廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學年高二（上）期末數(shù)學試卷

廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學年高二（上）期末數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點坐標為(0，2A．y2=4x B．x2=4y C．2．已知空間向量m=(?2，1，?3)，n=(4，?1，x)，且A．3 B．2 C．?3 D．?43．已知傾斜角為π4的直線的方向向量為(1，k)，則kA．?1 B．?22 C．224．橢圓x225+A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等5．若兩條平行直線3x?4y+m=0(m<0)與3x+ny+6=0之間的距離是3，則m+n=（）A．?13 B．?9 C．17 D．216．過直線l：3x+y?4=0上一點P作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為AA．(B．(23，?2)C．(D．(3+7．已知雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，過FA．213 B．21 C．293 8．數(shù)列{an}滿足an+2+(?1)nA．4 B．5 C．6 D．7二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．已知數(shù)列{an}的前nA．S3，S6，S9成等差數(shù)列 B．a(chǎn)3，C．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 10．已知圓C：(x?2)2+(y?2)2A．直線l恒過定點(B．直線l與圓C相交C．直線l被圓C截得的弦最短時，直線l的方程為x+y?2=0D．圓C上不存在三個點到直線l的距離等于2?11．設(shè)A，B為雙曲線x2?yA．(2，0) B．(?2，4) C．12．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1與BAA1B1是邊長為2的正方形，平面A．直線MN//平面ABCB．當a=1時，線段MN的長最小C．當a=22時，直線MN與平面BAD．當a=2時，平面MNB與平面MNB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知△ABC的三個頂點是A(5，?1)，B(1，1)，C(2，3)，則邊14．正四面體A?BCD的棱長為2，設(shè)AB=a，AC=b，AD15．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，na16．拋物線有如下光學性質(zhì)：由拋物線焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.如圖，O為坐標原點，拋物線C：y2=?12x，一條平行于x軸的光線m射向拋物線C上的點A(不同于點O)，反射后經(jīng)過拋物線C上另一點B，再從點B處沿直線n射出.若直線OA的傾斜角為3π4，則入射光線m四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}（1）求{an}（2）求數(shù)列{1Sn}的前18．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4（1）求直線A1C與（2）求點B1到平面CEF19．已知圓C的方程為x2（1）求m的取值范圍；（2）當m=1時，求圓O：x2+y20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，AD=2DC=2CB=2，E為PD的中點．

（1）證明：CE//平面PAB；（2）若∠PAB=60°，求平面PAB與平面PBC的夾角的余弦值．21．已知數(shù)列{an}滿足a1=2（1）求證：數(shù)列{1（2）設(shè)cn=1an?1，記集合{n|k≤c22．如圖，在圓O：x2+y2=1上任取一點p，過點p作y軸的垂線段PD，D為垂足，點M在DP的延長線上，且|DM|=2|DP|，當點p在圓O上運動時，記點M的軌跡為曲線C(當點P經(jīng)過圓與y軸的交點時，規(guī)定點M與點p（1）求曲線C的方程；（2）過點T(t，0)作圓O：x2+y2=1的切線l交曲線C于A，B兩點，將|AB|

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因為拋物線的焦點坐標為(0，2)，所以p2=2，即p=2，

所以拋物線的方程為x22．【答案】C【解析】【解答】解：因為空間向量m=(?2，1，?3)，n=(4，?1，x)，且m⊥n，

所以-2×4+1×-13．【答案】D【解析】【解答】解：因為直線的傾斜角為π4，所以直線的斜率為tanπ4=1，

又因為直線的方向向量為故答案為：D.【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系先確定直線的斜率，再由方向向量求出k即可.4．【答案】D【解析】【解答】可得橢圓x225+y2橢圓x225?k+y216?k=1(k<16)的長軸長為2故兩個橢圓的焦距相等.故答案為：D.

【分析】利用橢圓的標準方程結(jié)合長軸長、短軸長的定義結(jié)合橢圓的離心率公式和焦距的定義，進而找出正確的選項。5．【答案】A【解析】【解答】因為直線3x?4y+m=0與3x+ny+6=0平行，所以3n=?4×3，解得n=?4，又因為兩條平行直線3x?4y+m=0(m<0)與3x?4y+6=0之間的距離是3，

解得m=21（舍去）或m=?9，所以m+n=?13.故答案為：A.【分析】根據(jù)兩直線平行求出n，再由兩平行線間的距離公式求出m，即可求得m+n的值.6．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)點P(3因為PA,PB是圓的兩條切線，且∠APB=π3，所以O(shè)A⊥PA，所以|OP|=4，即3a2+(4?3a)2=4，化簡可得a2?2a=0，解得a=0或故答案為：B.【分析】設(shè)P(3a,7．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)|AF1|=m(m>0)，則|AF2所以|AF1||AB|=又因為|BF1|?|B所以|BF1|+|AF1則|AF1|=10a3，所以|A即(10a3)故答案為：C.【分析】設(shè)|AF1|=m(m>0)，即可表示出|AB|、|BF18．【答案】B【解析】【解答】解：因為數(shù)列{an}滿足an+2+(?1所以a2又因為a3?a所以a=(a解得a1故答案為：B.【分析】由數(shù)列{an}滿足an+2+(?1)n9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因為數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n2則S6?S3=30?6=24≠S9C、由Sn=n2?n，當n≥2故an=2n?2，則數(shù)列B、由C選項可知：a6?a3=10?4=6=a9D、因為函數(shù)f(x)=x2?x故數(shù)列{S故答案為：BCD.【分析】根據(jù)Sn=n2?n，可求得S3，S6，S9的值，即可判斷A；根據(jù)10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、直線l:(1+3λ)令3x+y?4=0x+y?2=0，解得x=1y=1，所以直線l恒過定點B、因為定點(1,1)到圓心的距離(1?2)2+(1?2)2=2<4C、圓C:(x?2)2+(y?2所以kAC=2?12?1=1，當直線l與AC垂直時直線l被圓C截的弦最短，直線lD、因為|AC|=(1?2)2+(1?2)2故答案為：BC.【分析】化簡直線l方程即可求得定點坐標，再求出定點與圓心的距離，即可判斷ABD；當直線l垂直于定點與圓心的連線時弦長最短，即可判斷C.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：當直線AB的斜率不存在時，設(shè)為x=n，依題知n<?1或n>1，此時線段AB的中點為(n,則選項A中點滿足題意，則A正確；當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mx2?y2由題知k2?4≠0①，Δ=4k2設(shè)A(x1,y1則x1+x2=B、可得k=?2，不滿足條件①，故B錯誤；C、可得k=1,m=3，滿足條件D、可得k=?4,m=?3不滿足條件故答案為：AC.【分析】考慮直線斜率不存在時，中點在x上，可判定A；當直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元后，利用韋達定理，得到中點坐標之間的關(guān)系，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于零及Δ>0驗證B，C，D即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：以B為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：

