2024-2025學年滬教版九年級數(shù)學上學期復習：相似三角形

專題02相似三角形（考點清單，知識導圖+2個考點清單+4

種題型解讀）

考點儕單

★相似三角形的預備定理

?相似三角形判定定理1

相似三角形的判定?相似三角形判定定理2

?相似三角形判定定理3

?直角三角形相似判定定理

相似三角形

★定義：對應角相等，對應邊成比例

?相似三角形性質(zhì)定理1

相似三角形的性質(zhì)

?相似三角形性質(zhì)定理2

?相似三角形性質(zhì)定理3

【清單01】相似三角形的判定

預備定理：平行于三角形的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形

與原三角形相似;

判定定理1:兩角對應相等，兩個三角形相似;

相似三角形的

判定定理2：且角相

判定定理3：三邊對應成比例，兩個三角形相似；

RtA相似的判定：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似

【清單02】相似三角形的性質(zhì)

'基本性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；

性質(zhì)定理1：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比;

‘性質(zhì)定理2：相似三角形的周長的比等于相似比；

、性質(zhì)定理3：相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

注：以上定理均要從文字、圖形、符號三個方面去理解掌握.

題型帳單

【考點題型一】相似三角形的性質(zhì)（共8小題）

【例1】（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如果兩個相似三角形的周長比為1:4,那么它們的對應中線的比為

A.1:16B.1:2C.1:4D.1：V2

【分析】據(jù)相似三角形的周長的比等于它們的相似比1:4,然后再利用對應中線的比等于相似比求解即可.

【解答】解：?.?兩個相似三角形的周長比為1:4,

.?.它們的相似比為1:4.

.?.它們的對應中線的比為1:4,

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的周長的比等于相似比是解答此題的關鍵.

【變式「1】（2024?崇明區(qū)）如果兩個相似三角形的周長之比為1:4,那么它們對應邊之比為（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答即可.

【解答】解：???兩個相似三角形的周長比為1:4,

它們的對應邊的比=1:4.

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形對應邊的比等于相似比，面積的比等于相似比的

平方.

【變式1-2］（2023秋?黃浦區(qū)期末）已知：dABigs△4避夕2s△A3B3c3,如果△4月。|與△A&C2的

相似比為2,與△4尾。3相似比為明那么△/內(nèi)。|與△4名。3的相似比為（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比寫出對應邊的比，計算出44與44的比值，也就是兩三角形的相似比.

【解答】解：△481Gs△422c2s△A3BG,如果△4AG與4422c2的相似比為2,△A2B2C2與4

423c3相似比為4

/.AR:A2B2=2:1,A2B2:A3B3=4:1,

設A3B3=x,貝UA2B2=4%4耳=8%,

4^1:=8：1,

.?.△4月。1與△4員。3的相似比為8.

故選：D.

【點評】根據(jù)相似三角形的相似比寫出對應邊的比，計算出同月與4質(zhì)的比值，也就是兩三角形的相似比.

2

【變式「3】（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）兩個相似三角形的相似比是5:7,小三角形的周長為20cm,

大三角形的周長是cm.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，周長比等于相似比，由此即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得，相似比為5:7,

大三角形的周長是20+：=28（cm）,

故答案為：28.

【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，理解和掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角

形的周長比等于相似比是解題的關鍵.

【變式1-4]（2023秋?閔行區(qū)校級月考）已知兩個相似三角形的周長比為4:9,那么這兩個相似三角形的

面積比為.

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比求解.

【解答】解：???兩個相似三角形的周長比為4:9,

.?.相似比為4:9,

.,.這兩個相似三角形的面積比為16:81,

故答案為：16:81

【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式『5】（2023秋?虹口區(qū)期末）一個三角形框架模型的邊長分別為3分米、4分米和5分米，木工要

以一根長6分米的木條為一邊，做與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是—平方分

米.

