安徽省淮南一中等四校重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省淮南一中等四校重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知邊長(zhǎng)為4的菱形，，為的中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．84．若復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．5．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．6．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．對(duì)于任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，函數(shù).若，則大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知，，，是球的球面上四個(gè)不同的點(diǎn)，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．11．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]12．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________．14．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_(kāi)______.15．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________.16．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄AE與圓外切，并與直線相切，記動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．19．（12分）如圖，平面分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在滿足不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.22．（10分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）5101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類(lèi)：類(lèi)市民在罰金不超過(guò)10元時(shí)就會(huì)改正行為；類(lèi)是其他市民.現(xiàn)對(duì)類(lèi)與類(lèi)市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷，則前兩位均為類(lèi)市民的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類(lèi)討論和應(yīng)用意識(shí).2、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

取中點(diǎn)，可確定；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得，利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，，即.，，，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.4、C【解析】

化簡(jiǎn)得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、B【解析】

構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個(gè)面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進(jìn)行判斷．【詳解】如圖，取長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)有兩個(gè)：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？?jī)煞矫孢M(jìn)行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長(zhǎng)方體為載體進(jìn)行分析．7、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性，再由可得對(duì)稱(chēng)性，可求出在單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意，函數(shù)滿足，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?，所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)形式，屬于中檔題..8、C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因?yàn)殡p曲線，所以其漸近線方程為，又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱(chēng)性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9、A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過(guò)E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．10、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長(zhǎng)是5，底面直徑是6，據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長(zhǎng)是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識(shí)，幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)變量x，y滿足：，畫(huà)出可行域，由，解得直線過(guò)定點(diǎn)，直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x，y滿足：，畫(huà)出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，直線得斜率應(yīng)該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào)，本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解【詳解】由題意得，，令，解得，令，解得.在上遞減，在遞增．，而，故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則，結(jié)合由得到的斜率關(guān)系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，并與直線相切，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離大.因?yàn)閳A的半徑為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線的方程.（2）設(shè)，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.18、（Ⅰ）極大值0，沒(méi)有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無(wú)極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，沒(méi)有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，易得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當(dāng)時(shí)，，最小值；當(dāng)，，最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面，所以，又，所?若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則由，可得，，即，所以可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，，取，得所以易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法求二面角，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．20、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式得到答案.（Ⅱ）討論和兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性，得到只需，代入計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式為，變形為或或，解集為或.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由此可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，同樣得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，存在滿足不等式，只需，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查