2024年北京十二中高二（上）10月月考數學試題及答案

2024北京十二中高二10月月數 學4150120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題紙交回.第一部分選擇題（共60分）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.A0,1,B過

3,4兩點的直線的傾斜角為（ ）A.60 B.60 C.120 D.1502.已知直線l經過點2),0)，平面的一個法向量為n(2,4)，則（ ）A.l∥C.l

B.lD.l與相交，但不垂直如圖，平行六面體ABCD中，E為BC的中點，AB=a，ADb，c，則（ ）aa1bca1bcaa3bc1a1bcC. D.2 2 2設點A2,4在xOy平面上的射影為B，則OB等于（ ）29513A. B.5 C.2 D.29513在以下4個命題中，不正確的命題的個數為（ ）①若abbc，則ac；②若三個向量a,b,c兩兩共面，則向量a,b,c共面；③若abc為空間的一個基底，則bbcca構成空間的另一基底；④ab1個

abc.

2個 C.3個 D.4個6.已知向量a,b，則“abab0”是“ab或ab”的（ ）條件.A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.PA（21，﹣PB（﹣1，23PC（7，6，P，，B，Cλ＝（ ）A.9 B.﹣9 C.﹣3 D.3A，B，C，DABAC0ACAD是（ ）

，ABAD0，則BCDA.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如12331A到平面QGC的距離是（）A.1 B.14 222正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEF的棱長為2，M，N分別為AD，AC的中點，則直線BN和FM夾角的余弦值為（ ）5A.6C. 6

B. 6D. 61ABCDMNABCDP為正方體表面上及內部的點，若點P滿足DPmDAnDMkDN，其中m,n,kR，且mnk1，則滿足條件的所有點P構成的圖形的面積是（ ） 2824ADE菱形ABCD的邊長為4，A60，E為AB的中點（如圖1將 ADE沿直線EADE3處（2BC'EBCD的體積為43BC的距離為（）

，點F為AD的中點，則F到直線224（90分）4二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.已知向量a2,1),bx,y),且a//b，則xy．已知i，j，k為空間兩兩垂直的單位向量，且ai2jk，bj4k，則ab.已知a2,2,3,b2，則向量a在向量b上的投影向量的坐標為 .已知直線l斜率的取值范圍是3,1，則l的傾斜角的取值范圍是 ．長方體ABCD中，ADAB4,E,F,G分別是棱,BC,的中點，M是該長方體的面ABCD內的一個動點（不包括邊界，直線1M與平面EFG平行，則11的最值為 .PABCDABCDPAABCDPAABPC的中點，M為△PBD內一動點（不與P,B,D三點重合）.給出下列四個結論：①直線BC與PD所成角的大小為π；②AGBM；③GM的最小值為 3；④若AM 2，則點4 3 2πM的軌跡所圍成圖形的面積是6.其中所有正確結論的序號是 .三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.已知空間中三點A2,0,2,B1,1,2,C3,0,3，設aAB,bAC.（1）求aab；（2）求向量a與向量b夾角的大小.ABCD中，以頂點A1，BAD90,DAA1BAA160,M為A1C1與B1D1的交點.設ABa,ADb,AA1c.BM用abcBM，并求BMBM的值.

的值；ABCD2EBC的中點.//DC1E；FDFDC1E所成角的正弦值.PABCDPDABCDAB∥CDADC90，且ADCDPD2AB2.ABPAD；PADPBC夾角的余弦值；PB上是否存在點G（GP,B不重合DGPBC2？若存3PG在，求PB

的值，若不存在，說明理由.學習閱讀以下材料，應用所學知識解決下面的問題.類比于二維空間（即平面a可用二元有序數組1,a2nan元有序數組1,a2, ,an表示，記為a1,2, ,n，對于kR，任意a1,2, ,n,b1,2, ,n有：①數乘運算：kaka1,ka2, ,kan；②加法運算：ab11,22, ,ann；③數量積運算：ab anbn；aa a2a21 2a2n,m⑤對于一組向量aii,m

