浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱即可求解.【解析】點(diǎn)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B2.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【解析】雙曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故焦點(diǎn)為和，故選：A3.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)即可求解，進(jìn)而可求解.【解析】,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則公差（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解析】由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓心為，點(diǎn)為點(diǎn)，切點(diǎn)為，先利用勾股定理求出切線長，再求出，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，設(shè)圓心為，點(diǎn)為點(diǎn)，切點(diǎn)為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質(zhì)可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點(diǎn)，在上，且，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】先將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【解析】由正四面體，得，則，由是的中點(diǎn)，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）左右頂點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式，即可得，進(jìn)而根據(jù)離心率公式即可求解.【解析】設(shè)，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【解析】因?yàn)?，所以，即，令，則，所以函數(shù)是增函數(shù)，對于A，由，得，故A錯(cuò)誤；對于B，由，得，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)時(shí)，直線的斜率不存在，即可判斷A；根據(jù)兩直線平行的充要條件計(jì)算即可判斷B；根據(jù)兩直線垂直的充要條件計(jì)算即可判斷C；令的系數(shù)等于零求出定點(diǎn)即可判斷D.【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，兩個(gè)都符合題意，所以或，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，故D正確.故選：CD.10.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算正確的是（）A.若函數(shù)，則B.若函數(shù)（且），則C.若函數(shù)，則（e是自然對數(shù)的底數(shù)）D.若函數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，結(jié)合基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可逐一求解.【解析】對于A，，所以，A錯(cuò)誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個(gè)正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），（）．若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.或16 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)的奇偶性求出，再根據(jù)的奇偶性即可求出，即可判斷A；分類討論，求出數(shù)列的周期，進(jìn)而可判斷BCD.【解析】因?yàn)?，由“冰雹猜想”可得，①若為偶?shù)，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，解得（舍去），②若為奇數(shù)，則，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列從第三項(xiàng)起是以為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，由，，所以數(shù)列從第三項(xiàng)起是以為周期的周期數(shù)列，因?yàn)?，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯(cuò)誤；對于D，數(shù)列從第三項(xiàng)起是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．Q是線段上動(dòng)點(diǎn)，是線段上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí)，PQ∥平面B.當(dāng)Q為重心時(shí)，到平面的距離為定值C.當(dāng)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的最大角為D.過點(diǎn)P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為【答案】BD【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的關(guān)系即可求解A，根據(jù)線面角的向量法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判定C，根據(jù)線面平行即可求解B,根據(jù)面面平行即可求解長度判斷D.【解析】以為原點(diǎn)，以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)，則，當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí)，，則，故此時(shí)不平行平面，A錯(cuò)誤，當(dāng)Q為重心時(shí)，則所以，即，，此時(shí)，此時(shí)PQ∥平面，由于是線段上的點(diǎn)，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯(cuò)誤對于D，取的中點(diǎn)，連接,由于均為中點(diǎn)，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點(diǎn)P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD【小結(jié)】方法小結(jié)：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.【答案】【解析】【分析】將一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式即可求解半徑.【解析】由可得，所以半徑為，故答案為：14.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【解析】由題意可得成等比數(shù)列，由，，得，得，所以，則，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】直接求導(dǎo)得，再設(shè)新函數(shù)，首先討論的情況，當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則由題轉(zhuǎn)化為，解出即可.【解析】，，令,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)時(shí),令,解得.令,解得,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值.當(dāng)趨近于0與趨近于時(shí),,要使在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,只需,解得.故答案為：.16.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則的面積最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，由，得，求出的關(guān)系，進(jìn)而可求出的范圍，再根據(jù)計(jì)算即可.【解析】由已知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當(dāng)時(shí)，，所以面積最小值為.故答案為：.【小結(jié)】方法小結(jié)：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．【小問1解析】的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；【小問2解析】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.18.已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)M，與圓交于A，B兩點(diǎn)．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由已知條件可得直線的方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求出弦的長；（2）由已知條件可求出圓心到直線的距離，再分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出值，則直線的方程可求．【小問1解析】直線過點(diǎn)，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；【小問2解析】圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為，不合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若分別為棱中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求證即可；（2）先根據(jù)三棱錐體積求出，再利用向量法求解即可.【小問1解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面；【小?解析】因?yàn)?，解得或，又因?yàn)?，所以，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（）．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；（2）先利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再分和兩種情況討論即可.【小問1解析】由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2解析】由（1）得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，所以，令，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，.21.已知函數(shù)（）．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若對任意的時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）令，由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，分離參數(shù)，進(jìn)而可得出答案；（2）要證，即證，令，利用導(dǎo)數(shù)求出即可得證.【小問1解析】對任意的時(shí)，都有，即對任意的時(shí)，都有，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問2解析】要證，即證，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，因?yàn)椋裕?，所以，故存在，使得，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以若，．【小結(jié)】方法小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22.已知雙曲線的漸近線方程為，且點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）點(diǎn)在上，且為垂足．證明：存在點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，利用待定系數(shù)法求出即可得解；（2）分直線的斜率是否為零兩種情況討論，根據(jù)，可得，雙曲線方程可變形為，再由直線的方程可得，代入變形后的雙曲線方程，再利用韋達(dá)定理即可得出間的關(guān)系，進(jìn)而可求出直線所過的定點(diǎn)，即可得出結(jié)論.小問1解析】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，所以的方程為；【小問2解析】設(shè)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，則，由，得，即，，解得或（舍去），故直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不等于時(shí)，設(shè)直線的方程為，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則的斜率為，此時(shí)直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，解得（舍去），聯(lián)立，解得（舍去），所以，則，所以直線的方程為，令，則，故直線過點(diǎn)，同理可得當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則的斜率為，此時(shí)直線的方程為，直線過