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貴州省遵義市鳳岡縣第二中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.2.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.3.在中,點(diǎn)為中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與,所在直線分別交于點(diǎn),,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.4.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④5.已知集合,,則等于()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則A.3 B.4 C.5 D.67.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.10.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤(rùn)最大C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤(rùn)超過400萬(wàn)元11.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,若,,則__________.14.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個(gè)不等式應(yīng)該為__________.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為2的直線與的交點(diǎn)為,若,則直線的方程為___________.16.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為-64,則實(shí)數(shù)的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且.18.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.19.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線上的定點(diǎn)在曲線外且其到上的點(diǎn)的最短距離為,試求點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)已知,,求證:(1);(2).21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點(diǎn),求.22.(10分)已知直線:與拋物線切于點(diǎn),直線:過定點(diǎn)Q,且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成,利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成,該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖,考查柱體和錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由,,三點(diǎn)共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn),所以,又因?yàn)椋?,所以.因?yàn)?,,三點(diǎn)共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若,,則,故②正確;對(duì)于③,若,,,當(dāng),則與不平行,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若,,,則,故④正確;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因?yàn)?,所以,則.故選C.7、C【解析】

由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)椋?,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.8、D【解析】

由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.9、D【解析】

直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).10、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.11、C【解析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.12、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查兩角和的正弦公式,考查三角形的內(nèi)角和定理,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對(duì)于第一個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第二個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第三個(gè)不等式,,則有,依此類推:第個(gè)不等式為:,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.15、【解析】

設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.

由可得,

則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16、3或-1【解析】

設(shè),分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設(shè),令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則(1),(1),故曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,又曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在單調(diào)遞減,又,(1),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,由于,(1),(2),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,,單調(diào)遞減,故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且,即,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,由于,故(2),即,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí),綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因?yàn)榈淖钚≈禐?,所以,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式問題,對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.19、(1)的普通方程為.的直角坐標(biāo)方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】

(1)對(duì)直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對(duì)整理并兩邊乘以,結(jié)合,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,由題可得:,利用兩點(diǎn)距離公式列方程即可求解。【詳解】解:(1)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因?yàn)橛?,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)P到上的點(diǎn)的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)或(2,3)【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點(diǎn)距離公式,考查了方程思想及計(jì)算能力,屬于中檔題。20、(1)見解析;(2)見解析.【解析】

(1)結(jié)合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個(gè)式子,三式相加可證結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立∴.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.21、(1):;:.(2)【解析】

(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,當(dāng)時(shí),,,所以.22、(1),(1,2);(2)存在,【解析】

(1)由直線恒過點(diǎn)點(diǎn)及拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為

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