重難點(diǎn)16 尺規(guī)作圖在壓軸題中的應(yīng)用（7題型）

重難點(diǎn)突破16尺規(guī)作圖在壓軸題中的應(yīng)用7種題型歸類重難點(diǎn)題型突破題型01作線段1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長(zhǎng)是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【算一算】如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為，AC長(zhǎng)等于；【找一找】如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)22﹣1、22+1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)【畫一畫】如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．

3．（2021·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，在7×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．僅用無(wú)刻度的直尺，試按要求作圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．(1)如圖1，在BC作一點(diǎn)D，使得BD=1(2)如圖2，E為△ABC內(nèi)一格點(diǎn)，M，N為AB，BC邊上的點(diǎn)，使四邊形EMBN為平行四邊形；(3)如圖3，BC交網(wǎng)格線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的平行線交AC于P．4．（2023·山西太原·山西大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+c?b．（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕跡）(2)若a=6，b=4，c=7，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．題型02作角5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）操作探究題(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數(shù)，且n操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°交流：當(dāng)n=11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180探究：你認(rèn)為當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180(2)如圖2，⊙o的圓周角∠PMQ=2707°．為了將這個(gè)圓的圓周6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，AD是⊙O的切線．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)證明：AF=BC；(3)若⊙O的半徑長(zhǎng)為52，BC=4，求EF和BF7．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不變，點(diǎn)D在斜邊AB上，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．如圖2，把△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P(1)求作點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接PQ，CP，BQ，直線CP，BQ相交于點(diǎn)F，試探究在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線CP，BQ所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請(qǐng)證明：若有變化，說明理由．題型03作角平分線8．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）9．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

10．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則11．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來(lái)表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使C∠P1OA=45°，點(diǎn)P②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2∠P2OA=30°，點(diǎn)P③分別以O(shè),P2為圓心，大于OP2長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點(diǎn)P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知⊙O為△ABC的外接圓，⊙O的半徑為6．(1)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．①尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線CD，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）：②求BD的長(zhǎng)度．(2)如圖，AB是⊙O的非直徑弦，點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)，∠ACD=∠BCD=60°，點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ADBC的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．操作發(fā)現(xiàn)：某數(shù)學(xué)小組對(duì)圖1的矩形紙片ABCD進(jìn)行如下折疊操作∶第一步∶如圖2，把矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，然后把紙片展開；第二步∶如圖3，將圖2中的矩形紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A'處，折痕與AD交于點(diǎn)E，然后展開紙片，連接AA'，B問題解決：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中利用尺規(guī)作圖，作出折痕BE；（保留作圖痕跡）(2)請(qǐng)你判斷圖3中△ABA'的形狀，并說明理由；(3)如圖4，折痕BE與MN交于點(diǎn)F，BA'的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)P，若MF＝1，BC＝7，請(qǐng)你直接寫出PD的長(zhǎng)．題型04作垂線14．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為S=12a?．想法是：以BC為邊作矩形BCFE，點(diǎn)A在邊FE上，再過點(diǎn)A作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來(lái)得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作BC的垂線AD交BC在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴__①____________________________．∵EF∥BC，∴_②___________________________________．又∵_(dá)③____________________________________．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：__④______________________________．S△ABC15．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A2,4和點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方，AC平分∠OAB，交(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線段AC的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）(3)線段OA與（2）中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)D，連接CD．求證：CD∥AB．16．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：我國(guó)東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到AB=AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)O，即O為圓心．(1)問題解決：請(qǐng)你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國(guó)古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是⊙O上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：17．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B,A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C,B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立一根桿．取CA的中點(diǎn)D，那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A,B,C的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中點(diǎn)，∴CA⊥DB（________________________）（填推理的依據(jù)）．∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，AB是半徑為1的⊙O的弦，⊙O的另一條弦CD滿足CD=AB，且CD⊥AB于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且AH>BH，

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦CD與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連結(jié)AD，猜想，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出AD的長(zhǎng)度；(3)如圖2，延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F，使得HF=AH，連結(jié)CF，∠HCF的平分線CP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)HM，若PD=12AD19．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)