【分析】由相似三角形的判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似求出三角形最大的三邊，根據(jù)勾股

定理的逆定理判斷新三角形是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：當長是6分米的木條與三角形框架模型的邊長最短的3分米一條邊是對應邊時，做出的三角

形的三邊最大，面積最大，

設長是4分米，5分米的邊的對應邊的長分別是。分米，6分米，

3:6=4:a=5:6,

。=8,6=10,

.?.其他兩條邊的長分別是8分米，10分米，

62+82=102,

.?.做出的三角形是直角三角形，直角邊分別是6分米，8分米，

.?.做出的三角形的面積為』x6x8=24（平方分米）.

2

故答案為：24.

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握當長是6分米的木條與三角形框架模型的

3

邊長最短的一條邊是對應邊時，做出的三角形的三邊最大，是解決問題的關鍵.

【變式1-6](2023秋?金山區(qū)期末)在A48C中，AC=6,P是48邊上的一點，。為/C邊上一點，直

線尸。把A43c分成面積相等的兩部分，且A4PQ和A48c相似，如果這樣的直線尸。有兩條，那么邊48長

度的取值范圍是.

【分析】分兩種情況進行討論，畫出圖形，根據(jù)面積之比等于相似比的平方即可解答.

【解答】解：如圖，當AXPQsAASC時，

-----二(---)=—,

FBC4B2

.?.只要滿足這=邈=亞，都能滿足題意,

ABAC2

如圖，當時，

..二尸。_（4P）2_j_

"~S^~AC—5'

.AP_AQ

AP=—AC=342,AQ=—AB,

22

vAPAB,AQAC,

4

5

AB372,—AB6,

2

3A/2AB6V2,

當N8=6=/C時，金字塔型和子母型完全重合，此時只有一種情況，

/.AB,

綜上所述，直線尸0把AA8C分成面積相等的兩部分，且ZUP。和ZU8C相似，如果這樣的直線尸。有兩條,

那么邊”長度的取值范圍是3直AB6亞且4836.

故答案為：3夜AB6a且

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關鍵.

【變式1-7］（2023秋?普陀區(qū)期末）如圖，在AA8C中，NACB=90。，CD是N8邊上的高，如果NC=5,

CD=4,那么與ACS。的相似比左=.

【分析】相似三角形對應邊的比叫相似比，由此即即可求解.

【解答】解：是48邊上的高，

ZADC=90°,

■：AC=5,CD=4,

AD=4AC1-DC2=3,

VZACB=90°,CD是N8邊上的高，

ZADC=ZBDC=90°,

???N4+ZACD=ZBCD+ZACD=90°,

ZA=/BCD,

:.AACDs&CBD,

AD3

z.\ACD與\CBD的相似比左二——二一.

CD4

故答案為：I.

ADB

5

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握相似三角形相似比的定義.

【考點題型二】相似三角形的判定（共7小題）

【例2】（2023秋?金山區(qū)期末）如圖在4x1的方格中，每一個小正方形的頂點叫做格點，以其中三個格點

為頂點的三角形稱為格點三角形，A42C就是一個格點三角形，現(xiàn)從A42C的三個頂點中選取兩個格點，再

從余下的格點中選取一個格點聯(lián)結成格點三角形，其中與A48c相似的有（）

C.3個D.4個

【分析】根據(jù)“三邊對應成比例的兩個三角形相似”求解即可.

【解答】解：如圖,

根據(jù)勾股定理得，AD=Vl2+12=V2,AC=732+12=V10-BC7f+F,BE=@+F=石,

CF=A/22+12=V5，

XvAB=2,CD=2,BF=1,

AD,CDAB_2=收，生="=收，"日

--=1,---=

CBAB條I~BC42CE1BF

AC=V2，

ADCD_ACABAC_BCBC_AB_AC

~CB~~AB~^4C，拓一拓―_5C-CF

...\ABC^\CDA,AABCSMCE,\ABC^\CBF,

故選：C.

【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

【變式2-1］（2023秋?奉賢區(qū)期末）如圖，將A45C繞點8順時針旋轉，使得點4落在邊/C上，點/、C

的對應點分別為。、E,邊DE交BC于點F,聯(lián)結下列兩個三角形不一定相似的是（）

BC

6

A.AB4D與ABCEB.ABD尸與AECRC.NDCF與2EFD.NDBF與NDEB

［分析］根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到AB=DB,/ABC=ZDBE,BC=BE,ZA=ZBDD,ZACB=ZDEB,再

根據(jù)相似三角形的判定定理判斷求解即可.

