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垂徑定理3上海市初級(jí)中學(xué)名師制作一、復(fù)習(xí)引入垂徑定理及其推論可歸納為:
在圓中,對(duì)于某一條直線“
”、“
”、“
”、“
”這四組關(guān)系中,如果有兩組關(guān)系成立,那么其余兩組關(guān)系也成立.經(jīng)過圓心垂直于弦平分弦平分弦所對(duì)的弧
注:當(dāng)條件為“直線經(jīng)過圓心”、“平分弦”時(shí),還要指出這條弦不是直徑,才能推出其余兩組關(guān)系.二、例題講解例題1如圖,已知PB、PD與⊙O分別交于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D,且AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分別為M、N
.求證:PA=PC.解∵AB=CD,∴AM=CN,OM=ON.∴PM=PN.AB=CDPA=PC二、例題講解將本題中的條件和結(jié)論互換,把PA=PC作為條件,能得出AB=CD這個(gè)結(jié)論嗎?思考∴∠APO=∠CPO.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴OM=ON.∴AB=CD.二、例題講解如圖,已知⊙O的半徑長(zhǎng)為5,弦AB與弦CD平行,它們之間的距離為7,AB長(zhǎng)6,求弦CD的長(zhǎng).例題2聯(lián)結(jié)OA、OC,∵AB∥CD,∴OF⊥CD
.得EF的長(zhǎng)是AB與CD間的距離,即EF=7.∵OE、OF過圓心,∵AB=6,∴AE=3.∴OF=EF-OE=7-4=3.∴CD=2CF=8.解過點(diǎn)O作OE⊥AB,垂足為E,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F.二、例題講解已知⊙O的半徑長(zhǎng)為5,弦AB與弦CD平行,如果AB=6,CD=8.那么AB與CD之間的距離是7嗎?思考過點(diǎn)O作OE⊥AB,垂足為E,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F;分別聯(lián)結(jié)OA、OC.∵AB∥CD,∴OF⊥CD得EF的長(zhǎng)是AB與CD間的距離.∵OE、OF過圓心,∵AB=6,CD=8.∴AE=3,CF=4.當(dāng)AB與CD在圓心兩側(cè)時(shí),EF=OE+OF=7.當(dāng)AB與CD在圓心同側(cè)時(shí),EF=OE-OF=1.∴AB與CD之間的距離為7或1.解二、例題講解已知△ABC是半徑長(zhǎng)為5的⊙O的內(nèi)接等腰三角形,且底邊BC=8,求△ABC的面積.例題3聯(lián)結(jié)BO.或聯(lián)結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)O.∵AB=AC,又∵AD過圓心,∵BC=8,∴BD=4.當(dāng)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部時(shí),AD=AO+DO=5+3=8.當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外部時(shí),AD=AO-DO=5-3=2.∴△ABC的面積為32或8.解過點(diǎn)A作AD⊥BC.∵AB=AC,∴點(diǎn)O在AD上.三、歸納小結(jié)一.垂徑定理及其推論二.運(yùn)用垂徑定理及其推論解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題1.合理添加輔助線2.構(gòu)造直角三角形解決問題3.
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