九年級數(shù)學下冊第2章二次函數(shù)1復習導學案VIP

PAGEPAGE6第二章二次函數(shù)（1）一、知識梳理1．二次函數(shù)的概念一般地，形如(a，b，c是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．[注意](1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當b＝0，c＝0時，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．2．二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象是一條，它是軸對稱圖形，其對稱軸平行于軸．[注意]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關．3．二次函數(shù)的性質4.二次函數(shù)圖象的平移一般地，平移二次函數(shù)y＝ax2的圖象可得到二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象．[注意]抓住頂點坐標的變化，熟記平移規(guī)律，左加右減，上加下減．二、題型、技巧歸納類型一二次函數(shù)的定義應用例1已知拋物線y＝(m＋1)xm2＋m的開口向下，求m的值．[解析]本題容易考慮不全面，只考慮m＋1＜0，而忽略拋物線是二次函數(shù)的圖象，自變量x的次數(shù)為2.由拋物線開口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.解：eq\a\vs4\al(方法技巧)解答這類問題要明確兩點：(1)函數(shù)圖象是拋物線，所以是二次函數(shù)；(2)拋物線的開口只與二次項系數(shù)有關．類型二二次函數(shù)圖象的平移例2如果將拋物線y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐標向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線y＝x2－2x＋1，則b＝________，c＝________.[解析]eq\a\vs4\al(方法技巧)在平移的過程中，拋物線的形狀始終保持不變，而拋物線的形狀只與二次項系數(shù)有關，所以要求平移后(或前)拋物線的表達式，只需求出平移后的拋物線的頂點坐標即可．解這一類題目，需將一般表達式化為頂點式，抓住頂點位置的改變，根據平移規(guī)律進行解答．類型三二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用例3已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖X2－1)．(1)寫出A，B，C，D及AD的中點E的坐標；(2)求以E為頂點、對稱軸平行于y軸，并且經過點B，C的拋物線的表達式；(3)求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標；(4)△PEB的面積與△PBC的面積具有怎樣的關系？證明你的結論．[解析]利用矩形的性質可以得到A，B，C，D及AD的中點E的坐標，然后利用頂點式求出拋物線的表達式．解：類型四二次函數(shù)的圖象和性質的應用例4已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0)過A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四點，則y1與y2的大小關系是()A．y1＞y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＜y2D．不能確定[解析]eq\a\vs4\al(方法技巧)解決此類問題的關鍵是求出拋物線的對稱軸，由a的正負性就可以知道拋物線的增減性，可以結合圖形進行判別．如果所給的點沒有在對稱軸的同一側，可以利用拋物線的對稱性，找到這個點的對稱點，然后根據增減性再作判斷．類型五求二次函數(shù)的表達式例5已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖X2－2所示，它與x軸的一個交點坐標為(－1,0)，與y軸的交點坐標為(0,3)．(1)求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的表達式；(2)根據圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍．[解析]由于二次函數(shù)經過具體的兩個點，可以把這兩個點的坐標代入即可求出表達式，然后根據圖象求出自變量x的取值范圍．解：eq\a\vs4\al(方法技巧)求二次函數(shù)的表達式一般用待定系數(shù)法，但要根據不同條件，設出恰當?shù)谋磉_式：(1)若給出拋物線上任意三點，通?？稍O一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c；(2)若給出拋物線的頂點坐標或對稱軸或最值，通?？稍O頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(3)若給出拋物線與x軸的交點，或對稱軸和對稱軸與x軸的交點距離，通?？稍O交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)．典例精析：例6如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－4x＋c的圖象與坐標軸交于點A(－1,0)和點B(0，－5)．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標．[解析]把點A(－1,0)和點B(0，－5)代入表達式即可求出a和c的值，△ABP的周長中的邊長AB是確定的，只要求出PA與PB的和最小即可，因此要把PA和PB轉化到一條線上，在此還要利用拋物線的對稱性．解：三、隨堂檢測1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx＋a的圖象不經過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，函數(shù)y與自變量x之間的部分對應值如下表所示：點A(x1，y1)、B(x2，y2)在函數(shù)的圖象上，則當1<x1<2,3<x2<4時，y1與y2的大小關系正確的是()x…01234…y…41014…A．y1>y2B．y1<y2C．y1≥y2D．y1≤y3．已知二次函數(shù)y＝－x2＋x－eq\f(1,5)，當自變量x取m時，對應的函數(shù)值大于0，當自變量x分別取m－1，m＋1時對應的函數(shù)值為y1、y2，則y1，y2滿足()A．y1>0，y2>0B．y1<0，y2<0C．y1<0，y2>0D．y1>0，y2<04．拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的表達式為y＝x2－2x－3，則b、c的值為()A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝25．坐標平面上，若移動二次函數(shù)y＝2(x－175)·(x－176)＋6的圖形，使其與x軸交于兩點，且此兩點的距離為1單位，則移動方式可為()A．向上移動3單位B．向下移動3單位C．向上移動6單位D．向下移動6單位6．將拋物線y＝x2－2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位等到的拋物線是________________________________．7.如圖為拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA＝OC＝1，則下列關系中正確的是()A．a＋b＝－1B．a－b＝－1C．b<2aD．ac<08.如圖所示，若正方形的棱長不變，CM＝eq\f(1,2)DM，NH＝eq\f(3,4)EH，MN與CH的延長線交于P點，則tan∠NPH的值為________．9.將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B(－3,0)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標．【答案】1.D2.B3.B4.B5.D6.y＝(x－5)2＋2或y＝x2－10x＋277.B8.9.解：(1)由題意知：A(0,6)，C(6,0)，設經過點A、B、C的拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝c，,0＝9a－3b＋c，,0＝36a＋6b＋c，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝1，,c＝6，))∴該拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,3)x2＋x＋6.(2)如圖，設點P(x,0)，∵PE∥AB，∴△CPE∽△CBA.∴eq\f(S△CPE,S△CBA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CP,BC)))2.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC×OA＝27，∴eq\f(S△CPE,27)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,9)))2.∴S△CPE＝eq\f(6－x2,3)＝eq\f(1,3)x2－4x＋12.S△ABP＝eq\f(1,2)BP×OA＝3x＋9.設△APE的面積為S，則S＝S△A