【解答】解：如圖，

根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，\ABC=ADBE,

AB=DB,NABC=ZDBE,BC=BE,ZA=ZBDD,ZACB=NDEB,

ABDB

ZABD=ACBE,

BC~BE

NBAD^NBCE,

故N不符合題意;

ZABD=NCBE,AB=AD,BC=BE,

ZA=ABDA=ABCE=NBEC,

NBDF=ZECF,

又；ZBFD=ZEFC,

ABDFSRECF,

故8不符合題意；

NDCF=ZBEF,ZDFC=NBFE,

NDCFSABEF,

故C不符合題意；

根據(jù)題意，無法求解ADBF與NDEB相似，

故。符合題意；

故選：D.

【點評】此題考查了相似三角形的判定、旋轉的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定、旋轉的性質(zhì)是

解題的關鍵.

【變式2-2］（2023秋?徐匯區(qū)期末）下列兩個三角形一定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.兩個等腰三角形

7

C.兩個等邊三角形D.兩個面積相等的三角形

【分析】由相似三角形的判定，即可判斷.

【解答】解：4、B、。中的兩個三角形不一定相似，故/、2、。不符合題意;

C、兩個等邊三角形相似，故。符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查相似三角形的判定，等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握相似三角形的判定方

法.

【變式2-3]（2024?靜安區(qū)校級模擬）如圖，已知AA8C與A&DE都是等邊三角形，點。在邊ZC上（不

與點/、。重合），DE與48相交于點尸，那么與A5Z）廠相似的三角形是（）

A.NBEFB.NBDAC.NBDCD.M.FD

【分析】由相似三角形的判定，即可判斷.

【解答】解：??,AABC與ASDE都是等邊三角形,

NE=ZBDE=ZEBD=60°,ZC=ZA=ZABC.

A＞只有=尸=60。，A5E/和A5D廠不一定相似，故N不符合題意；

B、由ZBDF=ZA=60°,ZDBF=NABD,推出ABDF^ABAD,故B符合題意；

C、只有N8D尸=NC=60。，ASDb和ABCO不一定相似，故C不符合題意；

D、只有乙8。/=乙4=60。，AS。尸和A4FD不一定相似，故。不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查相似三角形的判定，等邊三角形，關鍵是掌握相似三角形的判定方法.

【變式2-4]（2023秋?寶山區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，/、B、C、D、M、N都是格點，從/、

B、C、。四個格點中選取三個構成一個與A4MV相似的三角形，某同學得到兩個三角形：①AA8C；②

AABD.關于這兩個三角形，下列判斷正確的是（）

A.只有①是B.只有②是C.①和②都是D.①和②都不是

8

【分析】根據(jù)勾股定理求出A43。、AABC、的三邊長，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例判斷即

可.

【解答】解：由圖形可知，AM=2,AN=4,

MN="'+22=275，

AB=JzF?=2>/2,

AC=V32+32=372,

BC^yj52+12-V26,

AD=d6。+2?=2回,

BD=N『+甲=40,

AB_BD_AD_

AM~AN~MN~'

NABD^^MAN；

-A-B-w-A-C-，

AMAN

AABC與\AMN不相似，

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

【變式2-5]（2024?閔行區(qū)三模）如圖，在梯形中，ADHBC,NC與助相交于點O,點E在線

段。8上，/￡的延長線與8c相交于點/，OD2=OBOE.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）如果8C=8。，AE-AF=ADBF,求證：AABE^AACD.

9

【分析】（1）由已知得出絲二"，由平行線得出A4ODSAC,得出土二"，證出匕=絲，得

ODOBOCOBOCOD

出/產(chǎn)//CQ,即可得出結論；

RFBF

（2）由平行線得出=曲EFs'BDC,得出一=——，證出=由已知得出

BDBC

—,由平行四邊形的性質(zhì)得出/尸=CD,得出理=絲，由相似三角形的判定定理即可得出結論.

