概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集解答(第二版)

第一章隨機(jī)事件及其概率

1.寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

(1)同時(shí)擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和；

(2)在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)；

(3)10件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出

為止，記錄抽取的次數(shù)；

(4)測(cè)量一汽車(chē)通過(guò)給定點(diǎn)的速度.

解所求的樣本空間如下

(1)S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

(2)S={(x,y)|x2+y2<l}

(3)S={3,4,5,6,7,8,9,10)

(4)S={v|v>0}

2.設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：

(1)A發(fā)生，8和C不發(fā)生；

(2)A與8都發(fā)生，而C不發(fā)生；

(3)A、B、C都發(fā)生；

(4)A、B、C都不發(fā)生；

(5)A、B、C不都發(fā)生；

(6)A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生；

(7)A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生；

(8)A、B、C至少有兩個(gè)發(fā)生.

解所求的事件表示如下

(1(TjlBC(3)1~(

(5FVC(6國(guó)SC

(8》4U40CA

3.在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件8表示該生是三年

級(jí)學(xué)生，事件C表示該學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員，則

(1)事件A3表示什么？

(2)在什么條件下ABC=C成立？

(3)在什么條件下關(guān)系式CuB是正確的？

(4)在什么條件下亂B成立？

解所求的事件表示如下

(1)事件A3表示該生是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員.

(2)當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生時(shí)，ABC=C成立.

(3)當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)，關(guān)系式CuB是正確的.

(4)當(dāng)全校女生都在三年級(jí)，并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)，屋B成立.

4.設(shè)P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,試求P(而)

解由于=P(A)=0.7所以

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.3,

所以P(AB)=0.4,故P(AB)=1-0.4=0.6.

5.對(duì)事件A、B和C,已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=-求A、

48

B、C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率.

解由于ABCuAB.P(AB)=0,故P(ABC)=0

貝P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

6.設(shè)盒中有a只紅球和b只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率：

A=｛兩球顏色相同｝,

B=｛兩球顏色不同｝.

解由題意，基本事件總數(shù)為反.，有利于A的事件數(shù)為北+用，有利于B的事件數(shù)為

44+4*244,

則P(4)=叁2P(B)=4△

7.若10件產(chǎn)品中有件正品，3件次品，

(1)不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；

(2)每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.

解(1)設(shè)人=｛取得三件次品｝則

P(A)=與=」-或者尸(4)=4=9.

(2)設(shè)8=｛取到三個(gè)次品｝,則

3327

尸(*=存=麗,

8.某旅行社100名導(dǎo)游中有43人會(huì)講英語(yǔ)，35人會(huì)講日語(yǔ)，32人會(huì)講日語(yǔ)和英語(yǔ)，9人

會(huì)講法語(yǔ)、英語(yǔ)和日語(yǔ)，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語(yǔ)言中的一種，求：

(1)此人會(huì)講英語(yǔ)和日語(yǔ)，但不會(huì)講法語(yǔ)的概率；

(2)此人只會(huì)講法語(yǔ)的概率.

解設(shè)A=｛此人會(huì)講英語(yǔ)｝,B=｛此人會(huì)講日語(yǔ)｝,C=｛此人會(huì)講法語(yǔ)｝

根據(jù)題意，可得

(1)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=—--—=—

''100100100

(2)P(ABC)=P(AB)~P(ABC)

=P(A+=P(A+B)

=1-P(A)-P(5)+P(AB)

,43353254

100100100100

9.罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，若從中任取3顆，求:

(1)取到的都是白子的概率;

(2)取到兩顆白子，一顆黑子的概率;

(3)取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率;

(4)取到三顆棋子顏色相同的概率.

解

(1)設(shè)人=（取到的都是白子｝則

P（A）=Z=更=0.255.

C：,55

⑵設(shè)8=｛取到兩顆白子，一顆黑子｝

P（B）=^^=0.509?

設(shè)C=｛最三顆子中至少的一顆黑子｝

⑶

P（C）=1-P（4）=0.745.

(4)設(shè)》=｛取到三顆子顏色相同｝

p（D）=G[J=0.273.

