《微分中值定理探究》4900字（論文）

[1]利用微分中值定理證明一些題時要構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造的函數(shù)要滿足微分中值定理的條件才能證明所需要的結(jié)論,而構(gòu)造合適的輔助函數(shù)往往比較困難.在本文中,我通過結(jié)論的變形、利用微分方程求通解、利用不定積分等方法構(gòu)造出輔助函數(shù).羅爾中值定理的應(yīng)用羅爾中值定理是微分中值定理中是最基礎(chǔ)的定理,其他的微分中值定理都與它有著千絲萬縷的關(guān)系.因此羅爾中值定理在微積分學(xué)中是一個重點,同時也是學(xué)習(xí)中需要突破的一個難點和重點.可以通過研究定理中的條件、結(jié)論和幾何意義,從而來解決我們需要解決的問題.證明含有導(dǎo)數(shù)方程根的存在性及根的個數(shù)羅爾中值定理的出現(xiàn)可以更好的證明方程根的存在性.在證明的過程中,要注意函數(shù)是否滿足羅爾中值定理的條件.例1若在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),并且,其中證明:在內(nèi)至少有一點,使得.證明由于在與上都滿足Rolle定理的條件,所以,,得,.由題意可得,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),所以對在上應(yīng)用Rolle定理得,,使得．例2設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),且,.證明:,使.證明由,得,且.又因為,所以有,使,即.在上應(yīng)用Rolle定理,,使.又在上對應(yīng)用Rolle定理,知,使.例3證明在區(qū)間上不可能有兩個零點.證明反證法設(shè)在上有兩個零點為和,不妨設(shè),且為初等函數(shù)在R上連續(xù),從而在上必連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.由Rolle定理知,,使得,即,即,而,從而矛盾,即原命題成立.證明含有導(dǎo)數(shù)的等式成立例4設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有,證明:存在一點,使成立.證明要證明,即證,從而令,則.由題意可知,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),并且,應(yīng)用Rolle定理可知,至少存在一點,使得即.例5設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有,.求證:,使.證明將等式中的換成,得,將等式變形得,將其兩邊同時積分得,即.因此令,則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),并且.由Rolle中值定理知,,使得,即.例6設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有.求證:在內(nèi)至少存在一點,使.證明將題中的改為,得,所以對微分方程求通解得:,即.因此令,并且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有.由Rolle定理知,,使,即.羅爾定理在高中數(shù)學(xué)里的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)題中有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題有時通過高中課本中的知識是無法解決,所以會應(yīng)用到數(shù)學(xué)分析中的知識點,比如洛必達法則、微分中值定理等知識,將圍繞羅爾中值定理來解決一些高中數(shù)學(xué)題.例7已知函數(shù),求證:函數(shù)只有一個零點.證明先證明方程根的存在性,因為和所以由根的存在性定理得:至少存在一個實數(shù),使得.然后證明解的唯一性:假設(shè)f(x)有兩個零點為則,由Rolle定理得:至少存在一個,使得即,與相矛盾,故假設(shè)不成立.故函數(shù)只有一個零點.例8已知函數(shù).求:（1）如果函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),試求實數(shù)的取值范圍;（2）已知函數(shù),且,如果在上恰有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.