BFAFBEDC

【解答】（1）證明：?.?。02=。mQB,

OEOD

"~OD~~OB'

???AD/IBC,

/.\AOD^\COB,

OAOD

"~OC~~OB

OAOE

'~OC~~OD

AFI/CD,

四邊形是平行四邊形；

(2)證明：?.?4尸//CO,

/.ZAED=ZBDC,ABEFs^BDC,

BE_BF

"訪一旅‘

BC=BD,

BE=BF,/BDC=/BCD,

/.ZAED=/BCD.

ZAEB=180?！猌AED,NADC=180?！?BCD,

/AEB=/ADC.

?;AE,AF=AD?BF,

AE_AD

,而-IF'

?.,四邊形AFCD是平行四邊形，

10

AF=CD,

AEAD

~BE~~DC'

NABE^AADC.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定是解題的關鍵.

【變式2-6］（2023秋?楊浦區(qū)期中）已知：如圖，在A4BC中，點。、E分別在邊48、4C上，DE//BC,

EB平分/DEC.

AEAB

（1）求證:

EDBD

BE2AE

（2）如果——7=——，求證:\ABE^\ACB.

BC1AC

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出理=W2,NBED=NCBE,則江=絲，根據(jù)角平分線定義及平行

CEBDCEBD

線的性質(zhì)得到QE=4EC,則2C=CE,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出看=筆=有，根據(jù)比

例的性質(zhì)及等量代換即可得解;

（2）結合（1）及題意推出些=匹，結合NBED=NBEC,推出ABEOSACEB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

CEBE

得出NDBE=NBCE,結合NB4E=NC4B,即可判定.

【解答】證明：（1）???￡>￡//8C,

AEAT)

——,ABED=ZCBE,

CEBD

AEAD

二.——+1A=-----+1A,

CEBD

ACAB

CEBD

■：EB平分NDEC,

ABED=ZLBEC,

NCBE=ZBEC,

/.BC-CE,

???DE/IBC,

\ADE^ABC,

11

AEDE_DE

"~AC~^C~~CE'

.AEAC

'^E~~CE'

_ACAB

?瓦一訪‘

.AE_AB

"法一茄；

⑵?工￡BC=CE,我=①，

BC2ACACCE

BE。_DE

"~CE^~~CE'

BEDE

"~CE~~BE,

又ABED=NBEC,

ABEDsACEB,

NDBE=NBCE,

即ZABE=ZACB,

又/BAE=ZCAB,

\ABE^\ACB.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

【考點題型三】相似三角形的判定與性質(zhì)（共13小題）

【例3】（2023秋?長寧區(qū)期末）如果點。、E分別在A48c的兩邊/2、AC±,由下列哪一組條件可以推

出DE//BC()

2CE_2AD_2DE_2

AA.——AD二一,B.

BD3~AE-3~AB-3：-3

「AB3ECAB4AE_4

C.——二-9D.

AD2~AE~2~AD一5而-3

【分析】對于選項c,證明AD4ESA84C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ZADE=NN8C,根據(jù)平行線的判

定定理證明.

【解答】解：/、不能推出。E//BC,不符合題意;

B、不能推出。E//3C,不符合題意；

C..EC」

AE2

AC_3

-----=—,

AE2

AB3

.~AD~2?

12

ACAB

,,瓦―而'

???ZA=ZA,

ADAE^ABAC,

NADE=ZABC,

DE/IBC,本選項符合題意；

D、不能推出。E//8C,不符合題意;

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關

鍵.

【變式3-1］（2023秋?長寧區(qū)期末）已知在A43C與中，點D、。分別在邊8C、B'C上,（點D

不與點8、。重合，點。'不與點8'、。重合）.如果A4DC與△4。。相似，點/、。分別對應點4、D',

那么添加下列條件可以證明A48c與相似的是（）

①4。分別是A48C與△43'C'的角平分線；

②AD、4。分別是A43c與的中線；

③40、4。分別是AZ8C與△/?C'的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可得出結論.