C12

10.（1）500人中，至少有一個(gè)的生日是7月1日的概率是多少（1年按365日計(jì)算）?

（2）6個(gè)人中，恰好有個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？

解

（1）設(shè)人=｛至少有一個(gè)人生日在7月1日）,則

-364500

P（A）=1-P（A）=1-^—=0.746

365Mo

（2）設(shè)所求的概率為P（B）

P（B）=C"=0.0073

11.將C,C,E,E,I,N,S7個(gè)字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率p.

解由于兩個(gè)C,兩個(gè)E共有&&種排法，而基本事件總數(shù)為田，因此有

〃=0.000794

4

12.從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對(duì)的概率.

解要4只都不配對(duì)，我們先取出4雙，再?gòu)拿恳浑p中任取一只，共有圖力中取法.設(shè)

A=｛4只手套都不配對(duì)｝,則有

13.一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造三只同種零件，第i只零件是不合格的概率為

P.=—,i=l,2,3,若以x表示零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P（x=2）為多少？

1+1

解設(shè)Ai=｛第i個(gè)零件不合格｝,i=l,2,3,則

所以P（A）=I-P,=-L

1+/

P（X=2）=P（NAA）+P（A川A）+P（4&A）

由于零件制造相互獨(dú)立，有：

P?A2A3）=p（而p（d）p（4）,P（AWA）=P（A）P（^）P（A）

尸（A&A）=P（A）P（&）尸（4）

11112111311

所以，P(x=2)=—X—X—+—X—X—+—X—X—

23423423424

14.假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7,這時(shí)射擊命中目標(biāo)的概率為0.6,試求兩次獨(dú)

立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率p.

解設(shè)人=｛目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi)｝,B=｛射擊擊中目標(biāo)｝,Bi=｛第i次擊中目標(biāo)｝,i=l,2.

則P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=BI+B2,由全概率公式

P(B)=P(AB)+P(AB)

=P(AB)=P(A)P(B|A)

=P(A)P((穌+Bz)|A)

另外，由于兩次射擊是獨(dú)立的，故

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36

由加法公式

P((B|+B2)|A)=P(B||A)+P(B2|A)-P(BIB2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)=P(A)P((BI+B2)|A)=0.7X0.84=0.588

15.設(shè)某種產(chǎn)品50件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒(méi)有次品的概率為0.35,有1,2,3,4件

次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02,今從某批產(chǎn)品中抽取10件，檢查出一件次品,

求該批產(chǎn)品中次品不超過(guò)兩件的概率.

解設(shè)Ai=｛一批產(chǎn)品中有i件次品｝,i=0,l,2,3,4,B=｛任取10件檢查出一件次品｝,

C=｛產(chǎn)品中次品不超兩件｝,由題意

p⑷A>)=。

A)=-

「(M4)=百=而

P⑻2箸啜

988

P(B\A)=

i2303

由于Ao,Ai,A3A%A4構(gòu)成了一個(gè)完備的事件組，由全概率公式

p(8)=七產(chǎn)(3)「(8|A,)=0.196

i-O

由Bayes公式

HA,IB>=39142=0.255

1P(B)

"吁"if=0333

2P(B)

故

P(C)=￡P(guān)(A,|B)=0.588

16.由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%,10%和90%的概率分別為0.8,

0.15,0.05,現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是

多少(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率).

解設(shè)8=｛三件都是好的｝,A產(chǎn)｛損壞2%｝,A2=｛損壞10%｝,A尸｛損壞90%｝,則Ai,A2,A3

是兩兩互斥，且Ai+A2+A3=Q,P(Ai)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.

333

因此有P(B|Ai)=0.98,P(B|A2)=0.90,P(B|A3)=0.1,

由全概率公式

尸(8)=亡尸(人)尸(3|4)

;->l

=0.8x0.983+0.15x0.903+0.05xO.103=0.8624

由Bayes公式，這批貨物的損壞率為2%,10%,90%的概率分別為

p(A)/>(8|A)0.8x0.98-

尸(A18)==0.8731

0.8624

Q(A)Q(AIA)0.15x0.90”

「(3|B)==0.1268

~~P(B)——0.8624-

P(d)P(2?|d)O.O5XO.IO3

P(&IB)==0.0001

P(B)-—0.8624-

由于P(Ai|B)遠(yuǎn)大于P(A3|B),P(A2IB),因此可以認(rèn)為這批貨物的損壞率為0.2.

