浙江省寧波市鄞州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第一學(xué)期鄞州中學(xué)高二期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.4．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，多選、錯(cuò)選或不選都給不分.1.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到方程組，解得答案.【詳解】方程表示橢圓，則，解得.故選：B2.“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”充分不必要條件.故選：A3.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.4.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為M，根據(jù)求出r，進(jìn)而得到M點(diǎn)橫坐標(biāo)；再設(shè)直線，由韋達(dá)定理得到k與M橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出k．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為M，軸于點(diǎn)N，過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線，將代入，得，則，解得，故直線l的方程為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是要抓住圓的兩要素：圓心和半徑，用圓心的橫坐標(biāo)得到斜率的等量關(guān)系．6.雙曲線右焦點(diǎn)為，離心率為，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點(diǎn)，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點(diǎn)，所以，即，結(jié)合，化簡(jiǎn)為，由方程兩根：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是曲線與曲線的位置關(guān)系，用聯(lián)立方程組的方法，其中化簡(jiǎn)是個(gè)難點(diǎn).7.如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，記直線與平面所成角為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，即可得到、的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，則，即可得到，再求出平面的法向量，依題意根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空間向量法表示出線面角的正弦值，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出；【詳解】解：如圖以平面為平面，平面為平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，，顯然平面的法向量可以為，設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)橹本€與平面所成角為，因?yàn)椋@然，即，因?yàn)榕c在均單調(diào)遞增，要求的最大值，即可求的最大值，所以，所以當(dāng)時(shí)，又，所以故選：A8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與軸交于點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B.是定值C.是定值 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項(xiàng)；根據(jù)A、B關(guān)于直線對(duì)稱及點(diǎn)在拋物線上可得，，，聯(lián)立化簡(jiǎn)可判定B、C選項(xiàng)；再利用AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)可得，結(jié)合直線方程可判定D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即A正確；設(shè)A、B的中點(diǎn)為D，則，易得①，又②，且③，④，將③④代入②可得：，代入①可得，故B正確，C錯(cuò)誤；所以A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為：，令得：，而位于拋物線內(nèi)部，即，可得，則．即D正確.故選：ABD10.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足BP=λBC+μBB1，其中，，則（A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP=BC+μBB1=BC+μC對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，BP=12BC+μBB1，取，中點(diǎn)分別為，，則BP=BQ+μQH，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則A1P=-32,0,μ-1，BP=0,-對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，BP=λBC+12BB1，取，中點(diǎn)為．BP=BM+λMN，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)锳32，0,0，所以AP=-故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

11.設(shè)為雙曲線：上一動(dòng)點(diǎn)，，為上、下焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)，則最小值為7B.若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（與均不重合），則C.若點(diǎn)，在雙曲線的上支，則最小值為D.過的直線交于、不同兩點(diǎn)，若，則有4條【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可確定本題答案.【詳解】由雙曲線：，得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最小值為，故A錯(cuò)誤；設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，有一個(gè)不存在；故B錯(cuò)誤；，故C正確；由雙曲線：，可得通徑長(zhǎng)為，且實(shí)軸長(zhǎng)，所以這樣的直線有4條，故D正確.故選：CD12.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，分別為的中點(diǎn)，則（）A.四面體是鱉臑B.與所成角的余弦值是C.點(diǎn)到平面的距離為D.過點(diǎn)平面截四棱錐的截面面積為【答案】ABD【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)鱉臑的定義即可判斷A；利用向量法即可判斷BC；設(shè)過點(diǎn)的平面于線段的交點(diǎn)為，根據(jù)共面，可得存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，由此求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，因?yàn)椋?，即，所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，所以四面體是鱉臑，故A正確；對(duì)于B，，則與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)過點(diǎn)的平面于線段的交點(diǎn)為，則，因?yàn)楣裁?，則共面，故存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，所以，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)是圓：上動(dòng)點(diǎn)，.若線段的中垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義以及其標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：因?yàn)闉榫€段中垂線上一點(diǎn)，所以，則，顯然為圓：的半徑，則，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以定點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，解得，故其軌跡方程為.故答案為：.14.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是______．【答案】【解析】【分析】方法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量公式結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】［方法一］：異面直線所成角的向量公式設(shè)直線與所成角為，設(shè)是中點(diǎn)，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，作于，翻折過程中，始終與垂直，，則，，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為，所以＝，所以時(shí)，取最大值．