【問題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長(zhǎng)．20．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．題型05畫圓21．（2019·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在RtΔABC中，∠C=90°．（1）如圖①，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F．求證：∠1=∠2；（2）在圖②中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上；②經(jīng)過點(diǎn)B；③與邊AC相切．（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）22．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）尺規(guī)作圖：作Rt△ABC的外接圓⊙O；作∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AC=6，BC=8，求AD的長(zhǎng)．23．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：有一個(gè)直角三角形紙板，∠C=90°，AC=40cm，BC=30(1)請(qǐng)你在圖2中，任選一條直角邊為直徑所在的邊，幫小明畫出一個(gè)最大的半圓（請(qǐng)使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖）；(2)如果小明按照你選的直角邊繼續(xù)往下操作，他能否順利得到這個(gè)圓錐的底面圓？如果能，請(qǐng)說明理由；如果不能，那么換另一條直角邊能否實(shí)現(xiàn)？同樣請(qǐng)說明理由．（友情提醒：請(qǐng)利用圖3完成題（2）的解答）題型06格點(diǎn)作圖24．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為5225．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來(lái)市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請(qǐng)?jiān)谒呛优c南環(huán)路之間設(shè)計(jì)一條停車帶，使得每個(gè)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)F的距離相等．(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在圖中格點(diǎn)處標(biāo)出三個(gè)符合條件的停車位P1，P2，(3)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M0,2，N2,0，停車位Px,y，請(qǐng)寫出y與x26．（2021·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，線段ED與AD的端點(diǎn)都在網(wǎng)格小正方形的頂點(diǎn)（稱為格點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖形中畫圖：(1)以線段AD為一邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點(diǎn)F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點(diǎn)B為其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一個(gè)新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．27．（2023下·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，畫等腰三角形ABC，使其面積為3．(2)在圖②中，畫等腰直角三角形ABD，使其面積為5．(3)在圖③中，畫平行四邊形ABEF，使∠ABE=135°．28．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．(1)畫出將△ABC向右平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后的△A1B1C1（點(diǎn)A1，B1，(2)將（1）中的△A1B1C1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2（點(diǎn)(3)僅用無(wú)刻度的直尺作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．

題型07與尺規(guī)作圖有關(guān)的計(jì)算題29．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠D=60°．以點(diǎn)B為圓心，以BA的長(zhǎng)為半徑作弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE．分別以點(diǎn)A,E為圓心，以大于12AE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AE于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)F，則OFOE

30．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以小于AC長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC,AB于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)兩弧交于點(diǎn)O；③作射線AO，交BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)D到AB的距離為1，則CD31．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線AD交BC于點(diǎn)E．若∠BAC=110°，則∠BAE的大小為

32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD中，BD為對(duì)角線，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，則AE的長(zhǎng)為

33．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AD是中線，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)M，N．直線MN交AB于點(diǎn)E．連接CE交AD于點(diǎn)F．過點(diǎn)D作DG∥CE，交AB于點(diǎn)G．若DG=2，則

34．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若∠CDA=34°，則

35．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；作射線CF交AB于點(diǎn)G，若AC=9，BC=6，△BCG的面積為8，則△ACG的面積為36．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝37．（2020·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E．②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12③作射線BF交AC于點(diǎn)G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為．38．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠MON是一個(gè)銳角，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OM、ON于點(diǎn)A、B，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC．過點(diǎn)A作AD∥ON，交射線OC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥OC，交ON于點(diǎn)E．設(shè)OA=10，DE=12，則sin

重難點(diǎn)突破16尺規(guī)作圖在壓軸題中的應(yīng)用7種題型歸類重難點(diǎn)題型突破題型01作線段1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑AB的長(zhǎng)是12cm，C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑AB上的點(diǎn)G、H．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)C，一定存在線段AC上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和直徑AB上的點(diǎn)P、Q，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；（3）當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作MD⊥AB于點(diǎn)D，NE⊥AB于點(diǎn)E，∴MN=MP=NQ=4cm∵M(jìn)N∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和RtΔMP=NQMD=NE∴RtΔMDP?∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵M(jìn)P=NQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵M(jìn)N=MP，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用上述知識(shí)解決問題．2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【算一算】如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為，AC長(zhǎng)等于；【找一找】如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)22﹣1、22+1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)【畫一畫】如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．