解（1）,當(dāng)在上是單調(diào)遞增時,則,因此得當(dāng)在上單調(diào)遞減時,,因此得綜上得,實數(shù)的取值范圍是（2）由題得,由于可知在內(nèi)恰好有一個零點,設(shè)該零點為,由Rolle中值定理可知,從而在上有不同的兩個解,即在上有兩個不同的零點.由（1）可知:當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào),與在內(nèi)至多有一個零點相矛盾,所以的取值范圍為.令,得,因此在上是單調(diào)遞減,在區(qū)間上是單調(diào)遞增,記的兩個零點分別為和,且,,則有又因為,得,故又因,所以綜上得,實數(shù)的取值范圍為拉格朗日中值的應(yīng)用在微分中值定理中,最突出的是拉格朗日中值定理,因為它對函數(shù)的要求低,所以它的應(yīng)用相對羅爾中值定理而言更為廣泛,它在證明命題時與羅爾中值定理證明的方法差不多,只是變化更豐富而已.證明雙邊不等式在證明雙邊不等式時,可以考慮拉格朗日中值定理來證明,在證明的過程中,對不等式要進行適當(dāng)?shù)淖冃蝸順?gòu)造合適的輔助函數(shù),然后尋找拉格朗日中值定理所需要的區(qū)間,最后利用區(qū)間上的一點,對該點處函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)進行應(yīng)用.例9證明不等式證明當(dāng)時,有.當(dāng)時,不妨設(shè),令在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),所以Lagrange中值定理可得,,使得,化簡的故.例10證明數(shù)值不等式證明由題可知,令,且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由Lagrange中值定理可知,,使得,即,從而得,得.例11證明當(dāng)時,.證明設(shè),則是基本初等函數(shù),從而在時連續(xù),在必連續(xù)且可導(dǎo),并且.從而由Lagrange中值定理得,至少使得,即.也即.而,從而又因為從而即證明恒等式通過,得從而使導(dǎo)數(shù)時,(C為某個常數(shù)),通過此原理來證明恒等式成立.例12在區(qū)間有意義,證明:證明問題等價于要證明函數(shù)事實上而故.因此但由可知,所以即成立.求函數(shù)極限利用洛必達法則求有難度的極限,其過程復(fù)雜并且容易出錯，所以微分中值定理就可以解決這一問題，并且提供了簡單而有效的方法.其方法是將極限的某些部分構(gòu)造成輔助函數(shù),然后使用拉格朗日中值定理,最后求出極限.例13求,其中.解設(shè),應(yīng)用Lagrange中值定理,,有.則例14求極限.解令,由題可知,在區(qū)間上滿足Lagrange中值定理的條件,所以,使得,令,并且在滿足Lagrange中值定理的條件,所以,.故研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)例15證明:區(qū)間是有限或無窮的,若在內(nèi)的是有界的,則于中一致連續(xù).證明由題可知,使得,,則當(dāng)且時,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)Lagrange中值定理可得,,則在內(nèi)一致連續(xù).例16設(shè)在上二階可導(dǎo),且當(dāng)時,有.證明:方程在內(nèi)至有一個實根.證明由可知,單調(diào)遞減,即當(dāng)時,因此函數(shù)單調(diào)遞減,從而可知內(nèi)至多有一個實根.又因為均為定值,所以且為定值,在上應(yīng)用Lagrange中值定理可得:于是.因為,故在內(nèi),至少有一個實根.綜上所述,方程在內(nèi)至有一個實根.例17設(shè)在內(nèi)可微,在內(nèi)有界,證明:在內(nèi)也有界.證明因為在內(nèi)有界,所以,使得又由在內(nèi)可微,所以在內(nèi)連續(xù),則當(dāng)取時,為定值.不妨設(shè),則是定值.且,則在上滿足Lagrange中值定理的條件,恒有,.所以即所以在內(nèi)也有界.例18討論函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性.解因為,兩邊求導(dǎo),得.通過Lagrange中值定理得：使得所以有,得又所以即在內(nèi)單調(diào)遞增.在高中數(shù)學(xué)里的應(yīng)用例19已知函數(shù).設(shè),證明:.證明由題意可得,,由Lagrange中值定理得,使得例20已知函數(shù),有導(dǎo)函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù).求證:（1）當(dāng)時,;（2）當(dāng)時,.