；,m，若存在一組不同時為零的實數kii2, 使,mk2a2 kmam0，則稱這組向量線性相關，否則稱為線性無關.⑥在n維向量空間中，基底是一組線性無關的向量1,2, ,n，并且在空間中的任意向量都可以由組基底線性表示，即 n，其中2, ,n是一組實數.設是n元集合A2, ,n的子集，集合元素的個數記為

，若集合組, ,同時滿足以下2個條件，則稱集合組, ,具有性質P：①

為奇數，其中i1,2,,m；②AiAj為偶數，其中i,j1,2,,m,ij.Aj當n3時，集合組, ,具有性質P，求m的最大值，并寫出相應集合組；當n8時，集合組, ,具有性質P，求m的最大值；是n元集合A2, ,n的子集，若集合組, ,具有性質P，求m的最大值.參考答案（60分12560分.【答案】B【分析】先根據兩點坐標求出直線的斜率，再根據斜率與傾斜角的關系求出傾斜角.【詳解】已知直線經過A(0,1)和B(3,4)兩點.ky21（其中(x,y)和(x,y)為直線上兩點的坐標，xx

1 1 2 2

2 1413333413333ktan（為傾斜角，已知kAB

3，即tan .33又因為傾斜角0180?，在這個區(qū)間內，滿足tan 的60.33故選：B.【答案】B【分析】根據平面的法向量與直線l的方向向量的關系即可求解.【詳解】因為直線l經過點A(1,1,2),B(0,1,0)，AB2)，又因為平面的一個法向量為n(24，n2AB，所以平面l的方向向量平行，則l，B.【答案】B【分析】根據給定條件，利用空間向量的線性運算求解即得.【詳解】在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，所以DEDAAAABBEADAAAB1ADa1bc.1 11 1 1 2 2故選：B【答案】D【分析】先得到B2,3,0，從而求出OB2,3,0，計算出模長.A24xOyB20OB20，OB 22OB 22320213故選：D【答案】C【分析】利用向量的數量積、向量共面與向量基底的定義和性質，結合特殊向量法，逐一判斷各命題即可得解.【詳解】對于①，設b0a與caba00bc0c0，abbca不一定等于c，所以①不正確，abc，它們兩兩共面（兩兩垂直abcabbcca共面，則存在實數，使得ab(bc)(ca)，abab)c1由{abcabc不共面，則1

，這個方程組無解，abbcca不共面，{abbcca構成空間的另一基底，③正確，對于④，|abcab||c|，而|ab|a||b||os|（a與b的夾角，所以|abca||b||cos||ca||b||c|，④不正確，3個.故選：C.【答案】A【分析】結合向量的數量積，根據充分必要條件的定義判斷．ababab0ab0，則abab0，必要性滿足，若a0b，則abab0ab，即充分性不滿足，故題設條件關系為必要不充分條件．故選：A．【答案】B【分析】由已知可得PA,PB,PC共面，根據共面向量的基本定理，即可求解.P，A，B，CPBPC共面，PCxPAyPB(2xy,x2y,3x3y)(7,)，2xy7x2y63x3y

x4，解得y1 .9故選:B.【點睛】本題考查空間四點共面的充要條件以及平面向量的基本定理，屬于基礎題.【答案】ABCBDAB02【分析】根據題意，得到BCACAB，BDBCBDAB02

，根據BCBDcosBBCBD，即可判斷B的大小；利用上述方法求得DBDC0，CBCD0，即可判斷C和BCBDD的大小，進而可以判斷出三角形的形狀.BCBDBCBD(ACAB)(ADAB)ACADACABABADABAB022cosB

BCBDBC

0，B為銳角，同理：DBDC0，CBCD0，D和C都為銳角，∴BCD為銳角三角形.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量的加減運算法則與向量數量積的運算，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，求平面QGC的法向量，用點到平面的距離公式計算即可.【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示：則C(02002G(02)0QC22)QG0AC0，設平面QGCn(x,y,z)，則nQC0，即x0