【答案】（1）5，8；（2）N；（3）圖見解析；（4）①+(m+2b)的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)，圖見解析；②m＝4a．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)﹣3，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)1，求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB＝BC可求得AC的長(zhǎng)以及點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）可設(shè)原點(diǎn)為O，根據(jù)條件可求得AB中點(diǎn)表示的數(shù)以及線段AB的長(zhǎng)度，根據(jù)AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，結(jié)合OQ的長(zhǎng)度即可確定N為數(shù)軸的原點(diǎn)；（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，先求得AB的長(zhǎng)度，得到AM＝BM＝n，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（4）①根據(jù)每分鐘進(jìn)校人數(shù)為b，每個(gè)通道每分鐘進(jìn)入人數(shù)為a，列方程組m+4b=12am+2b=8a，根據(jù)m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可畫出F，G點(diǎn)，其中m+2b②解①中的方程組，即可得到m＝4a．【詳解】解：（1）【算一算】：記原點(diǎn)為O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以點(diǎn)C表示的數(shù)為5，AC長(zhǎng)等于8．故答案為：5，8；（2）【找一找】：記原點(diǎn)為O，∵AB＝22+1﹣（2∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝2∴N為原點(diǎn)．故答案為：N．（3）【畫一畫】：記原點(diǎn)為O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中點(diǎn)M，得AM＝BM＝n，以點(diǎn)O為圓心，AM＝n長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求；

（4）【用一用】：在數(shù)軸上畫出點(diǎn)F，G；2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)為：m＝4a．∵4分鐘內(nèi)開放3個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分鐘內(nèi)開放4個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求．作OB的中點(diǎn)E，則OE＝BE＝4a，在數(shù)軸負(fù)半軸上用圓規(guī)截取OG＝3OE＝12a，則點(diǎn)G即為所求．

+（m+2b）的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案為：m＝4a．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．3．（2021·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，在7×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．僅用無(wú)刻度的直尺，試按要求作圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．(1)如圖1，在BC作一點(diǎn)D，使得BD=1(2)如圖2，E為△ABC內(nèi)一格點(diǎn)，M，N為AB，BC邊上的點(diǎn)，使四邊形EMBN為平行四邊形；(3)如圖3，BC交網(wǎng)格線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AB的平行線交AC于P．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】(1)在點(diǎn)B右側(cè)第一條豎格線畫線，即可得到；(2)過點(diǎn)E，在格點(diǎn)上畫出與線段AB、BC相等的線，即可得到；(3)點(diǎn)F是BC的三等分點(diǎn)，在AC上畫出AC的三等分點(diǎn)，即可得到．【詳解】（1）解：如圖：在點(diǎn)B右側(cè)第一條豎格線畫線，與BC的交點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)（2）解：四邊形EMBN即為所求的平行四邊形，（3）解：過點(diǎn)F作AB的平行線交AC于點(diǎn)P【點(diǎn)睛】本題考查了利用無(wú)刻度的直尺作圖，找到關(guān)鍵點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·山西太原·山西大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+c?b．（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕跡）(2)若a=6，b=4，c=7，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)作圖見解析(2)4.5【分析】（1）作射線AM，在射線AM上順次截取AE=a,EF=c，在線段FA上截取FB=b，則線段AB即為所求；（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得AB的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，線段AB即為所求：