17.驗(yàn)收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計(jì)資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且

含0,1和2件殘次品的箱各占80%,15%和5%,現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中

4只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過(guò)驗(yàn)收，否則要逐一檢驗(yàn)并更換殘次品，試求：

(1)一次通過(guò)驗(yàn)收的概率a；

(2)通過(guò)驗(yàn)收的箱中確定無(wú)殘次品的概率B.

解設(shè)Hi=(箱中實(shí)際有的次品數(shù)｝,,=OJ,2,A=｛通過(guò)驗(yàn)收｝

則P(Ho)=O.8,P(Hi)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：

P(A|//O)=I.

/3UIW,)=S-=1.

C246

C495

P(A\H,)=^-=—

2Ci138

(1)由全概率公式

a===0.96

r-0

(2)由Bayes公式得

P=P(H,|A)=為「⑷=SIT!=o.83

'尸(A)0.96

18.一建筑物內(nèi)裝有5臺(tái)同類(lèi)型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻，每臺(tái)設(shè)備被使用的

概率為0.1,問(wèn)在同一時(shí)刻

(1)恰有兩臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？

(2)至少有三臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？

解設(shè)5臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻是否工作是相互獨(dú)立的，因此本題可以看作是5重伯努利試驗(yàn).

由題意，Wp=0.1,q=1-p=0.9,故

(1)耳=6(2)=C；(0.1)2(0.9/=0.0729

(2)鳥(niǎo)=鳥(niǎo)(3)+鳥(niǎo)(4)+乙(5)

=C；?I[(0.9)2+c；(0.1)4(0.9)i+點(diǎn)(0.140.9)°=0.00856

*

第二章隨機(jī)變量及其分布

1.有10件產(chǎn)品，其中正品8件，次品兩件，現(xiàn)從中任取兩

件，求取得次品數(shù)X的分律.

解X的分布率如下表所示：

2.進(jìn)行某種試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的概率為3,失敗的概率為L(zhǎng)

44

以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫(xiě)出X的分

布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.

解X的分布律為：

P(X=k),Z=1,2,3,…

X取偶數(shù)的概率:

P{X為偶數(shù)}=￡P(guān)(x=2k)=寸1]

3.從5個(gè)數(shù)1,2,3,4,5中任取三個(gè)為數(shù)不打七.求:

X=max(與%,玉)的分布律及P(XW4)；

Y=min(公打品)的分布律及P(Y>3).

解基本事件總數(shù)為：c^io,

*

(1)X的分p0.10.30.6布律為:

P(XW4)=P(3)+P(4)=0.4

(2)Y的分布律為

Y123

p0.60.30.1

P(X>3)=0

4.C應(yīng)取何值，函數(shù)f(k)=c二，k=l,2,入＞0成為

k\

分布律？

解由題意，￡/(x)=l,即

A=1

QOQOQkIQO二、

匯。=C匯備=CE=C(/-1)=1

k=\77k-\K?\A=O5J

]

解得：C

(/—1)

5.已知X的分布律

F=71I2

p1Z3

r666

*

求：（1）X的分布函數(shù)；（2）（3）p[i<x<|y

解（1）X的分布函數(shù)為2x）=p（xwx）=Z0

0,x<-l

1/6,X

F（x）=\-1<<1；

1/2,\<x<2

1,x>2

(2)P"￡|=P(X=7)=:

(3)P(I<X?|)=P(0)=O

6.設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為P=0.6,求一次投籃時(shí)投

中次數(shù)X的分布函數(shù)，并作出其用獷

解X的分布函數(shù)I?！?/p>

F（x）=<0.60<x<l0

1x>\

7.對(duì)同一目標(biāo)作三次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為

P，求：

(1)三次射擊中恰好命中兩次的概率；

(2)目標(biāo)被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標(biāo)被擊毀的

概率是多少？

解設(shè)A=｛三次射擊中恰好命中兩次｝,B=目標(biāo)被擊毀，

則

(1)P(A)=6⑵=C；p2(l-°產(chǎn)2=3p2(]一0

(2)P(B)=A(2)+33)=C；p2(l-p產(chǎn)+C；p3(l-p產(chǎn)=3p2-2p3

8.一電話(huà)交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分

布，求：

(1)每分鐘恰有6次呼喚的概率；

*

(2)每分鐘的呼喚次數(shù)不超過(guò)10次的概率.

