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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、“分類”與“分步”是區(qū)分兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的唯一標(biāo)準(zhǔn)【例1】某同學(xué)有若干本課外參考書,其中外語(yǔ)5本,數(shù)學(xué)6本,物理2本,化學(xué)3本,他欲帶參考書到圖書館看書。(1)若從這些參考書中帶一本去圖書館,有多少種不同的帶法?(2)若外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)參考書各帶一本,有多少種不同的帶法?(3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館,有多少種不同的帶法?思路分析:(1)中“帶一本參考書"應(yīng)運(yùn)用加法原理;(2)中“各帶一本參考書"應(yīng)運(yùn)用乘法原理;(3)中“第2本不同學(xué)科的書"應(yīng)分情況討論,具有綜合性。解析:(1)要完成的事是“帶一本參考書”,由于無(wú)論帶哪一學(xué)科的書都完成了這件事,因此是分類問題,應(yīng)用加法原理得5+6+2+3=16(種)不同的帶法.(2)要完成的事是“外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)各帶一本”。因此,選一個(gè)學(xué)科中的一本書只完成了這件事的一部分,只有幾個(gè)學(xué)科的書都選定了之后,才完成這件事,因此是分步計(jì)數(shù)問題,應(yīng)用乘法原理,有5×6×2×3=180(種)不同的帶法.(3)要完成的事是“帶2本不同學(xué)科的書”,因此要分情況考慮,即先考慮是帶哪兩個(gè)學(xué)科的書,如帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)各一本,則選一本外語(yǔ)書或選一本數(shù)學(xué)書都只完成了這一件事的一部分,因此要用乘法原理,即有5×6=30種選法。同樣地,外語(yǔ)、物理各選一本,有5×2=10種選法.選外語(yǔ)、化學(xué)各一本有5×3=15種選法……,從而上述每種選法都完成了這件事.因此這些選法種數(shù)之間還應(yīng)用加法原理,共有5×6+5×2+5×3+6×2+6×3+2×3=91(種)二、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用——分類和分步的先后問題【例2】從1到200的自然數(shù)中,各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然數(shù)有多少個(gè)?分析:由題設(shè)條件要先分類,第一類考慮一位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù);第二類考慮兩位數(shù)中有多少個(gè)不含數(shù)字8的自然數(shù),此類中又要分個(gè)數(shù)和十位數(shù)兩步,即要分步;第三類考慮三位數(shù)中有多少個(gè)不含數(shù)字8,也要分個(gè)位、十位、百位三步.故應(yīng)先用分類計(jì)數(shù)原理,在每一類中需要分步的再用分步計(jì)數(shù)原理求解。解析:由題意分三類解決,第一類:一位數(shù)中有8個(gè)大于0且不含數(shù)字8的自然數(shù).第二類:兩位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù),此類需要分兩步,第一步:個(gè)位上除8之外有9種選法,第二步:十位數(shù)上除0和8之外有8種選法,要根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得第二類數(shù)中有8×9=72(個(gè))數(shù)符合要求.第三類:三位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù),此類需要分兩個(gè)小類,一類是百位數(shù)為1的三位數(shù),此類需分三步,第一步:個(gè)位上除8之外有9種選法;第二步:十位數(shù)上除8之外有9種選法;第三步:百位數(shù)為1,有1種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得此類數(shù)中有9×9=81(個(gè))數(shù)符合要求。另一類是百位數(shù)為2的三位數(shù),即200,就是1個(gè),由分類計(jì)數(shù)原理得此時(shí)第三類的三位數(shù)中有81+1=82(個(gè))不含數(shù)字8的自然數(shù)。故先用分類計(jì)數(shù)原理再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理,得從1到200的自然數(shù)中各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然有N=8+72+82=162(個(gè)).三、用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí),要注意化歸思想和分類討論思想的使用【例3】求與正四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離之比為1∶1∶1∶2的平面的個(gè)數(shù)。