（2）如圖，

∵a=6，b=4，c=7，∴AB=a+c?b=6+7?4=9∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=即AC的長(zhǎng)4.5．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型02作角5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）操作探究題(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數(shù)，且n操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°交流：當(dāng)n=11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180探究：你認(rèn)為當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180(2)如圖2，⊙o的圓周角∠PMQ=2707°．為了將這個(gè)圓的圓周【答案】(1)作圖見解析；交流：60°?9×18028°=探究：正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），理由見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°（2）將圓周14等分就是把∠PMQ=2707°所對(duì)的圓周角【詳解】（1）操作：交流：60°?9×18028°=探究：設(shè)60°?k180n°=60n或設(shè)k180n°?60°=60n所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180（2）【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準(zhǔn)確理解題意，對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖要學(xué)會(huì)將其轉(zhuǎn)化成基本圖形去作，本題第二問利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，AD是⊙O的切線．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)證明：AF=BC；(3)若⊙O的半徑長(zhǎng)為52，BC=4，求EF和BF【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)EF=855【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；（2）由BE∥AC可得∠ABF=∠BAC，從而得出AF=（3）連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接OC，先通過勾股定理求得CM及AC的長(zhǎng)，再證四邊形AEBC是平行四邊形，再證△AEF∽△BEA，然后列比例式即可求得結(jié)果．【詳解】（1）作圖如下圖所示：（2）∵BE∥AC∴∠ABF=∠BAC，∴AF=∴AF=BC；（3）如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接OC，∵AB=AC，AM過圓心∴AM⊥BC，∴BM=MC=1∵在Rt△OMC中，∴OM=O∴AM=OA+OM=5∴AB=AC=A∵AD是⊙O的切線，∴AM⊥AD，∴AD∥∵BE∥AC∴四邊形AEBC是平行四邊形，∴BE=AC=25，AE=BC=4，∠AEB=∠ACB∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵四邊形AFBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AFE=∠AEB，∴∠AFE=∠BAE，∴△AEF∽△BEA，∴EFAE∴EF4∴EF=8∴BF=25【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△AEF∽△BEA是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)校考一模）如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不變，點(diǎn)D在斜邊AB上，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．如圖2，把△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P(1)求作點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接PQ，CP，BQ，直線CP，BQ相交于點(diǎn)F，試探究在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線CP，BQ所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請(qǐng)證明：若有變化，說明理由．【答案】(1)見解析(2)不變，理由見解析【分析】（1）作∠PAQ=∠BAC，AQ=AD，則點(diǎn)Q即為所求；（2）根據(jù)題意得出DE∥BC，則ADAB=AEAC，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AP=AE,AQ=AD，證明【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)Q即為所求；（2）解：如圖所示，設(shè)CF,AB交于點(diǎn)G，∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE∥∴ADAB∵把△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q∴AP=AE,AQ=AD，∴APAC又∠CAP=∠DAQ=α，∴△CAP∽△BAQ，∴∠ABQ=∠ACP=∠ACF，∵∠BGC=∠ABF+∠BFC=∠ACF+∠BAC，∴∠BFC=∠BAC，∵∠BAC的大小保持不變，∴∠BFC是定值．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型03作角平分線8．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形OAB所交的圓弧CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．9．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）SSS；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【分析】（1）先證明△OCE≌△ODESSS，可得∠AOE=∠BOE（2）先證明△OCM≌△OCNSSS，可得∠AOC=∠BOC，可得OC是∠AOB（3）先作∠BAC的角平分線，再在角平分線上截取AE=AD即可．【詳解】解：（1）∵OC=OD，CE=DE，DE=DE，∴△OCE≌△ODESSS∴∠AOE=∠BOE，∴OE是∠AOB的角平分線；故答案為：SSS（2）∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OCM≌△OCNSSS∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線；（3）如圖，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)；

．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則【答案】（1）見詳解；（2）4【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作∠ACB的平分線CD，作出AC的中垂線交CD于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=245，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC【詳解】解：（1）如圖所示：（2）連接OA，∵AC=BC，∠ACB的平分線CD，∴AD=BD=12AB=12×∵⊙O的半徑為5，∴OD=OA∴CD=CO+OD=5+75=32∴BC=BD∴sinB=CD故答案是：45【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來(lái)表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使C∠P1OA=45°，點(diǎn)P②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2∠P2OA=30°，點(diǎn)P③分別以O(shè),P2為圓心，大于OP2長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點(diǎn)P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°【答案】(1)點(diǎn)P3表示60°；點(diǎn)P4(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出∠OP2C度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠P2OP3度數(shù)，即可求出∠P（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案．【詳解】（1）解：①∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥∴∠O由作圖可知，EF是OP