解

#46

—廠一廠=0104

（DP（X=6）=k\6!或者

jkooAICDOAk

P（X=6）=上e--Z土屋―￡匕二=0.21487-0.11067二

k!依k\6k!

0.1042.

io4女04%

二，一小二1—，一=1—0.00284

（2）p（xwi。）￡k!

0.99716

9.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求

P(X=4)

￡_A_￡T

解由已知可得，工，二萬(wàn)，‘

解得人=2,(入=0不合題意)

.?4

因止匕，P(X=4)=—e~2

I?=009

10.商店訂購(gòu)1000瓶鮮橙汁，在運(yùn)輸途中瓶子被打碎的概率

為0.003,求商店收到的玻璃瓶，(1)恰有兩只；(2)小

于兩只；(3)多于兩只；(4)至少有一只的概率.

解設(shè)X={1000瓶鮮橙汁中由于運(yùn)輸而被打破的瓶子數(shù)},

則X服從參數(shù)為n=1000,p=0.003的二項(xiàng)分布，即

X~B(1000,0.003),由于n比較大,p比較小,np=3,因此可

以用泊松分布來(lái)近似，即乂~冗(3).因此

*

⑴P(X=2)=，』224

(2)p(x<2)=l-P(X>2)=l-^|ye-3=1-0.8008=0.1992

(3)P(X>2)=P(X>2)=g—e-3=0.5768

(4)P(X>1)=^—e'3=0.9502

k=\k!

11.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,x<0

F(x)=?kx2,0<x<l

1,x>\

求：(1)系數(shù)k；(2)P(0.25<X<0.75)；(3)X的密度函

數(shù)；(4)四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間(0.25,0.75)

內(nèi)取值的概率.

解(1)由于當(dāng)OWxWl時(shí)，有

F(%)=P(X尸P(X<O)+P(OWX^x)=kx2

又F⑴=1,所以kXR=i

因此k=l.

(2)P(0.25<X<0.75)=F(0.75)-F(0.25)=0.752-0.252=0.5

(3)X的密度函數(shù)為

2x,0<x<l

f(x)=F'(x)=

0,Other

(4)由(2)知，P(0.25<X<0.75)=0.5,故

P｛四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次在(0.25,0.75)內(nèi)｝=

Cl0.53(1-0.5)4-3=0.25

12.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為

x<]

F(x)=A/1-X2\\

0,中1

求：(1)系數(shù)k；(2)(3)X的分布函數(shù).

*

0+8

解⑴由題意，J-oof=1因此

r+oo/?+1'1

f于(Qdx=\.dx=karcsinx=kjr=1

J-00J—I-x2-1

解得：」

71

(2)

(1A

「"2k,1.1/2171一兀'￡

P=I-idx=—arcsinx

\乙)L"2J12冗-1/27166?3

(3)X的分布函數(shù)

0x<—1

F(x)=[f\x)dx=<1/2+arcsinx/7r-1<x<1

J-00

1X>1

解得：k=1/71

13.某城市每天用電量不超過(guò)100萬(wàn)千瓦時(shí)，以Z表示每天

的耗電率(即用電量除以100萬(wàn)千瓦時(shí))，它具有分布密度

為

12x(1-x)2,0<x<l

F(x)=

0,其他

若該城市每天的供電量?jī)H有80萬(wàn)千瓦時(shí)，求供電量不夠

需要的概率是多少？如每天供電量為90萬(wàn)千瓦時(shí)又是怎

樣的？

解如果供電量只有80萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為:

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=J；i2x(i-以公=0.0272

如果供電量只有80萬(wàn)千瓦，茬電量不夠用的概率為：

P(Z>90/l00)=P(Z>0.9)=￡12宜1-4公=0.0037

14.某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命(單

位小時(shí))都服從同一指數(shù)分布，分布密度為

*

g、——em,0<x

F(x)=J600

0,0>x

試求在儀器使用的最初200小時(shí)以?xún)?nèi)，至少有一只電子

元件損壞的概率.