，則平面QGC的一個法向量為n(0,1,1)，A到平面QGCd

nQG0nnn22

x2y2z0故選：C【答案】D【分析】根據題意得到BN1ACAB，FM1ADAB，然后由向量的數量積公式分別求出2 2FMFMBN,FM,BN【詳解】如圖所示：由題意，可得BNANAB1ACAB，FMFDDMBADM1ADAB，2 2又由正八面體ABCDEF的棱長都是2，且各個面都是等邊三角形，2在△ABD中，由ABAD2,BD2 ，可得AB2AD2BD2，所以，所以2FMBN1ADAB1ACAB 2 2 1ADAC1ADAB1ABACAB24 2 2122101221221145；4 2 2 2 2 2BNBN 1ACAB221AC2ACABAB241222122221421243FMFM 1ADAB221AD2ADABAB24122012204104FMBNFMBN所以cos

15，FM,FM,BN 5253即直線BN和FM夾角的余弦值為15.6故選：D.【點睛】關鍵點點睛：選取適當的基底向量AB,AC,AD，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把FM,BN分解，然后由向量的夾角公式即可求解.【答案】APMN【詳解】因為DPmDAnDMkDN，mnk1，

ACB1，然后可計算面積．PMNN

ACB1，2P2

ACB1，1

邊長為 ，P構成的圖形的面積為

3(2)2 3，4 2故選：A．【答案】ADEAEBAEBCDEEEBED所在的xyz軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】連接BD，因為四邊形ABCD為菱形，且A60，所以△ABD為等邊三角形，AE因為E為AB的中點，所以DEAB，所以DEEB,DEAEEB

，EB,AE平面AEB，所以DE平面AEB，因為菱形ABCD的邊長為4，所以ABADCDBC4,DE23,AEBE2，3BCDE1(24232

6 ，33AEBCDh164333所以hAE，所以AE平面BCDE，

，得h2，所以以E為原點，EB,ED,EA所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則B(0,0),C(23,0),F(所以BC(23,2,0)，

3,，cBC 31 所以 , ,0,aFB(3,2,BC 2 2 aa 34122,ac31122FBCd故選：A

31，aaac 81224第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.【答案】-9【分析】3根據a//b，由

xy

，求得x,y即可.1 2 1【詳解】因為向量a(1,2,1),b(3,x,y),且a//b，所以3xy，1 2 1解得x6,y3，所以xy9.故答案為：-9【答案】3【分析】根據數量積的運算律計算即可.abi2jk3ij4k3i22j24k23243.故答案為：-3.15.【答案】1,1,2【分析】根據投影向量公式計算即可.【詳解】因為a2,2,3,b1,1,2，b 2262則向量a在向量b上的投影向量為 · · 1,2.b b故答案為：1,1,2.16.【答案】0, ,

114 1144 3 【分析】根據斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為直線l斜率的取值范圍是3,1，所以當斜率0k1時，傾斜角0，433當斜率 k0時，傾斜角3

，綜上傾斜角的取值范圍0, ,，4 3 故答案為：0, ,4 3 【點睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角，屬于中檔題.11【答案】4【分析】作出截面EFG，由平行得出M點軌跡是線段AC，建立空間直角坐標系，設出M點坐標，用坐標計算出數量積后，結合二次函數知識得最小值．【詳解】解法一：EFG分別是棱BCAB,HIJEFGEGFHIJ，如圖，C連接D1C,CA,AD1，則CD1//EG，又CD1平面EFG，EG平面EFG，同理ACC而AC