則B(0,0,0)，A(0,2,因為BM=AN=a(設(shè)AN=λAB1,所以M(2λ,0,易知平面ABC的一個法向量為BBA、因為MN·BB1=0且MN?平面ABCB、|MN|=(?2λ)2+(2?2λ)2=8C、當a=22時λ=14此時MN|cosMN→,BC→|=|所以直線MN與平面BAA1B1所成角的余弦值為31010，所以直線D、取MN的中點O，連接BO,B1O,BN,B1M，因為三角形MNB與三角形所以平面MNB與平面MNB1夾角的余弦值為故選：ACD【分析】以B為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.13．【答案】2x?y?1=0【解析】【解答】解：因為A(5,?1)則邊AB上的高所在直線的斜率為2，又該直線過點C(2,3)，

故答案為：2x?y?1=0.【分析】根據(jù)與直線AB垂直可求得斜率，又過點C(14．【答案】8【解析】【解答】解：正四面體A?BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=π3，因為AB=a，AC=b，故答案為：8【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義及運算律計算即可.15．【答案】n?2n?1【解析】【解答】解：因為數(shù)列{an}滿足a1=1，n所以數(shù)列{ann}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以an故答案為：n×2n?1，【分析】由已知條件，推出數(shù)列{ann16．【答案】y=12【解析】【解答】解：拋物線C:y2因為直線OA的傾斜角為3π4，所以直線OA的方程為y=?x由y=?xy2=?12x，解得則入射光線m所在直線的方程為y=1則kAF=12?由y=?43(x+18)y則反射光線n所在直線的方程為y=?1故答案為：y=12，【分析】首先得到直線OA的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出A點坐標，即可得到直線m的方程，再求出直線AF的方程，聯(lián)立直線AF與拋物線方程，求出B點坐標，即可求出直線n的方程.17．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由a1=b1=1，a2+b2=4，S3=6，可得（2）解：Sn=12n(n+1)，可得1【解析】【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前n項和公式建立方程組求解即可；（2）由（1）可得Sn=118．【答案】（1）解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A1(2，0，4)，C(0，2，0)，E(2，1，0)，F(xiàn)(2，0，2)，

所以A1C=(?2，2，?4)，EF=(0，?1，2)（2）解：由(1)知，B1(2，2，4)，C(0，2，0)，E(2，1，0)，F(xiàn)(2，0，2)，

所以CE=(2，?1，0)，CF=(2，?2，2)，CB1=(2，0，4)，

設(shè)平面CEF的的法向量為n=(x，y，z)，則【解析】【分析】(1)以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用空間向量法求解即可；

（2）由(1)的空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離即可.19．【答案】（1）解：由x2+y2?4x+2my+2m2?2m+1=0，可得(x?2)2+(y+m)2（2）解：當m=1時，圓C為x2+y2?4x+2y+1=0，

聯(lián)立x2+y2=4x2+y2?4x+2y+1=0，可得兩圓的公共弦所在的直線方程為【解析】【分析】（1）將圓C的方程化為標準方程，由2m?m（2）將m=1代入，兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程，再利用點到直線的距離公式結(jié)合勾股定理計算即可.20．【答案】（1）證明：如圖，

設(shè)PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B，

因為E，F(xiàn)分別為PD，PA中點，

所以EF//AD且EF=12AD，

又因為BC//AD，BC=12AD，

所以EF//BC且EF=BC，

即四邊形BCEF為平行四邊形，

所以CE//BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB，

（2）解：如圖，設(shè)AD的中點為O，連接PO，BO，

因為△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，

則PO⊥AD，又AD=2DC=2CB=2，CD⊥AD，BC//AD，

所以PO=OB=1，AB=2，PA=2，又∠PAB=60°，

所以△PAB是正三角形，則PB=2，

所以PO2+OB2=PB2，即PO⊥BO，又PO⊥AD，OB⊥OD，

則以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0，0，1)，A(0，?1，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，

所以PA=(0，?1，?1)，PB=(1，0，?1)，PC=(1，1，?1)，

設(shè)平面PAB的法向量為n=(x，y，z)，

則n?PA=0n?PB=0，即?y?z=0x?z=0，令x=1，則y=?1，z=1，即n=(1，?1，1)，

【解析】【分析】（1）取PA的中點M，連接BM，EM，推出四邊形BCEM為平行四邊形，從而得到CE//BM，即可證明；（2）取AD的中點O，連接OP、OB，即可求出PB，從而得到PO⊥OB，以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法