解設(shè)X表示該型號(hào)電子元件的壽命，則X服從指數(shù)分布,

設(shè)A={XW200},貝IJ

X1

「2001

P(A)=Jo而e600dx=l-e

設(shè)Y={三只電子元件在200小時(shí)內(nèi)損壞的數(shù)量},則所

求的概率為：

1

尸(丫21)=1—尸(丫=0)=1—CfP(A)°(1-尸(A))?-。=]—(e3y=]__

15.設(shè)X為正態(tài)隨機(jī)變量,且X?N(2,/),又P(2<X<4)=0.3,

求P(X<0)

解由題意知

P(2<X<4)=P仔上上①(2)一①(0)=0.3

BP①[2]=0.3+0.5=0.8

故P(X<0)=P(^^<^^)=①F)=l-0>(2)=0.2

16.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10,4),求公使P(|X—

10|<a)=0.9.

解由于P(|X-10|")=?(一a<X-10<a)=p[/<^^<9

T升①用=2①⑶-1=0.9

所以①(￡j=0.95

查表可得，巴二1.65

2

*

即。=3.3

17.設(shè)某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(10.05,

0.062),規(guī)定X在范圍(10.在±0.12)厘米內(nèi)為合格品,求

螺栓不合格的概率.

解由題意，設(shè)P為合格的概率，則

5

P=P(|X-10.05|<0.12)=P(-0.12<X-10.05<0.12)=尸［2<，；優(yōu)<2)

=0(2)-①(—2)=2①⑵-1=2x0.9772-1=0.9544

則不合格的概率=1-P=0.0456

18.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(60,9),求分點(diǎn)xi,X2,

使X分別落在(-8,XI)、(Xl,X2)、(X2,+8)的概率之

比為3:4:5.

解由題，

X-60x,-60—60、3八”

P(X")=P3<3=①----)=------=0.25

33+4+5

查表可得

_^-60=()67

3

解得,xi=57.99

又？(*<芻)=尸[^^<^^]=中(^^)=^^-=0.5833

I33)33+4+5

查表可得

^^=0.21

3

解得,X2=60.63.

19.已知測(cè)量誤差X(米)服從正態(tài)分布N(7.5,10,必須進(jìn)

行多少次測(cè)量才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10

米的概率大于0.98?

解設(shè)一次測(cè)量的誤差不超過(guò)10米的概率為p,則由題可知

-10-7.5C-7510-5

p=P(\X\<1O)=P<2：<11

101010

=①(0.25)-0(-1.75)=0(0.25)-1+0(1.75)=0.5987-1+0.9599=0.5586

*

設(shè)Y為n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量誤差不超過(guò)10米出現(xiàn)的次數(shù),

則Y?B(n,0.5586)

于是P(Y^1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n0.98

0.441個(gè)W0.02,n2ln(0.02)/ln(0.4414)

解得：n三4.784

取n=5,即，需要進(jìn)行5次測(cè)量.

20.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

_X-------W--------0------2-3

試求：(1)2X的分布列；(2)X2的分布列.

解(1)2X的分布列如下

解y二|x|的反函數(shù)為h(y)={'從而可得Y二|X|

的密度函數(shù)為：

當(dāng)y>0時(shí)，

1zZZ2_I_ZZ.

e2+ee

fy(y=fx-y-y+fxyy=-^=~^=J~

當(dāng)yWO時(shí)，fy(y)=O

因此有G3)=

22.若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

*

3x2,0cx<1

f(x)=

0,其他

求Y=，的分布函數(shù)和密度函數(shù).