【解答】解：如圖，

13

ABAD=ACAD,ZB'A'D'=ZC'A'D',

又,:\ADC^△A'D'C,

ACAD=ZC'A'D',ZC=ZC,

:.ZBAC=ZB'A'C,

ABACs△B'A'c',

故添加條件①可以證明A4BC與^A'B'C'相似;

②AD、4。分別是A43c與△4"C’的中線,

BD=CD,B'D'=CD',

又；KADC^△A'D'C,

AD_CD

ZADC=ZA'D'C

A'D'^~CD'

ADA'D'

ZADB=ZA'D'B',

BD~Bly

AABDs△A'B'D',

ZB=ZB',

又?.?NC=/C,

ABACs△B'A'C',

故添加條件②可以證明NABC與^A'B'C相似;

③40、4。分別是AZ8C與△43C的高，NADC^△A'D'C,

D

由圖形可知，AA8C與不相似，

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式3-2］（2023秋?靜安區(qū)期末）在A48c中，點、D、E、尸分別在邊8C、AB>AC±,聯(lián)結DE、

DF,如果。E///C,DF/IAB,且/E:E2=1:2,那么4F:FC的值是（）

A.3B.-C.2D.-

32

【分析】根據(jù)題目的已知條件畫出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可.

【解答】解：如圖:

14

A

BDC

vDE//AC,AE:EB=1:2,

?CD

,^E~BD~2"

，膽=2,

CD

??.DF//AB,

AFBDc

--=---2,

FCCD

故選：c.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例這個基本事實是解題的關鍵.

【變式3-3］（2023秋?金山區(qū)期末）已知點E是平行四邊形的邊/。上一點，聯(lián)結CE和相交于

點尸，如果4E:ED=1:2,那么。尸：尸2為（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.2:5

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得NO//C3,AD=CB,由/E:EO=1:2,W—=—=-，再證明

CBAD3

ADFE^ABFC,得絲=2=4,于是得到問題的答案.

FBCB3

【解答】解：???四邊形/5C。是平行四邊形，

ADI/CB,AD=CB,

-AE:ED=1:2,

EDED_2

vED//CB,

/.\DFE^\BFC,

DFED_2

故選：C.

4——殳--7。

Bc

15

【點評】此題重點考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明AD/ESA跳7c是

解題的關鍵.

【變式3-4]（2023秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC三邊上點￡）、E、尸，滿足DE//BC,EF//AB,那

么下列等式中，成立的是（)

人DEAEAD_BFDEABADBF

A.——二——O.=C.D.

EFECDBFCEFBCDBBC

【分析】由題意可證四邊形AD斯是平行四邊形，可得BD=EF,DE=BF,由相似三角形的性質(zhì)和平行

線分線段成比例依次判斷可求解.

【解答】解：???OE//BC、EF//AB,

ZADE=ZB=NEFC,ZAED=ZC,

△ADEs△EFC,

DE_AEADDE

故4錯誤;

~CF~~EC^F~~CF

,:DE/IBC、EF/IAB,

四邊形AD跖是平行四邊形,

BD=EF,DE=BF.

AD_BF

故正確;

而一瓦5

AB_AD

故錯誤;

菸一法C

ADAE

—,故。錯誤,

法~CECF

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關鍵.

【變式3-5]（2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，點。是AA5C內(nèi)一點，點￡在線段5。的延長線上，BE與AC

交于點。，分別聯(lián)結4D、AE,CE,如果些=絲=/，那么下列結論正確的是（）

ABACBC

16

A

BD=ADC.NABE=/CBED.BO?AE=AO?BC.

【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

AD_AE_DE

【解答】解:

~AB~~AC~^C

\ADE^\ABC,

:.NACB=NAED,ABAC=ZDAE,

/BAD=/CAE,

NAOE=ZBOC,

:.\AOE^\BOC,

.AOBO

?,瓦―氤'

BOAE=AOBC.

二?。選項的結論正確.

_AD_AE

?~AB~^C'

ABADsACAE,

/./ABE=/ACE,

顯然OE與OC不一定相等，

NACE與ZBEC不一定相等，

.?.CE與助不一定平行，

A,C不一定正確，

???8。與4。不一定相等，

不一定正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

ARA

【變式3-6］（2022秋?虹口區(qū)期末）如圖，點。分別在A4BC邊45、4C上，——=——=3,且44￡。=/5，

ADCE

那么絲的值為（）

AC

17

A

【分析】根據(jù)題意，可以先設45=3q,AD=Q,AE=3b,CE=b,再根據(jù)題意可以得到ATUESACZB,

然后即可得到絲的值.