∴OP∴∠P∴∠P∴點(diǎn)P3表示60°②由作圖可知，P2∴∠P又∵CB∥OA，∴∠P∴∠P∴點(diǎn)P4表示15°故答案為：點(diǎn)P3表示60°，點(diǎn)P4表示（2）解：如圖所示，作∠P3O

∵點(diǎn)P3表示60°，點(diǎn)P4表示∠P5OA=∴P5表示37.5°【點(diǎn)睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知⊙O為△ABC的外接圓，⊙O的半徑為6．(1)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．①尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線CD，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）：②求BD的長(zhǎng)度．(2)如圖，AB是⊙O的非直徑弦，點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)，∠ACD=∠BCD=60°，點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ADBC的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①見解析；②6(2)存在，最大值為36【分析】（1）①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出CD，在連接BD即可；②由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，得出AC=BC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB．結(jié)合AB是⊙O的直徑，即得出CD經(jīng)過圓心O，即∠BOD=90°，最后根據(jù)勾股定理求解即可．（2）連接AB，過點(diǎn)D作DC'⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C'，過點(diǎn)C作CF⊥AB．由題意易證△ADB為等邊三角形．根據(jù)DC'⊥AB，即得出DC'為⊙O直徑，C'是AB的中點(diǎn)．根據(jù)△ADB為等邊三角形，可得出AB和AB邊上的高都為定值，再根據(jù)根據(jù)S四邊形ADBC=12AB?DE+CF，即得出當(dāng)CF最大時(shí)，S四邊形ABCD最大，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)C'重合，即當(dāng)點(diǎn)C為AB中點(diǎn)時(shí)，S四邊形ADBC最大，此時(shí)DC為⊙O直徑，得出此時(shí)【詳解】（1）解：①如圖1，即為所作圖形；②∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴AC=BC．∵CD是∠ACB的平分線，∴CD⊥AB．∵AB是⊙O的直徑，∴CD經(jīng)過圓心O，∴∠BOD=90°．∵⊙O的半徑為6，∴OB=OD=6，∴BD=O（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ADBC的面積存在最大值．理由：如圖，連接AB，過點(diǎn)D作DC'⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C'，過點(diǎn)∵∠ACD=∠BCD=60°，∴AD=BD，∴AD=BD．∵四邊形ADBC為⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠ADB=180°?∠ACB=60°，∴△ADB為等邊三角形．∵DC∴DC'為⊙O直徑，C'∵S四邊形∴S四邊形∵△ADB為等邊三角形，∴AB和AB邊上的高都為定值，∴當(dāng)CF最大時(shí)，S四邊形ADBC最大，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)∴當(dāng)點(diǎn)C為AB中點(diǎn)時(shí)，S四邊形ADBC最大，此時(shí)DC為∴∠A=∠B=90°，如圖3．∵⊙O的半徑為6，∴CD=12．∵∠ADC=90°?∠ACD=30°，∴AC=1∴AD=C∴S△ACD∵BD=AD，∴△BCD≌△ACD(SSS∴S△BCD∴S四邊形∴點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ADBC的面積存在最大值，最大值為363【點(diǎn)睛】本題考查作圖—角平分線，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．13．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．操作發(fā)現(xiàn)：某數(shù)學(xué)小組對(duì)圖1的矩形紙片ABCD進(jìn)行如下折疊操作∶第一步∶如圖2，把矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，然后把紙片展開；第二步∶如圖3，將圖2中的矩形紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A'處，折痕與AD交于點(diǎn)E，然后展開紙片，連接AA'，B問題解決：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中利用尺規(guī)作圖，作出折痕BE；（保留作圖痕跡）(2)請(qǐng)你判斷圖3中△ABA'的形狀，并說明理由；(3)如圖4，折痕BE與MN交于點(diǎn)F，BA'的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)P，若MF＝1，BC＝7，請(qǐng)你直接寫出PD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)△ABA(3)3【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧交MN于點(diǎn)A’，連接BA’，作∠ABA'的角平分線交AD于點(diǎn)E；（2）由折疊可知MN∥BC，MN⊥AB，BM=1可得BM=12A'B（3）由等邊三角形的性質(zhì)可求得MF為△ABE的中位線，得到AE=2MF=2，進(jìn)而求得AB=23.，【詳解】（1）如圖，線段BE即為所求．（2）△ABA證明：由折疊可知MN∥BC，MN⊥AB，BM=1∴BM=1∴sin∠B∴∠BA在Rt△BA'∵∠A'BM=60°∴ΔAB（3）∵△ABA∴A∵M(jìn)N//AD//BC，MN⊥AB∴M為AB的中點(diǎn)，MF=1，∴MF為△ABE∴AE=2MF=2∵矩形紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A'∴∠ABE=∠ABBE=RtΔ∴AB=2∵四邊形ABCD為矩形，BC=7，∴∠ADC=∠ABC=∴AD=BC=7,AD//BC，∴∠HDP=∴∠PBC=∵AD//BC，∴∠EHB=∠PBC=∴∠EB∴EB=EH=4,∴DH=7?4?2=1,∵∠PHD=∠EHB=∴在Rt△HDP中，DH=1,PD:DH=1:∴PD=3【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合問題、動(dòng)點(diǎn)問題及銳角三角函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵在與分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，特別是要準(zhǔn)確地判斷零界點(diǎn)發(fā)生的條件，并計(jì)算位置．題型04作垂線14．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為S=12a?．想法是：以BC為邊作矩形BCFE，點(diǎn)A在邊FE上，再過點(diǎn)A作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來(lái)得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作BC的垂線AD交BC在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴______①____．∵EF∥BC，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：_____④______．S△ABC【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，AD即為所求，在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴∠ADC=∠F．∵EF∥BC，∴∠1=∠2．又∵AC=AC．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：△ABD≌△BAE．S△ABC故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A2,4和點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方，AC平分∠OAB，交(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線段AC的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）(3)線段OA與（2）中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)D，連接CD．求證：CD∥AB．【答案】(1)y=(2)圖見解析部分(3)證明見解析【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；（2）利用基本作圖作線段AC的垂直平分線即可；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到∠BAC=∠DCA，然后利用平行線的判定即可得證.【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)y=kxx>0∴當(dāng)x=2時(shí)，k2∴k=8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=8（2）如圖，直線EF即為所作；（3）證明：如圖，∵直線EF是線段AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵AC平分∠OAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠DCA，∴CD∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．16．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：我國(guó)東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到AB=AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)O，即O為圓心．(1)問題解決：請(qǐng)你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國(guó)古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是⊙O上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：______________________________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（2）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（3）作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，即可，則垂徑定理得出確定圓心的理由即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABD=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．（2）解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．（3）解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，∵DE垂直平分AB，∴DE經(jīng)過圓心，即圓心必在直線DE上，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴MN經(jīng)過圓心，即圓心必在直線MN上，∴DE與MN的交點(diǎn)O是圓心．確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂直平分線，熟練掌握直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．17．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B,A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C,B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立一根桿．取CA的中點(diǎn)D，那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A,B,C的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中點(diǎn)，∴CA⊥DB（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍敬鸢浮浚?）圖見詳解；（2）BC，等腰三角形的三線合一【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（2）由題意及等腰三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作答．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）證明：在△ABC中，BA=BC，D是CA的中點(diǎn)，∴CA⊥DB（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍还蚀鸢笧锽C，等腰三角形的三線合一．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，AB是半徑為1的⊙O的弦，⊙O的另一條弦CD滿足CD=AB，且CD⊥AB于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且AH>BH，