解y=l在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)，且反函數(shù)為h(y)=1,

%y

y>l,h'(y一一二

f(y)=fWy)]\h'(y)\=f----y=3

YxxI”y

因此有小y)=亍

0,other

Y的分布函數(shù)為：8)=J3”"

23.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

-----—，%>。

/(%)=儼1+廠)

0,x<0

試求Y=lnX的密度函數(shù).

解由于y=lnx嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為〃(y)=“且/z'(y)=e=則

不(，)=八["(>)]I無(wú)'(，)1=八o金〉|

2d〉

+口2,

2

兀y+W,)

24.設(shè)隨機(jī)變量X服從N(P,/)分布，求丫=人的分布密度.

解由于y=e*嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為/?(y)=lny,且"(y)=l,y>0,

*

則

A(y)=A[^)]l^)l=A(m^)|

1------z-(lny-〃尸

=?--e2b.y>0

京by

當(dāng)”0時(shí)萬(wàn)(y)=0

[1W

y>o

因此fY(y)=,J2兀by

0,y<0

25.假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y=

1-在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.

解由于y=l-eN在(0,+8)上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為：

h(y)=-gln(l-y),0<y<1,

并且h,(y)=一!一，則當(dāng)0<>,<1

2(1-y)

r

fYCy)=fxlh(y^\h(y)\

1

2(1-y)

—2(—^-ln(l-y))1

=2e2------------=1

2(1-y)

當(dāng)yWO或y》l時(shí)，"(y)=0.

因此Y在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.

26.把一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中正面出現(xiàn)的次

數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之

差的絕對(duì)值，試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布.

解根據(jù)題意可知,(X,Y)可能出現(xiàn)的情況有：3次正面，2

次正面1次反面，1次正面2次反面，3次反面，對(duì)應(yīng)的X,Y

的取值及概率分別為

P(X=3,Y=3)=lP(X=2,Y=l)=c；^J[l]=|

P(X=1,Y=D=c；Wfir=|P(X=0,Y=3)=[4=1

于是，(X,Y)的聯(lián)合分布表如下：

*

X0123

103/83/80

31/8001/8

27.在10件產(chǎn)品中有2件一級(jí)品，7件二級(jí)品和1件次品，

從10件產(chǎn)品中無(wú)放回抽取3件，用X表示其中一級(jí)品件

數(shù)，Y表示其中二級(jí)品件數(shù)，求：

(1)X與Y的聯(lián)合概率分布；

(2)X、Y的邊緣概率分布；

(3)X與Y相互獨(dú)立嗎？

解根據(jù)題意，X只能取0,1,2,Y可取的值有：0,1,

2,3,由古典概型公式得：

(1)PLP(X=i,Y=j)=EG、其

jo

中,i+/+A=3,i=0,l,2,/=0,l,2,3

Z=0,1,可以計(jì)算出聯(lián)合分布表如下

X0123P<

00021/12035/12056/120

1014/12042/120056/120

21/1207/120008/120

Pj1/12021/12063/12035/120

(2)X,Y的邊緣分布如上表

(3)由于P(X=0,Y=0)=0,而P(X=0)P(Y=0)￥0,

P(X=0,Y=0)￥P(X=0)P(Y=0),因此X,Y不相互獨(dú)立.

28.袋中有9張紙牌,其中兩張“2”，三張中”,四張“4”,

任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)

*

分別為X和Y,求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律，以

及概率P(X+Y>6)

解(1)X,Y可取的值都為2,3,4,則(X,Y)的聯(lián)合概率分

布為：

X234Pi

2&/蜀=1/36必/&=1/12娟/4=1/92/9

3府=1/12&/&=l/12C；C：/4=l/61/3

44：8/4=1/9A：A；/4=1/6&/蜀=1/64/9

Pj2/91/34/9

(2)P(X+Y>6)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+

P(X=4,Y=4)

=1/6+176+1/6=1/2.

29.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

/、/、

xy?