，AC,CD1平面ACD1，//EFGMAC//EFG，MAC，DCxyzD1(000，C(0,4,0)，在平面ABCD內，設直線AC方程為xy1，即設M(a,44a,0)，(0a3)，3 4 3MB3a4aMDa44a，1 3 1 3

a(3a)4a(44a)925a225a925(a3)211，3 3 9 3 9 2 4所以a3時，MBMD取得最小值11，2 1 1 411故答案為： ．4解法二：如圖，分別以AB、AD、AA1方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系可得：E2,3,3，F4,3,0，G4,3,3，D0,3,3，B4,0,3，設Mx,y,0， 2 2 1 1 EF3,3，FG3,3，DMx,y3， 2 22 1 EFGnxyz，2x3y3z0EFn0 2則FGn0，得3 3 ， y2 2

z0y1x3y1z1n31.4 4 由于直線D1M與平面EFG平行，則D1Mn0，得：3xy330，即：y3x.4 44x,y,3，x,3y,3，

4xxy3y9x24xy23y9，2x24x3x2

9x9

25x225

x9

5x2

11，4

4 16

16 4x04x2

取得最小值，最小值為 .411故答案為： ．4【答案】①②④【分析】根據異面直線所成的角即可判斷①，根據空間中的垂直關系轉化即可證明AG平面PBD，即可求證線線垂直進而判斷②，根據點到面的距離為最小值，利用等體積法即可求解③，根據圓的面積即可判斷④.BC//AD，所以PDABCPD所成的角或其補角，由于PA底面ABCD,AD平面ABCD，所以PAAD,又PAAD1，所以PDAπ，①正4確；由于PA底面ABCD,CD平面ABCD，所以PACD,又ADCD,PAADA,PA,AD平面PAD，所以CD平面PAD,取PD中點為N，連接NA,NG,由于GPCNG//CDNGPADPDPADNGPD，PAAD1PDNPDAN,ANNGNANNGANGPDANGAGANGPDAG,ACBDBD,PAACACPACBDPAC,AGPAC,BDAG,PD BDDPDBDPBDAGPBDMBPBD,所以AGBM，故②正確；當GM平面PBD時，GM最小，設此時點G到平面PBD的距離為h，V V

1V

1V

1V

111111,GPBD DPBG

2DPBC

2PDBC

4PABCD

4 3 12所以VGPBD

13

h1,12AD2PDAD2

，故△PBD為等邊三角形，S 122 3 3,所以V

1

3h

1h

23，故③錯誤；2

PBD

2 2 2GPBD

3 2 12 6由③得點G到平面PBD的距離為3，不妨設G在平面PBD的投影為H,6所以點C到平面PBD的距離為 3,3由于AC被BD平分，所以A到平面PBD的距離為 3,3由②知AG平面PBD，所以H,G三點共線，即AH 3，32AM2AH又AM ，所以2AM2AH2

, 2 2 322 2 36 62 π因此點M的軌跡圍成的圖形是以點H為圓心，以HM為半徑的圓，所以面積為π6

，故④正6確.故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何中線面垂直關系的證明、異面直線所成角和點到面的距離的求解、截面面積的求解問題；求解點到面的距離的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉化為三棱錐高的問題的求解或者利用坐標系，由法向量法求解..三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.【答案（1）1 （2）120（（2）先求出a和b的坐標，再借助坐標運算，數量積和夾角坐標公式分別計算兩小問.【小問1詳解】A(202)2)C(30.aAB(1(2),122)0),bAC(3(2),00,32)(1,0,1),所以ab(1(1),10,01)(0,1,1),則a(ab)(1,1,0)(0,1,1)1011011.【小問2詳解】根據向量點積公式ab|a||b|cos，ab1(1)10011，|a||b