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦CD與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連結(jié)AD，猜想，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出AD的長(zhǎng)度；(3)如圖2，延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F，使得HF=AH，連結(jié)CF，∠HCF的平分線CP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)HM，若PD=12AD【答案】(1)作圖見解析(2)線段AD是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為2(3)證明見解析【分析】（1）以A，B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為G，連接OG，與⊙O交點(diǎn)為E，F(xiàn)，與AB交點(diǎn)為M，則OG⊥AB，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為N，連接ON，則ON∥AB，以O(shè)為圓心，OM長(zhǎng)為半徑畫弧與ON交點(diǎn)為P，則OP=OM，以P為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線ON于Q，以O(shè)，Q為圓心，大于12OQ長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為R，連接PR，則PR⊥AB，（2）如圖2，連結(jié)AD，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，證明四邊形OFHN是正方形，則可證△ACH是等腰直角三角形，則∠C=45°，由AD=AD，可知∠E=∠C=45°，由DE是⊙O的直徑，可得∠EAD=90°，則△ADE是等腰直角三角形，（3）如圖3，延長(zhǎng)CD、FP，交點(diǎn)為G，由題意知MH是△APF的中位線，則MH∥PF，MH=12PF，由PD=12AD，可得MD=12PD，證明△MDH∽△PDG，則MHGP=MDPD=12，即GP=2MH=PF，如圖3，作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N，連結(jié)GN、FN，由CP是【詳解】（1）解：如圖1，CD、點(diǎn)H即為所求；