F(x,y)=AB+arctan—C+arctan—,

\2八3J

求：(1)系數(shù)A、B及C；(2)(X,Y)的聯(lián)合概率密度;

(3)X,Y的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；(4)隨機(jī)

變量X與Y是否獨(dú)立？

解⑴由(X,Y)的性質(zhì)，F(xiàn)(x,-8)=o,F(-8,y)=o,F(-

-°°)=0,F(+8,+8)=1,可以得到如下方程組：

+arctanC-—0

3—+arctan=0

-卦。

XB+?XC+?)=1

*

解得：A=9B=&y

e”(x,y)6

⑵f(x,y)=

dxdy7r2(4+x2)(9+y2)

⑶X與Y的邊緣分布函數(shù)為：

L/、L/、1(%,%Y乃乃11(乃，X

4(X)=F(X,+OO)=F-+arctan--+--+arctan-

7r\2222)7T\22

耳(y)=F(+8,y)

X與Y的邊緣概率密度為：

2

勿上羯(尤)=而前

3

加…即可而

(4)由(2),(3)可知:/(x,y)=A(x)/r(y),所以X,Y相互獨(dú)立.

30.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

一、[e'(x+y),0<x<+oo,

[0,其他

(1)求分布函數(shù)F(x,y)；

(2)求(X,Y)落在由x=0,y=0,x+y=l所圍成的三

角形區(qū)域G內(nèi)的概率.

解⑴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x,y)=['['e~(u+v)dudv=(1-e~x)(l-e~y)

X>0,y>0JOJO

否則，F(xiàn)(x,y)=0.

(2)由題意，所求的概率為

P((x,y)eG)=JJf(x,y')dxdy

G

=J；dx^'e-(x+y}dy=1-2e-=0.2642

31.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

Ae?3x+4y),x>0,y>0,

f(x,y)=<

0,其他

*

求：(1)常數(shù)A；(2)X,Y的邊緣概率密度；(3)

p(o<x<1,o<y<2).

解(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，可得

J：」：y)dxdy=1=J；J；Ae-**+4,>和=A/12

解得A=12.

(2)X,Y的邊緣概率密度分別為：

LMj112e-3“=3e3，x>0

力(x)=J/(x,yWy=產(chǎn)

0,other

「、產(chǎn)”、，［廣12/3+4,"=4/、°

0,other

(3)P(0<x<l,0<j<2)

=良12"。"+4”辦

=(l-e-3)(l-e-8)

.設(shè)隨機(jī)變量(的聯(lián)合概率密度為

32X,Yr)

〃、爐+?0<x<l,0<：v<2,

/(x,y)=33

.0,其他

求P(X+YN1).

解由題意，所求的概率就是(X,Y)落入由直線x=0,x=l,

y=0,y=2,x+y=l圍的區(qū)域G中，則

P((x,y)eG)=jjf(x,y)dxdy

G

=1X1+券y

ri4x2x5x3,65

33.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在圖2.20所示的區(qū)域G上服從均

勻分布，試求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.

解由于(X,Y)服從均勻分布，則G的面R

*

A=j|f(x,y)dxdy-j；dx^\dy=￡(x-x1)dx--,

A

G°°6

(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：

[6,0<x<l

f(x,y)=\,

0,other

X,Y的邊緣概率密度為：

’2

叱)=匚/(須.=J；她'=6,2O<X<1

0,other

加y)=J0(x,y加=|r皿=6(47)，。"<1

0,other

34.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,0.2)上服

從均勻分布，Y的概率密度是

y>0

川)=1

0,y<0

求：(1)X和Y和聯(lián)合概率密度；(2)P(YWX).

解由于X在(0,0.2)上服從均勻分布，所以人*)=1/0.2=5

(1)由于X,Y相互獨(dú)立，因此X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)

251y>0,0<x<0.2

f(x,y)=fx(x)fY(y)=<

0,other

(2)由題意，所求的概率是由直線x=0,xO.2t-

所圍的區(qū)域，

如右圖所示，因此

P(Y4X)=JJf(x,y)dxdy=￡25e~>ydy

G.

f0.2,..

=5f\-e-5xdx=\+e-'

Jo

35.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

g,0<x<l,0<y<2

f(x,y)=<

0,其他

求X與Y中至少有一個(gè)小于凈概率.

解所求的概率為

p"）u（y）；

=1-小弓,色

36.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且

求二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律.