02 ，2(1)20212 2，2則cos所以120.【答案（1） 62

1，aab1|a||b| 22（2）2（1）abcBM公式求出|BM|的值；（2）先求出AC1，再根據向量數量積的運算規(guī)則求出BMAC1的值.【小問1詳解】ABCDMM中點，又因為ABa,ADb,AA1c，且平行六面體中A1B1ABa，A1D1ADb，BM1BA1BM1BA1BCBC1BB1B1C1cb因為BC1BB1B1C1cbBMBM1(ca)1(cb)1b1ac2 2 2 2BMBM|2(1b1ac)21b21a2c21abcbca2 2 4 4 2因為BAD90，所以ab0，又|a||b||c|1，DAA1BAA160，所以cacb|c||a|cos601111，2 2|BM|21111110113，所以|4 4 2 2 2 2【小問2詳解】BMAC(c1a1b)BMAC(c1a1b)(abc)所以

6.BM|BM|321 2 2cacbc21a21ab1ac1ba1b21bc111100111112.2 2 2 2 2 2 2 2（1）證明見詳解；（2） 23【分析（1）連接，O，得OE//，則根據線面平行的判定定理即可證明//平面DC1E；（2）利用空間向量法，即可求直線DF與平面DC1E所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，O，連接OE，OEBC的中點，OE//DC1EOEDC1E，BD1//平面DC1E；【小問2詳解】如圖所示，以點D為坐標原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，D(00)C1(0220B(2002F，(0,2)，DE2,0)，DF設n(x,y,z)為平面DC1E的一個法向量，則nD102y2z0

，令x2，得n(2,1,1)，nDE0

x2y0設直線DF與平面DC1E所成角為，DFnDFnDFnDFn2116323故直線DF與平面DC1E所成角的正弦值為 2.3（1）證明過程見解析2（2）38（3）9【分析】（1）根據線面垂直的性質定理，結合線面垂直的判定定理進行證明即可；根據線面的垂直關系，建立空間直角坐標系，利用空間向量平面間夾角公式進行求解即可；利用空間向量線面角夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】PDABCDABABCD，PDAB，又因為AB∥CD,ADC90，所以ADAB，而AD PDD,AD,PD平面PAD所以AB平面PAD；【小問2詳解】PDABCDADCDABCD，PDCDPDAD，而CDAD，于是建立如圖所示的空間直角坐標系，D0,0,P0,2,A2,0,B2,1,0,C0,0，由（1）可知：AB平面PAD，所以平面PAD的法向量為AB0,1,0，PBC的法向量為=(??????B,,2,C,,2，則有mPB02xy2z0m,,2，mPC

2y2z0設平面PAD與平面PBC夾角為，cos

AB

2 2； ABm 1144 【小問3詳解】PGPB0,1，設Gxyz，于是有xyz22,12G222，DG2,,22，由（2）可知平面PBC的法向量為m1,2,2，假設DG與平面PBC所成角的正弦值為2，則有3DGmDGmDGm 3222441444222238即PG .8PB 9

89

，或0舍去，23（1）3（2）8（3）n（1）

分類討論，得到最大值的可能情況，舉例并驗證滿足兩個條件即可；給出n8時具有性質P的集合組：1,2,3, ，驗證分析，再應用反證法，借助向量運證明m9時任意集合組不具有性質P，從而得m最大值為8；給出具有性質P的集合組：,n，驗證分析，再應用反證法，借助向量運算證明mn1Pmn.【小問1詳解】當n3時，A1,2,3.集合組, ,具有性質P，則

為奇數，所以

1或3.

1時，則Ai可能是1,2,3.

3時，則Ai可能是1,2,3.若集合組, ,中包含2,，設則對于其他集合Aj(j，要使Aj為偶數，Aj所有可能集合為2,2故集合組, ,中不包含2,，具有性質P的集合組中只可能包含1,2,3；

為奇數.AjAi若集合組中存在兩個集合Ai,Aj相等，由AiAj,i,j1,2,3,AjAi

AjAi，則Ai

為奇數，不滿足條件②，故集合組, ,中任意兩個集合不相等，即至多含3個集合故m3.若集合組為：1,2,3，設A11,A22,A33，則有①Ai1為奇數，其中i1,2,3；Aj0為偶數，其中i,jij；所以集合組A1,A2,A3具有性質P.綜上，m的最大值為3，相應滿足條件的集合組為：A11,A22,A33.【小問2詳解】集合A,.設其子集A對應向量(a,a, ,