（2）當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度不變；如圖2，連結(jié)AD，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，則四邊形OFHN是矩形，

∵AB=CD，AB⊥CD，∴OF=ON，∴四邊形OFHN是正方形，∴FH=NH，∴AF+FH=CN+NH，即AH=CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD=∴∠E=∠C=45°，∵DE是⊙O的直徑，∴∠EAD=90°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=DE?sin∴線段AD是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為2；（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)CD、FP，交點(diǎn)為G，

∵HF=AH，∴點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴MH是△APF的中位線，∴MH∥PF，MH=1又∵PD=12AD∴MD=1∵M(jìn)H∥GP，∴∠MHD=∠PGD，又∵∠MDH=∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴MHGP=MD如圖3，作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N，連結(jié)GN、FN，∵CP是∠HCF的平分線，∴∠GCP=∠FCP，∴GN=NF，∵GP=PF，GN=NF，PN=PN，∴△GPN≌△FPNSSS∴∠GPN=∠FPN=90°，∴PF⊥CP，∵M(jìn)H∥PF，∴MH⊥CP．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對(duì)的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．19．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)

【問題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長(zhǎng)．【答案】線段CQ的長(zhǎng)為2512【分析】方案一：連接OQ，由翻折的不變性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，證明△QPO≌△QCOHL，推出PQ=CQ，設(shè)PQ=CQ=x，在Rt方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，證明∠OAQ=∠R，推出QA=QR，設(shè)CQ=x，同方案一即可求解．【詳解】解：方案一：連接OQ，如圖2．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由翻折的不變性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°，∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又OQ=OQ，∴△QPO≌△QCOHL∴PQ=CQ，設(shè)PQ=CQ=x，則AQ=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴線段CQ的長(zhǎng)為2512方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，則∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，∴D、C、R共線，由翻折的不變性，知∠BAO=∠OAQ，∴∠OAQ=∠R，∴QA=QR，設(shè)CQ=x，則QA=QR=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴線段CQ的長(zhǎng)為2512【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．20．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為π×32?∴它們的面積之比為8π:6.75π=32:27；故答案為32:27；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段AC的垂直平分線，線段AB,AC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以

