【解題方法總結(jié)】

（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直

（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面.

題型十二：求兩異面直線所成角

例34.（2024?寧夏銀川?銀川一中?？寄M預(yù)測）在正四棱柱ABC。-A耳￡口中，底面

邊長為1，高為3,則異面直線與所成角的余弦值是.

例35.（2024?江西鷹潭?貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體ABCD-A與GR的

棱長為1,E是棱AA的中點，G為棱BC上的動點（不含端點），記舁面直線43與EG所

成的角為a,貝！1sin。的取值范圍是.

例36.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，尸AJ_底面ABC,底面ABC

為正三角形，PA=AB,則異面直線尸3與AC所成角的余弦值為

變式44.（2024?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA1.

底面ABC,ZBAC=90。.點E、N分別為棱承、PC、3c的中點，M是線段AD的

中點，PA=AC=4,AB=2.

p

⑴求證：MN"平面BDE；

(2)己知點H在棱PA上，且直線NH與直線5E所成角的余弦值為立，求線段的長.