證明（1）不妨設(shè),即證.由拉格朗日中值定理可知,存在,則且,,又.當(dāng)時,,所以是一個單調(diào)遞減函數(shù),故,因此成立.（2）由題可得,令,則由Lagrange中值定理可得:,使得.下面只要證明:當(dāng)時,,都有,即,即時,有.也就是證明的最小值大于4.由于當(dāng)且僅當(dāng)時,取的最小值.又,故時,.由Lagrange中值定理得:,使得.即.柯西中值定理的應(yīng)用柯西中值定理可以說是拉格朗日中值定理的推廣形式,它比其它定理更具有一般性.在各種教材中對它的應(yīng)用提及較少,而柯西中值定理的應(yīng)用也十分廣泛.利用柯西中值定理證明命題時,需要借助兩個輔助函數(shù)進行證明.證明不等式例21證明不等式.證明令則題中的不等式可以轉(zhuǎn)化為,因為,對在區(qū)間有Cauchy中值定理可得從而轉(zhuǎn)化成因為,而當(dāng)時,.所以,得,相當(dāng)于,即.證明等式在利用柯西中值定理證明等式,題目通常以存在某點使等式成立的形式出現(xiàn),在于對結(jié)果進行整理與變形,找出符合柯西中值定理的兩個輔助函數(shù).例22設(shè)函數(shù)在上可微分,且.證明,其中證明設(shè),由于,故在閉區(qū)間之外,從而和均在閉區(qū)間上可微,且有及.和滿足Cauchy中值定理的條件,故,得,即化簡整理,即得.例23設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,證明:,使證明將題目中的等式轉(zhuǎn)化成分式結(jié)構(gòu)設(shè)在上對函數(shù)應(yīng)用Cauchy中值定理,得即.例24設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo)證明:存在,使得證明將兩邊同時乘以可得,設(shè)應(yīng)用Cauchy中值定理,得:使得即計算不定式的極限例25若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,證明:證明由,從而,.顯然,.由,知,,當(dāng)時,有.對,在上應(yīng)用Cauchy中值定理,得,使得,即.由于,所以時,有和于是,使即.例26設(shè),函數(shù)在上可導(dǎo).證明(1)存在使得.(2)設(shè)在處二階可導(dǎo),證明:.證明（1）設(shè)在上滿足Lagrange中值定理條件,故,得.（2）由題可知函數(shù)在點二階可導(dǎo),在點的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)并有一階導(dǎo)數(shù),任取,令,,則滿足Cauchy中值定理條件,故使而時,,且在處二階可導(dǎo),故證明函數(shù)有界例27設(shè)函數(shù)在內(nèi)可微,,證明:在內(nèi),.證明引入輔助函數(shù),在上應(yīng)用Cauchy中值定理,得.因為且,所以,從而.證明函數(shù)的一致連續(xù)性例28設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),有,證明:在內(nèi)一致連續(xù).證明由函數(shù)極限的局部有界性可知,,設(shè),當(dāng)時那么對于,且由Cauchy中值定理,得,有,即.故,當(dāng),且時,由上面兩式得到所以在上一致連續(xù).又因為在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),所以在上連續(xù),從而在上一致連續(xù),故在上一致連續(xù).總結(jié)與展望由于時間緊迫,本文只涉及到了關(guān)于微分中值定理的一些易常用的應(yīng)用,在應(yīng)用時需注意驗證定理的條件.本文探究了微分中值定理求極限、證明不等式、證明等式和證明根的存在性等,在高中數(shù)學(xué)里的應(yīng)用,還需要進一步的研究.如何輕松的理解和掌握這一數(shù)學(xué)思想,期待在以后教育教學(xué)時間中加以探索，也希望本論文能夠?qū)Υ蠹覍W(xué)習(xí)微分中值定理有所幫助.本文對于積分中值定理及其應(yīng)用還沒有涉及到,其在應(yīng)用的過程中,它可以直接得出結(jié)果,也可以簡化較為復(fù)雜的被積函數(shù).積分中值定理的應(yīng)用也非常廣泛，比如進行估值運算、抽象函數(shù)中出現(xiàn)的求極限、求函數(shù)在區(qū)間上的平均值、證明積分不等式等.希望在以后的學(xué)習(xí)中能夠?qū)ζ溥M行深層次的研究.

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