AC

【解答】解：?.?絲=理=3,

ADCE

.?.設45=3。，AD=a,AE=3b,CE=b,貝！J/C=46,

?/ZAED=ZB,ZDAE=ACAB,

/.\DAE^\CAB,

AD_AE

,AC~AB，

即色=2,

4b3a

解得q=2,

b

ADa\\

-----————x2——,

AC4b42

故選：A.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

【變式3-7](2023秋?浦東新區(qū)校級月考)如圖所示，過△/BC的頂點C作任一直線與邊48及中線40分

別交于點歹和E,過點D惶DMIIFC交AB于點M.

(1)右S^AEF:S四邊形MOEF=2:3,求AE:ED.

(2)試說明/￡.尸8=2/尸.￡7).

C

【分析】(1)利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)利用平行線分線段成比例定理以及比例的基本性質(zhì)證明即可.

【解答】(1)解：???M//DM,

18

△AEFs△ADM,

,?S^AEF■$四邊形AfflEF=2：3，

,AE_[2

"7D~\~5~45,

.AE41Vio+2

"DE一途-血一3

(2)證明：VDC=DB,

FM=MB=-FB,

2

???DM//CF,

AE:ED=AF:FM,

即AE:ED=AF\-FB,

2

AE:ED=2AF:FB,

:.AEFB=2AF-ED.

【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,

所得的對應線段成比例.同時考查了比例的性質(zhì).

【變式3-8]（2022秋?長寧區(qū)期末）已知：如圖，在中，點。在邊上，且邊3c的

垂直平分線斯交邊NC于點E,BE交AD于點G.

（1）求證：△BDGs△CBA；

（2）如果△/OC的面積為180,且/8=18,DG=6,求A/BG的面積.

【分析】（1）由48=/。得至1」/48。=//。8,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到￡8=EC,則NE8C=NC,

然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到結論；

（2）由（1）知△BOGSZXCB/,可得空=絲1,而/3=18,DG=6,即可得處=1，

ABBCCD2S.ACD2

19

又Su%=180，故SEBO=90,因/G=12,-=即得S=2$=2x90=60.

△△/1DU2A3△/1DU3

【解答】（l）證明：?.?45=4D,

.*./ABD=ZADB,

?.?M垂直平分BC,

/.EB=EC,

/EBC=ZC,

???ZGBD=ZC,/BDG=ZCBA,

△BDGs△CBA；

（2）解：由（1）知

DGBD

???45=18,DG=6,

BD_6

,,^C-18-3,

BD

/.---=—,

CD2

.SAABD_1

..-------——J

SArn2

.-80,

?，-SAABD=90，

vAD=AB=18fDG=6,

:.AG=12,

DG

.---=一,

AG2

c1

.^ABDG_'

..------------—―,

S^ADRICJ2

22

S.BG=§S.ABD=yx90=60.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及三角形面積，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理.

【變式3-9］（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,。是斜邊48上的中點，E是邊BC

上的點，AE與CD交于點、F,且/。2=°6.圓.

（1）求證：AELCD；

（2）連接8/，如果點￡是BC中點，求證：ZEBF=ZEAB.

20

【分析】（1）先根據(jù)題意得出ZUCBSA￡C/,再由直角三角形的性質(zhì)得出CD=/。，由NC/D+N/8C=90。

可得出ZACD+NEAC=90°,進而可得出ZAFC=90°；

（2）根據(jù)/E_LCD可得出NEFC=90。，ZACE=ZEFC,故可得出AECFsAE/C,再由點E是BC的中

點可知CE=,故些=空，根據(jù)ZBEF=ZAEB得出\BEF^\AEB,進而可得出結論.

EABE

【解答】證明：（1）VAC2=CE-CB,

ACCB

"CE~AC'

又?；NACB=NECA=9Q。

NACB^AECA,

ZABC=ZEAC.