解析:設(shè)正四面體的頂點(diǎn)為A,B,C,D,到這四個(gè)點(diǎn)距離之比為1∶1∶1∶2的平面α有兩類:(1)點(diǎn)A,B,C在平面α的同側(cè),有2個(gè)(如圖).①②(2)點(diǎn)A,B,C在平面α的兩側(cè),有6個(gè)(如圖).①②③④⑤⑥轉(zhuǎn)換點(diǎn)A,B,C,D,共可得4×8=32個(gè)平面。各個(gè)擊破【類題演練1】已知集合M={-3,-2,—1,0,1,2},P(a,b)是平面上的點(diǎn),a,b∈M:(1)P(a,b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)?(2)P(a,b)可表示多少個(gè)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)?解析:(1)完成這件事分成兩個(gè)步驟:a的取法有6種,b的取法也有6種,∴P點(diǎn)個(gè)數(shù)為:N=6×6=36(個(gè))(2)完成這件事可分三類:x軸上(不含原點(diǎn))有5個(gè);y軸上(不含原點(diǎn))有5個(gè);既在x軸上,又在y軸上的點(diǎn)即原點(diǎn)也適合,∴共有N=5+5+1=11(個(gè))【變式提升1】甲廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有3種,顏色有4種,乙廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有4種,顏色有5種.這兩廠生產(chǎn)的收音機(jī)僅從外殼的形狀和顏色看,共有多少種不同的品種?解析:分兩類:一類是甲廠生產(chǎn)的有3×4種,一類是乙廠生產(chǎn)的有4×5種,根據(jù)加法原理共有3×4+4×5=32種?!绢愵}演練2】將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端點(diǎn)顏色不同;如果只有紅、黃、藍(lán)、綠、黑5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).解析:如圖所示,四棱錐P-ABCD中,第一步先將側(cè)面PAB上的三點(diǎn)P、A、B染色,由于只有5種顏色且具有同一條棱上的兩端點(diǎn)顏色不同,再分三個(gè)步驟共有5×4×3=60(種)染法。其次,當(dāng)P、A、B用三種不同的顏色染好后,不妨設(shè)分別染的是P紅、A黃、B藍(lán).若點(diǎn)C染黃色,則D可染藍(lán)、綠、黑,即有3種染法。若點(diǎn)C染綠色,則D可染藍(lán)、黑,即有2種染法.若點(diǎn)C染黑色,則D可染藍(lán)、綠,即有2種染法。故第二步C和D還有7種染法.最后,由分步計(jì)數(shù)原理,得共有60×7=420(種)染法.【變式提升2】同室四人各寫一張賀卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿一張別人送出的賀卡,則四張賀卡的不同分配方式有()A。6種B.9種C。11種D.23種解析:記四人為甲、乙、丙、丁,則甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到。故有3種分配方式;以乙收到為例,其他人收到卡片的情況可分為兩類:第一類:甲收到乙送出的卡片,這時(shí),丙、丁只有互送卡片一種分配方式。第二類:甲收到的不是乙送出的卡片,這時(shí),甲收到卡片的方式有2種(分別為丙和丁送出的),對(duì)于每一種情形,丁收到卡片的方式只有一種。因此,根據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理,得不同的分配方式數(shù)為:3×(1+2)=9.答案:B【類題演練3】在坐標(biāo)平面上畫出63條直線:y=b,y=+2b,y=+2b,其中b=-10,—9,—8,…,—1,0,1,…8,9,10,這些直線將平面切成若干個(gè)等邊三角形,其中邊長(zhǎng)為的等邊三角形有多少個(gè)?解析:6條最外面的直線圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形,穿過原點(diǎn)O的三條直線將這六邊形分成6個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形。因?yàn)槊總€(gè)這樣的大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的10倍,且每個(gè)大三角形被分成102個(gè)小三角形,所以正六邊形內(nèi)部共有邊長(zhǎng)為的小三角形為6×102=600(個(gè))。另外,與正六邊形每條邊相鄰的外部都有10個(gè)邊長(zhǎng)為的小三角形(如圖)。故邊長(zhǎng)為23的等邊三角形的個(gè)數(shù)為N=6×102+6×10=660?!咀兪教嵘?】某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是:勝一場(chǎng),得3分;平一場(chǎng)得1分;負(fù)一場(chǎng)是0分。一球隊(duì)打完15場(chǎng),積33分.若不考慮順序,該隊(duì)勝、負(fù)、平的情形共有()A。3種B.4種C。5種D。6種解析:設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng),平y(tǒng)場(chǎng),負(fù)z場(chǎng),則x,y,z是非負(fù)整數(shù),且因?yàn)椴豢紤]勝、平、負(fù)的順序,所以問題轉(zhuǎn)化為求此方程組的不同非負(fù)
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