由作圖可知滿足比例關(guān)系為1:2:1的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑AB，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接BE，然后分別過點(diǎn)C、D作BE的平行線，交AB于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以FG為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．題型05畫圓21．（2019·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在RtΔABC中，∠C=90°．（1）如圖①，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F．求證：∠1=∠2；（2）在圖②中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上；②經(jīng)過點(diǎn)B；③與邊AC相切．（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）連接OF，可證得OF∥BC，結(jié)合平行線的性質(zhì)和圓的特性可求得∠1=∠OFB=∠2，可得出結(jié)論；（2）由（1）可知切點(diǎn)是∠ABC的角平分線和AC的交點(diǎn)，圓心在BF的垂直平分線上，由此即可作出⊙M．【詳解】（1）證明：如圖①，連接OF，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∵∠C=90°，∴OE∥BC，∴∠1=∠OFB，∵OF=OB，∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2.（2）如圖②所示⊙M為所求．①①作∠ABC平分線交AC于F點(diǎn)，②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓，即⊙M為所求．證明：∵M(jìn)在BF的垂直平分線上，∴MF=MB，∴∠MBF=∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF=∠CBF，∴∠CBF=∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C=90°，∴FM⊥AC，∴⊙M與邊AC相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和切線的性質(zhì)和基本作圖的綜合應(yīng)用．掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，22．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）尺規(guī)作圖：作Rt△ABC的外接圓⊙O；作∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AC=6，BC=8，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）根據(jù)外接圓，角平分線的作法作圖即可；（2）連接AD，OD，根據(jù)CD平分∠ACB，得∠ACD=45°，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系得到∠AOD=90°，在Rt△ACB中計(jì)算AB，在Rt△AOD中，計(jì)算AD．【詳解】（1）作圖如下：（2）連接AD，OD，如圖所示由（1）知：CD平分∠ACB，且∠ACB=90°∴∠ACD=1∴∠AOD=2∠ACB=90°在Rt△ACB中，AC=6,BC=8，∴AB=10，即AO=5=OD在Rt△AOD中，AD=【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓，角平分線，以及利用圓周角與圓心角的關(guān)系，及勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度的方法，熟知以上方法是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：有一個(gè)直角三角形紙板，∠C=90°，AC=40cm，BC=30(1)請(qǐng)你在圖2中，任選一條直角邊為直徑所在的邊，幫小明畫出一個(gè)最大的半圓（請(qǐng)使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖）；(2)如果小明按照你選的直角邊繼續(xù)往下操作，他能否順利得到這個(gè)圓錐的底面圓？如果能，請(qǐng)說明理由；如果不能，那么換另一條直角邊能否實(shí)現(xiàn)？同樣請(qǐng)說明理由．（友情提醒：請(qǐng)利用圖3完成題（2）的解答）【答案】(1)作圖見解析(2)選擇AC直角邊為直徑所在的邊不能實(shí)現(xiàn)，理由見解析；選擇BC直角邊為直徑所在的邊能實(shí)現(xiàn)，理由見解析【分析】（1）如圖，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D；連接CD，分別以C、D為圓心，大于12CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接兩個(gè)交點(diǎn)，交AC于點(diǎn)O，點(diǎn)（2）分兩種情況：選擇AC直角邊為直徑所在的邊，連接OD，利用△ADO∽△ACB，求出⊙O的半徑長(zhǎng)，繼而求得底面圓的半徑長(zhǎng)，在剩下的紙板上再剪出一個(gè)最大的圓，利用相似三角形的相關(guān)性質(zhì)，可以求出該圓的半徑，若該半徑大于底面圓的半徑長(zhǎng)，則可以實(shí)現(xiàn)，反之，則不能；按同樣的方法說明選擇BC直角邊為直徑所在的邊的情況．【詳解】（1）解：選擇AC直角邊為直徑所在的邊，如圖，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D；連接CD，分別以C、D為圓心，大于12CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接兩個(gè)交點(diǎn)，交AC于點(diǎn)O，點(diǎn)（2）如圖，連接OD，設(shè)半圓的半徑為r，∵∠C=90°，AC=40，BC=30，∴AB=A由作圖可知，⊙O與BC、AB相切于點(diǎn)C、D，∴∠ODB=∠ODA=90°，BD=BC=30，∴AD=AB?BD=50?30=20，∵∠ODA=∠BCA=90°，∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB，∴ODBC∴OD30∴OD=15，∴r=15，∴這個(gè)半圓的弧長(zhǎng)為：180πr180∵圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)，∴圓錐底面圓的周長(zhǎng)為15π，∴底面圓的半徑為152在Rt△OBC中，OB=記半圓與OB交于點(diǎn)E，剩下部分切出底面圓⊙O'，分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，設(shè)⊙O∴O'E=O∴∠O∵∠O∴△BGO∴O'∴r'∴BO∴BO=BO∴r'∴不能實(shí)現(xiàn)；選擇BC直角邊為直徑所在的邊，設(shè)半圓的半徑為r，∴如圖，⊙O與AB、A