數(shù)學(xué)課堂探究：向量的概念

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一有關(guān)向量概念的問(wèn)題解有關(guān)向量的基本概念的題,首先,要清楚向量的兩要素:大小和方向；其次，要對(duì)共線向量、相等向量、零向量有深入的理解,分別掌握它們的特征,共線向量又稱平行向量,前提是兩非零向量方向相同或相反，并規(guī)定，零向量與任一向量平行；相等向量是兩向量大小相等且方向相同;零向量的大小為零，它的方向是任意的．【例1】給出下列六個(gè)命題:①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;②若|a|＝｜b｜，則a＝b；③若＝，則四邊形ABCD是平行四邊形；④在平行四邊形ABCD中，一定有＝;⑤若m＝n，n＝k，則m＝k;⑥若a∥b，b∥c，則a∥c．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．5解析：兩個(gè)向量起點(diǎn)相同、終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等,卻不一定有起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，故①不正確．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正確．③也不正確，因?yàn)锳,B，C，D可能落在同一條直線上．零向量方向不確定，它與任一向量都平行，故⑥中若b＝0,則a與c就不一定平行了．因此⑥也不正確．答案:C反思對(duì)向量的有關(guān)概念的理解要全面、準(zhǔn)確．要注意相等向量與共線向量(或平行向量)之間的區(qū)別和聯(lián)系;零向量的長(zhǎng)度為零，方向不確定，解題時(shí)一定要注意這一特殊向量．探究二向量的表示(1）準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的始點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)．（2)畫(huà)圖時(shí)可以按比例畫(huà)圖，要注意題中是否規(guī)定有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)．【例2】一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)B,然后又改變方向向北偏西40°行駛了200千米到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)D．(1）作出向量，，；(2)求｜｜．解：（1)如圖所示．(2）由題意，易知與方向相反，故與共線，即AB∥CD．又因?yàn)閨｜＝||，所以在四邊形ABCD中,AB綉CD．所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以｜|＝｜｜＝200（千米)．探究三相等向量和共線向量向量有兩個(gè)要素：一是大小，二是方向．兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等同時(shí)方向相同時(shí)才稱為相等的向量，即a＝b就意味著|a|＝|b|，且a與b的方向相同，還要注意到0與0是相等的向量．【例3】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形．(1）找出與向量相等的向量;(2)找出與向量共線的向量．解:(1）由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形，知，與的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和．(2)由圖可得：,，與方向相同，,，，與方向相反，所以與向量共線的向量有，，，,，，．警示誤區(qū)找一個(gè)向量的共線向量時(shí)，易忽視找出與其方向相反的向量，尤其是與本身方向相反的向量，如本題中易把漏掉．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視與本身相反的向量而致錯(cuò)【例4】如右圖，A1，A2,…,A8是⊙O上8個(gè)等分點(diǎn),則在以A1,A2，…，A8及圓心O9個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中,模等于半徑的向量有多少個(gè)？模等于半徑倍的向量有多少個(gè)？錯(cuò)解:（1)模等于半徑的有（i＝1，2，3,…，8）共8個(gè)．(2）模等于半徑倍的向量為正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的邊共8個(gè)．錯(cuò)因分析：忽略了向量的方向．正解：（1)模等于半徑的向量只有兩類：一類是（i＝1，2，…，8)共8個(gè)，另一類是(i＝1，2，…，8)也有8個(gè)，兩類合計(jì)16個(gè)．(2)以A1,A2,…A8為頂點(diǎn)的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一是正方形A1A3A5A7,另一個(gè)正方