?.?點。是N3的中點,

二.CD=AD,

:.NACD=NCAD

???ZCAD+ZABC=90°,

:.N4CD+NE4c=90。

ZAFC=90°,

AE1CD

(2)?/AE1CD,

/EFC=90°,

NACE=/EFC

又???/AEC=/CEF,

\ECF^\EAC

ECEF

…~EA~^C

???點￡是5。的中點,

/.CE-BE,

21

BE_EF

豆一蕨

/BEF=/AEB,

\BEFs\AEB

NEBF=NEAB.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.

【變式3-10](2022秋?嘉定區(qū)期末)如圖，已知在A45C中，AB=AC,點D、E分別在邊CB、4C的

延長線上，且NDAB=NEBC,匹的延長線交4。于點尸.

(1)求證：NDBFs'EBC；

(2)如果=求證：EC2=DFDA.

【分析】(1)先根據(jù)三角形外角的定義得到NQ=NE,即可證明bSA^BC；

(2)先證明ADBFsgAB得至"DB?=D4?DF,再根據(jù)44s證明A4QB二A8EC,即可證明.

【解答】證明：(1)=,

/.NABC=NACB.

?;/ABC、分另I」是AAD8和的外角，

:./ABC=/DAB+ND,ZACB=ZEBC+ZE,

/DAB=/EBC,

/.ND=NE.

又ZDBF=ZEBC,

M)BFSNEBC.

(2)?:/DBF=NEBC,NDAB=NEBC,

22

/DBF=ZDAB.

???/D=/D,

\DBF^\DAB,

DB_DF

,,~DA~~DB'

即。笈=DA-DF.

在AADB和AfiEC中，

ZD=NE

<NDAB=NEBC,

AB=BC

AADB=ABEC(AAS),

BD=EC,

EC2=DF-DA.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握

各知識點是解題的關鍵.

【變式3-11](2022秋?閔行區(qū)期末)己知：如圖，在A48c中，AB=AC,點、D、E分別是邊/C、AB

的中點，DF1AC,。9與CE相交于點尸，N歹的延長線與8。相交于點G.

(1)求證：ZABD=ZACE；

(2)求證：CD2=DGBD.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)利用線段垂直平分線的性質(zhì)和(1)的結論，依據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1):點D、￡分別是邊NC、的中點，

AE=-AB,AD=-AC,

22

AB=AC,

23

AD=AE.

在\ADB和\AEC中，

AD=AE

<ABAD=/CAE,

AB=AC

\ADB=\AEC(SAS),

/./ABD=NACE；

(2)-DFLAC,點。是邊4C的中點，

DF是AC的垂直平分線，

/.FA=FC,

NFAC=/ACE.

由(1)知：/ABD=NACE,

ZFAC=/ABD.

ZADG=ABDA,

\ADGsABDA,

AD_BD

"茄一茄’

AD2=DG?BD.

???點。是邊的中點,

AD=-AC=CD,

2

CD2=DG,BD.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式3-12](2023秋?靜安區(qū)期中)已知：如圖，四邊形45C。是平行四邊形，在邊45的延長線上截取

55=45,點尸在4E的延長線上，CE和正交于點和。方交于點N.聯(lián)結50.

(1)求證：\BND^\CNM；

(2)如果NO?尸，求證：CMAB=DMCN.

24

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得”=CO,ABI/CD，再證明四邊形8EC。為平行四邊形得到8D//CE,

根據(jù)相似三角形的判定方法，由CMHDB可判斷ASNDsACNM；

（2）先利用AD?=."尸可證明MDB^MFD,則Zl=ZF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得ZF=Z4,Z2=Z3,

所以/3=/4,力口上/NA/C=/CM）,于是可判斷AWCsAMCD,所以MC=CN:CO,然后利用

CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結論.

【解答】證明：（1）?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

而BE=AB,

BE=CD,

而BE11CD,

二.四邊形為平行四邊形，

BD/ICE,

???CM//DB,

:ZNDs'CNM；

（2）AD2=AB-AF,

AD:AB=AF:AD,

而ZDAB=ZFAD,

,AADB^AAFD,

N1=/尸，

vCD//AF,BD/ICE,

/.NF=N4,Z2=Z3,

/3=/4,

而ZNMC=ZCMD,