解由獨(dú)立性，計(jì)算如下表

X-113PJ

-31/81/203/401/4

13/83/209/403/4

Pi1/21/56/20

37.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為

11J_

?778

2abc

（1）求常數(shù)a,b,c應(yīng)滿(mǎn)足的條件；

（2）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，求常數(shù)a,b,c.

*

解由聯(lián)合分布律的性質(zhì)，有：

—+a+z?+c=i,即a+b+c—1——

691833

又，X,Y相互獨(dú)立，可得a-.b-.c4----1

6918

從而可以得到：a=b--,c=-

399

38.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

,X>0,y>1,

1+x2

F(x,y)=<,x>0,0<^<1,

1+x2

0,其他,

求邊緣分布函數(shù)工(x)與々.(y),并判斷隨機(jī)變量X與Y是

否相互獨(dú)立.

解由題意，邊緣分布函數(shù)

-x2f

廠/、廠/、Hm-----7=-------y,x>0

Fx(x)=F(x,+oo)=<]+],|_工2

0,X<0

下面計(jì)算FY(>)

o,y<0

甲y)=W+8,y)=,1吧

0<y<1

2

lim------T-=1,y>i

Xf田1+x

可以看出，F(xiàn)(x,y尸F(xiàn)x(x)FY。)，因此，X,Y相互獨(dú)立.

39.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布

函數(shù)為

x>1,y>1

f(x,y)=?第

0,其他，

求邊緣概率密度力⑴與人(>),并判斷隨機(jī)變量X與Y是

否相互獨(dú)立.

解先計(jì)算力(幻，當(dāng)XV1時(shí)，力(幻=0

當(dāng)ei時(shí)，

再計(jì)算加力，當(dāng)尸1時(shí)，人(y)=o

當(dāng)y21時(shí)，/；(y)=JJ抵=23,：="'

可見(jiàn)，f(x,y)"(x)加y),所以隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立

40.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布

函數(shù)為

卜+y,0<%,^<1,

小加=。，其他，

求邊緣概率密度人(幻與亦(y),并判斷隨機(jī)變量X與Y

是否相互獨(dú)立.

解先計(jì)算fx(%)，當(dāng)％<?；蛘?>1時(shí)，fx(幻=0

1

當(dāng)時(shí)，f(x)=^x+ydy=xy+}y2=%+一

x2

再計(jì)算力(y),當(dāng)y<?；蛘遹>l時(shí)，力(y)=o

當(dāng)12y20時(shí)，/；(y)=￡x+雙=肛+產(chǎn)；=

由于/(x,y)=x+yK/x(x)/y(y)=(x+g)(y+g),所以隨機(jī)變量

X,Y不獨(dú)立

41.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布

函數(shù)為

2e"x~2yx>0,y>0

f(x,y)=(

u，其他

求隨機(jī)變量Z=X-2Y的分布密度.

解先求Z的分布函數(shù)F(z)

尸(z)=P(ZWz)=P(X-2y〈z)=JJf(x,y)dxdy

DtX-2Y<z

當(dāng)z<0時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋={(x,y)|x>0,y>0,x-2y

*

求得尸⑶=「時(shí)：2e-x-2ydx

^2fXe-2y-e-4y-：dy^-e:

J-22

當(dāng)z20時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋={(x,y)|x>0,y>0,

2i"-I

由此，隨機(jī)變量z的分布函數(shù)為

?1

1——ez>0

F(z)=，2

1z

2e，z<0

因此，得Z的密度函數(shù)為:

z>0

2

/(z)=v

J

z<0

,2

42.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，X?N3b2),

Y服從[—b,b](b>0)上的均勻分布，求隨機(jī)變量Z=X

+Y的分布密度.

解解法一由題意，

上心11

/⑶可f(z-y)fy^dy=-7=~e2b—dy

JvxJ-Jb,2b

令(z—y—a)/b=/,dy=—adt,ye[-b,b],則

1:+b-a1ZL_1

F(z)=—[；^=￡2力=_(①(中)一①(中))

2b0而2/。°八

解法二

*

F(z)=fx(x)/r(z-x)dx,

,/-b<z-x<b,

z-b<x<z+b

一(%—a)2

e-2^-