故答案為：．［方法二］：幾何法由翻折過程可以看出D'在以H為圓心，DH為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)E是圓H與平面ABC的交點(diǎn)，易知E在CB上，且CE=1．設(shè)直線AC與BD'所成角為，則，，設(shè)點(diǎn)在平面上的投影為，，因此．［方法三］：考慮純幾何運(yùn)算由折疊過程可知，在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且垂直圓所在的平面，如圖,作于，則，與所成角即為，且，,要使最大只需最小，在中，為定值，即只要最短,，因此．［方法四］：【最優(yōu)解】利用三余弦定理前面過程同方法三,與所成角即為，是點(diǎn)在平面上的投影，可知：觀察得當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，和同時(shí)達(dá)到最小，和同時(shí)取最大，此時(shí)有最大值，最后我們不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在翻折過程中，，那么，即當(dāng)與重合時(shí)有最大值.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用建系求異面直線所成角，是通性通法，易操作，但此題運(yùn)算較復(fù)雜；方法二：利用幾何性質(zhì)求異面直線所成角，計(jì)算簡(jiǎn)單，需要較好的空間想象能力；方法三：利用幾何法找到異面直線所成角的平面角，計(jì)算簡(jiǎn)單，需要較好的空間想象能力；方法四：利用三余弦定理分析最簡(jiǎn)單，但是三余弦定理不是教材要求必需掌握的內(nèi)容．15.已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，得到韋達(dá)定理式，求出坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式和兩點(diǎn)距離公式得到和的表達(dá)式，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】顯然當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，不合題意；故設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程有，則，，，則，，，則，則，準(zhǔn)線方程為，，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采取設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理式，再利用中點(diǎn)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用弦長(zhǎng)公式和兩點(diǎn)距離公式得到相關(guān)表達(dá)式，最后利用基本不等式即可得到答案.16.已知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且最小值為，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】5【解析】【分析】結(jié)合圖形，先判斷得，再將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用換元法與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可得解.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋郑员硎窘裹c(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為的雙曲線上支的一部分，而圓的圓心為，半徑為，如圖，因?yàn)樽钚≈禐椋?，又，即，所以，即，則，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故設(shè),，所以，令，，則，，所以，令，則其對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，則，即，則，解得或（舍去），所以.故答案為：5.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，從而得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱．（1）若直線過點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，求直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，的面積為2，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱先求出B點(diǎn)坐標(biāo)（1）過點(diǎn)B到點(diǎn)A距離最大的直線與直線AB垂直，從而求出直線方程；（2）畫出圖像，可求出點(diǎn)C到直線AB的距離，又點(diǎn)C在直線上，可設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出C，又直線過點(diǎn)A，利用兩點(diǎn)A、C即可求出直線的方程.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)則，解得：，所以點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）若直線過點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，則直線與過點(diǎn)的直線垂直，所以，則直線為：，即.（2）由條件可知：，的面積為2，則的高為，又點(diǎn)C在直線上，直線與直線垂直，所以點(diǎn)到直線AB的距離為.直線方程為，設(shè)，則有，即或又，解得：或則直線為：或【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，考查直線與直線相交的綜合應(yīng)用..方法點(diǎn)睛：（1）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)（2）兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，兩點(diǎn)連線與原直線垂直，列方程組；（3）解出點(diǎn)坐標(biāo).18.已知圓，直線．（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出直線過定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可證明結(jié)論；（2）當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出最短弦長(zhǎng)，根據(jù)求出直線的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.【小問1詳解】直線化為，則，解得，所以直線l恒過定點(diǎn)，圓心，半徑，又因，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；【小問2詳解】當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，，所以直線l的斜率為2，即，解得，所以直線l的方程為.19.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1詳解】過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．20.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程.（2）若動(dòng)直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在x軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)【解析】【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡(jiǎn)整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.【小問1詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；綜上所述：雙曲線的方程為：.【小問2詳解】由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).21.如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．（1）求四棱錐的體積的最大值；（2）若棱的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到當(dāng)平面⊥平面時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（2）作出輔助線，證明出四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到；（3）作出輔助線，得到∠PGD為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達(dá)出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值【小問1詳解】取AM的中點(diǎn)G，連接PG，因?yàn)镻A=PM，則PG⊥AM，當(dāng)平面⊥平面時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)PG⊥平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為【小問2詳解】取AP中點(diǎn)Q