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2025屆重慶市江津區(qū)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.22.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,若的最大值為,則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1204.雙曲線(xiàn)x2a2A.y=±2x B.y=±3x5.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平,實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導(dǎo),現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師,則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.1206.設(shè)點(diǎn),P為曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為,且點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為,則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為A. B.C. D.8.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線(xiàn)AC上,且,.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知非零向量滿(mǎn)足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.311.設(shè)直線(xiàn)的方程為,圓的方程為,若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.12.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)如圖是一個(gè)算法的流程圖,若輸出的值是,則輸入的值為_(kāi)___________.14.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)15.如圖所示的流程圖中,輸出的值為_(kāi)_____.16.已知,,且,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,其面積記為,滿(mǎn)足.(1)求;(2)若,求的值.21.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫(xiě)出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.2、D【解析】

設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.3、B【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線(xiàn)與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.4、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進(jìn)而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求漸近線(xiàn)方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為y=±bax點(diǎn)睛:已知雙曲線(xiàn)方程x2a25、C【解析】

可分成兩類(lèi),一類(lèi)是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì),其他一新一老結(jié)對(duì),第二類(lèi)兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師,分別計(jì)算后相加即可.【詳解】分成兩類(lèi),一類(lèi)是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì),有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式,第二類(lèi)兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,有.∴共有結(jié)對(duì)方式60+90=150種.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情,是先分類(lèi)還是先分步,確定方法后再計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問(wèn)題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.6、C【解析】

設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時(shí),,時(shí),,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.7、B【解析】

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,由題可知.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為,故選B.8、A【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑,設(shè),利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?,所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?,所以,解?因?yàn)?,所?設(shè),易知平面ABC,則.因?yàn)椋?,即,解?所以球Q的半徑.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計(jì)算求解能力,是中檔題9、D【解析】

由恒成立,等價(jià)于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?,分別作出及的圖象,由圖知,當(dāng)時(shí),不符合題意,只須考慮的情形,當(dāng)與圖象相切于時(shí),由導(dǎo)數(shù)幾何意義,此時(shí),故.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.10、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿(mǎn)足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說(shuō)明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線(xiàn)的距離,結(jié)合弦長(zhǎng)公式得,解得或,故選A.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或【解析】

依題意,當(dāng)時(shí),由,即,解得;當(dāng)時(shí),由,解得或(舍去).綜上,得或.14、【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生,故選派的方法為:.故答案為.【點(diǎn)睛】解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi);二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō),解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體,即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).15、4【解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語(yǔ)句.16、1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個(gè)變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】

(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問(wèn)題,屬于中檔題.18、(1),,,(2)【解析】

(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解:(1),,(2)設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長(zhǎng)度為1),則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,(其中為不超過(guò)的最大整數(shù))總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下),即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類(lèi)討論的思想.19、(1)(2)【解析】

(1)分類(lèi)討論,去掉絕對(duì)值,化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求得每個(gè)不等式組的解集,再取并集即可.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最小值即可得到答案.【詳解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集為.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,只需最小值,即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查利用絕對(duì)值三角不等式求最值,屬基礎(chǔ)題.20、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進(jìn)而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式;結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn),即可求得和,進(jìn)而由正弦定理確定,代入整式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,所以.因?yàn)椋?(2)因?yàn)?,所以由正弦定理代入化?jiǎn)可得,由(1),代入可得,展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?,所以,所以,所以為等腰三角形,且,所?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積公式的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦和角公式及輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.22、(Ⅰ)

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