)，其中ak，k2, ,n.i i i1 i2

ik 0,kAi

nni為奇數，則為奇數，即ik1

為奇數，i2, ,n；又由0001100,111可知，

nnAj為偶數，則ijaikajk為偶數，i,j2, ,n，且ij.Ajk1,n,i且由條件可知，，且Aj,i,j,n,i當n8時，A,8.若集合組為：，設,，則有①1為奇數，其中i2,,8；,8,ij②Aj0為偶數，其中i,j2,,8,ij所以集合組,,, ,具有性質P，此時m8.,8,m9,8,設,，

不符合題意.則10),20),3(0,0), ,8(0,.,8,,8,

具有性質P，設集合對應向量9x2, ,，其中x2, ,中有奇數個為1，其余為0，且(i2, ,8)不妨理解為這9個集合對應8維空間中的9個向量1,2, ,9，,9,ij且ii為奇數，i2, ,9，ij為偶數，i,j,9,ij下面用反證法證明A2, ,A8,不具有性質P.證明：假設A2, ,A8,具有性質P，由由9x22 x88則911x221 x881若1時，則1為奇數，而x221 x881為偶數，則91為奇數，這與i所以x11，則x10；

i,j,i

j為偶數矛盾，.同理，由9i(i,8)為偶數，可得0(i2,,8).故90,,0，即，

0

為奇數矛盾.,8,,8,

不符合題意.下面證明任意集合組,, ,,都不具有性質P.證明：假設存在一個集合組,, ,,具有性質P.設集合組中, ,分別對應8個向量1,2, ,8若1,2, ,8線性無關，則可為8維向量空間的基底，又由對應向量i(ai1,2, ,ain)中aik1或0，k2, ,n，88則9ii，Q，且i不全為0,i2, ,8.i1即可轉化為存在不全為0的9個整數k1,k2, ,k9使得k22 k88k990，且其中向量等式中的整系數k1,k2, ,k9為最簡形式（不可再約）.則1k221 k881k9910為偶數，其中11為奇數，k221 k881k991為偶數，若k1為奇數，則k111為奇數，則1k221 k881k991為奇數故這與1k221 k881k9910產生矛盾，所以k1為偶數.同理可得ki均為偶數，i2,,9.這與9個整系數k1,k2, ,k9不全為0且不可約的最簡形式矛盾.因此，若1,2, ,8線性無關，則集合組, ,不具有性質P；設集合組中, ,分別對應8個向量1,2, ,8若其中, ,對應8個向量1,2, ,8線性相關.又由對應向量i(ai1,2, ,ai8)中aik1或0，k2, ,8.88則存在Q，且i不全為0,i2, ,8，使得ii0，i1即存在不全為0的8個整數t1,t2, ,t8，使得t22 t880且其中向量等式中的整系數t1,t2, ,t8為最簡形式（不可再約）.則1t221 t8810為偶數，其中11為奇數，t221t331 t881為偶數，若為奇數，則1為奇數，則1t221這與1t221 t8810產生矛盾，所以為偶數.同理可得ti均為偶數，i2,,8.

t881為奇數，這與8個整系數t1,t2, ,t8不全為0且不可約的最簡形式矛盾.因此，若向量1,2, ,8線性相關，集合組, ,不具有性質P由（i（i可知假設錯誤，故任意集合組1,2, ,9都不具有性質P.綜上所述，m的最大值為8.【小問3詳解】集合A,.若集合組為：,n，設,，

1為奇數，其中i2,,n；②

Aj0為偶數，其中i,j2,；,n,i即滿足條件①②，所以集合組,, ,具有性質P，此時m,n,i下面證明當mn1時，任意集合，集合組：1,2,3, ,n,不具有性質P.不妨設,，則則1,0),2,0),3(0,,0), ,n(0,,若集合組為：1,2,3, ,n,