平面向量的概念、運算及平面向量基本定理

.05—平面向量的概念、運算及平面向量基本定理突破點(一)平面向量的有關概念知識點：向量、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、相反向量考點 |平面向量的有關概念… 一…，一，一一一一人［八， -ab -［典例］(1)設a,b都是非零向量，下列四個條件中，使同=西成立的充分條件是()A.a=—b B.a〃b Ca=2b D.a〃b且|a|=|b|(2)設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面的某個向量，則a=|a|?a0；②若a與a0平行，則a=|a|a0；③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.假命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3ab且同=ab且同=|b|，所以a，故a=2b是' =a 2b b|O|=兩=a 2b b|O|=兩=|b|向量a與向量b方向相同，故可排除選項A,B,D.當a=2b時，b|b|成立的充分條件.(2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.［答案］(1)C(2)D［易錯提醒］1 (1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小；(2)大小與方向是向量的兩個要素，1|分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上. |突破點(二)平面向量的線性運算.向量的線性運算：加法、減法、數(shù)乘.平面向量共線定理：向量b與a(a工0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)人使得b=Aa.考點一平面向量的線性運算[例1]⑴在^考點一平面向量的線性運算[例1]⑴在^ABC中，AB=c,1 2A.3b+3c5 2B.3c—3bAC=b.若點D滿足BD=2DC,則AD=()2 1 2 1C.3b—3c>3b+3cTOC\o"1-5"\h\z1 2?(2)在4ABC中，N是AC邊上一點且AN=2NC,p是bn上一點，若AP=mAB+9AC,則實數(shù)m的值是.2——2［解析］(1)由題可知BC=AC—AB=b—c,VBD=2DC,ABD=3BC=3(b—c),則ADJ J———— 2 2 1=AB+BD=c+3(b—c)=3b+3c,故選D.(2)如圖，因為AN=2NC,所以AN=3AC,所以AP=mAB+9AC= /，、：.；：mAB+2AN.因為B,p,N三點共線，所以m+3=1,則m=1. 二 1［答案］(1)D(2)3［方法技巧］1 1.平面向量的線性運算技巧：(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解.(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到||三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.|| 2.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路：(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.(2)利用平行四|［邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3)比較，觀察可知所求. ］考點二平面向量共線定理的應用

考點二平面向量共線定理的應用［例2］設兩個非零向量a和b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a一b).求證：A,B,D三點共線.(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.［解］(1)證明：因為AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共線.又AB與BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.(2)因為ka+b與a+kb共線，所以存在實數(shù)兒使ka+b=A(a+kb),\k=兒.解解得k=±1.即k=1或一1時，ka+b與a+kb共線.1=入k，［方法技巧］平面向量共線定理的三個應用（1）證明向量共線：對于非零向量a,b，若存在實數(shù)A，使a=Ab，則a與b共線.（2）證明三點共線：若存在實數(shù)A,使AB=入AC,AB與AC有公共點A，則A,B,c三點共線.（3）求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值. ［提醒］證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.突破點（三）平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任意向量a,有且只有一對實數(shù)A1,A2,使a=A1e1+A2e2.其中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面所有向量的一組基底.考點一 |基底的概念［例1］如果e1,e2是平面一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面所有向量的一組基底的是（）A.e1與e1+e2 B.e1—2e2與e1+2e2Ce1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與6e2+2e1? ［1=A,［解析］選項A中，設e1+e2=Ae1，貝”1=0無解；選項B中，設e1—2e2=A（e1+2e2），則-1=A-1=A，-2=2A無解；選項C中，設e1+e2=A(e1—e2)，則［1=A， 11=—入無解；選項D中，e1+3e2=2(6e?+2e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面所有向量的一組基底.［答案］D__.?［易錯提醒1_______ _ _ _某平面所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，不能含有零向量.考點二平面向量基本定理的應用［例2］（2016?二模）如圖，在△ABC中，設AB考點二平面向量基本定理的應用［例2］（2016?二模）如圖，在△ABC中，設ABAC=b,AP的中點為Q,BQ的中點為R1 1A.2a+2bCR的中點恰為P,則AP=（2 4C.7a+7b4 2D.7a+7b［解析］如圖，連接BP，則AP=AC+CP=b+PR，①AP=AB+BP=a+RP—RB，②①+②，得2AP=a+b—RB，③——1-1 1(RB=2QB=2(AB—AQ)=21，將④代入③，得2AP=a+b—1-2 4―解得AP=7a+7b.［答案］C［方法技巧］a-1AP平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路I(i)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基i

!本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.!突破點(四)平面向量的坐標表示.平面向量的坐標運算：(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算及向量的模；(2)向量坐標的求法.平面向量共線的坐標表示考點一平面向量的坐標運算［例1］已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4).設AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=—2b，⑴求3a+b—3c；(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n；(3)求M,N的坐標及向量MN的坐標.［解］由已知得a=(5,—5),b=(—6,—3),c=(1,8).一m=—1,解得|“=-1.(1)3a+b—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3一m=—1,解得|“=-1.(2)Vmb+nc=(—6(2)Vmb+nc=(—6m+n,—3m+8n),—3m+8n=—5,即所數(shù)m的值為一1,n的值為一1.(3)設0為坐標原點，VCM=OM—OC=3c,；.OM=3c+OC=(3,24)+(—3,—4)=(0,20),即M(0,20).又VCN=ON—OC=—2b,.\ON=—2b+OC=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),即N(9,2).；.MN=(9,—18).［方法技巧］一一一一一一一一一一一一由面向量坐標運算的技巧一一一一一一一一一一……(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.考點二 平面向量共線的坐標表示［例2］已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當k為何值時，ka—b與a+2b共線；⑵若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A,B,C三點共線，求m的值.［解］(1)Va=(1,0),b=(2,1),???ka—b=k(1,0)—(2,1)=(k—2,—1),, , 1a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),Vka—b與a+2b共線，?，?2(k—2)—(—1)x5=0,,\k=—2.(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).VA,B,C三點共線，???AB//BC,.?.8m—3(2m+1)=0,Am=3.［方法技巧］……一一一一一一一-向量共線的坐標表示中的乘積式和比例式—一一一一一一”

! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），則a||b。x1y2! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），則a||b。x1y2- x2y1 =0,這是代數(shù)運算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點在于不!j需要引入?yún)?shù)“劣”，從而減少了未知數(shù)的個數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征.（2）當x2y/0時，jjaHb。x1=y1，即兩個向量的相應坐標成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯誤.（3）公式x1y2-x2y1=0無條件x2y2N0的限制，jI便于記憶；公式x1=y2有條件x2y/0的限制，但不易出錯.所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式. i［檢驗高考能力］一、選擇題3——3__=1.設M是^ABC所在平面上的一點，且MB+2MA+］MC=0,D是AC的中點則凹的則|BM嚴值為（）1 1A.3 叼D.2解析：選A丁D是AC的中點，如圖，延長MD至￡,使得DE=MD，，四邊形MAEC為平行四邊形， 1 1 ??.MD=2ME=1(MA+MC),.?.MA+MC=2MD.:一3一3—— 3一MB+2MA+2MC=0,??.MB=—](MA+MC)=-3MD，,BM=3MD,.|MD| |MD|二'|BM|=|3MD|=3，故選A.2.在△ABC中，BD=3DC,若AD=入1AB+入2AC,則A1K2的值為(3 1 10B.行 C-2 D-v1A.16解析：選B?.?兒=4入2=74,3.— —__ _3—— 3 1——3——由題意得，AD=AB+BD=AB+4BC=AB+4(AC—AB)=4AB+4AC,3..兒入2=16.F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點，且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,則AD+BE+CF與BC(A.C.反向平行

互相垂直）B.同向平行D.既不平行也不垂直解析：選A由題意得AD=AB+BD=AB+1BC,BE=BA+AE=BA+1AC,CF=J JCB+BF=CB+1BA,因此AD+BE+CF=CB+1(BC+AC—AB)=CB+3BC=-J J JBC,故AD+BE+CF與BC反向平行.4.已知點。為^ABC外接圓的圓心，且OA+OB+CO=0,則5BC的角A等于（30°45°60° D30°45°60° D.90°解析：選解析：選A由OA+OB+CO=0,得OA+OB=OC,由。為^ABC外接圓的圓心，可得|OA|=|OB|=|OC|.設OC與AB交于點D,如圖，由OA+OB=OC可知D為AB的中點，所以OC=2OD,D為OC的中點.又由|OA|=|OB|可知OD±AB,即OC±AB,所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即NCAO=60°,故A=30°.5.xAB,已知點G5.xAB,已知點G是^ABC的重心，過點G作一條直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點，且AM=AN=A.yAC，則x+y的值為（）13B.3C.2D,2解析：選B由已知得M,G,N三點共線，所以AG=入AM+(1—川AN=AxAB+(1—川yAC.「，121 1 JAx=3，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"???點G是匕ABC的重心，??.AG=f2(AB+AC)=3(AB+AC),“ 1即1A=3X，,、1l1—入1A=3X，,、1l1—入=3y，\o"CurrentDocument"1 1 11 x+y xy1得3X+3y=1，即x+y=3，通分得-xy=3，；?x+y=3.6.若點M是^ABC所在平面的一點，且滿足5AM=AB+3AC,則4ABM與^ABC的面積的比\o"CurrentDocument"值為()12 3 4A弓氏5C-5.5解析：選C設AB的中點為D,如圖，連接MD,MC,由5AM=AB解析：選C設AB的中點為D,23即5+5=1,故C,M,D\o"CurrentDocument"得5AM=2AD+3AC①，即AM23即5+5=1,故C,M,D三點共線，又AM=AD+DM②，①②聯(lián)立，得5DM=3DC,即在^ABM與3 3△ABC中，邊AB上的高的比值為5,所以△ABM與^ABC的面積的比值為寧二、填空題.在△ABC中，點P在BC上，且BP=2PC,點Q是AC的中點，若PA=(4,3),PQ=(1,5),則bC=.解析：AQ=PQ—PA=(1,5)—(4,3)=(—3,2),AAC=2AQ=2(—3,2)=(—6,4).PC=PA+AC=(4,3)+(—6,4)=(—2,7),ABC=3PC=3(—2,7)=(—6,21).答案：(一6,21).已知向量AC,AD和AB在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若AC=入AB+UAD,則入口=.N=A+U—2=2A解析：建立如圖所示的平面直角坐標系xAy,則AC=(2,—2)N=A+U—2=2A=(1,0),由題意可知(2,—2)=A(1,2)+u(1,0),即所以Au=—3.答案：一3是兩個向量集合，則PAQ等于.P={a|a=(一1,1)+m(1,2),m￡R},Q={b|b=是兩個向量集合，則PAQ等于fm=—12,J[n=—7.,—1+m=1+2n,解析：p中，戶(―1+mJ+2m)”中，b=(1+2n，―2+3n).則J1fm=—12,J[n=—7.此時a=b=(—13,—23).答案：[(-13,-23)}.在梯形ABCD中，已知AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點.若AB=AAM+〃AN,則A+u=.—— 1 1,解析：由AB=入AM+2AN，得AB=入2(AD+AC)+p泛(AC+AB),則+2+paC=0,彳:+G+2Xad+1AD)=0,得g入+%