專題06隨機變量及其分布小題綜合

專題06隨機變量及其分布小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）;（2）.數(shù)學期望數(shù)學期望的性質（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.方差標準差=.方差的性質(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.方差與期望的關系.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差.對于，取值小于x的概率..沖刺訓練沖刺訓練一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36【答案】A【分析】根據(jù)隨機變量X服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得．【詳解】∵隨機變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線的對稱軸是，∵，∴.故選：A.2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）某工廠生產的新能源汽車的某部件產品的質量指標X服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.12 B．0.24 C．0.26 D．0.48【答案】C【分析】運用正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】由正態(tài)分布可知，，，所以．故選：C.3．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）研究人員采取普查的方式調查某市國企普通職工的收入情況，記被調查的職工的收入為X，統(tǒng)計分析可知，則（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質結合條件即得.【詳解】依題意，，所以.故選：D.4．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，通過統(tǒng)計相關數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時和騎自行車用時都近似服從正態(tài)分布.繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應選擇騎自行車（

）A．有26min可用 B．有30min可用C．有34min可用 D．有38min可用【答案】D【分析】應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具，結合圖形，比較概率的大小可得答案.【詳解】由題意，應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.根據(jù)和的分布密度曲線圖可知，，，，.所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車.故選：D.5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【分析】先根據(jù)原則求出的概率，再乘以即可得解.【詳解】由，得，，，所以，所以特級蘋果的個數(shù)約為個.故選：C.6．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）設，則隨機變量的分布列是01則當在內減小時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】C【分析】根據(jù)期望公式求得隨機變量的期望，之后利用方差公式求得隨機變量的方差，根據(jù)二次函數(shù)的性質求得結果.【詳解】根據(jù)題意可得，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以先減小后增大.故選：C.7．（2023·全國·模擬預測）已知隨機變量，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質求解.【詳解】由題設可知，服從均值為，標準差的正態(tài)分布，服從均值為，標準差的正態(tài)分布.事件“”的概率僅與正數(shù)有關，且越大，該事件的概率越大，因此：和分別等價于和，故后者的概率更大，A正確，B錯誤；和分別等價于和，兩者概率相同，C錯誤，D錯誤；故選：A.8．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）若，則當，1，2，…，100時（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【詳解】解：由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．9．（2023·山東·山東省實驗中學?？级＃┮阎S機變量，且，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質求出的值，則，令，，則，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為隨機變量，且，所以，即，所以，所以令，，所以，又，當且僅當，即時取等號，所以，即的最大值為.故選：D.10．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）若隨機變量，則有如下結論：（，，）,高三（1）班有40名同學，一次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說在130分以上人數(shù)約為（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【分析】由正態(tài)曲線的對稱性求出理論上說在130分以上的概率，即可求出理論上說在130分以上人數(shù).【詳解】∵數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，，∴，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知：理論上說在130分以上的概率為，∴理論上說在130分以上人數(shù)約為.故選：C．11．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）近年來，網絡消費新業(yè)態(tài)、新應用不斷涌現(xiàn)，消費場景也隨之加速拓展，某報社開展了網絡交易消費者滿意度調查，某縣人口約為50萬人，從該縣隨機選取5000人進行問卷調查，根據(jù)滿意度得分分成以下5組：、、、，統(tǒng)計結果如圖所示.由頻率分布直方圖可認為滿意度得分X（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差s，并已求得.則以下不正確的是（

）

A．由直方圖可估計樣本的平均數(shù)約為74.5B．由直方圖可估計樣本的中位數(shù)約為75C．由正態(tài)分布估計全縣的人數(shù)約為2.3萬人D．由正態(tài)分布估計全縣的人數(shù)約為40.9萬人【答案】C【分析】由頻率分布直方圖所給數(shù)據(jù)可計算出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)，即可判斷AB選項；由由此即可判斷C選項；由，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由直方圖可估計樣本的平均數(shù)為，A對；對于B選項，滿意度得分在之間的頻率為，滿意度得分在之間的頻率為，設樣本的中位數(shù)為，則，由中位數(shù)的定義可得，解得，B對；對于C選項，因為，，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計全縣的人數(shù)約為萬人，C錯；對于D選項，因為，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計全縣的人數(shù)約為萬人，D對.故選：C12．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學單科分數(shù)X服從正態(tài)分布，考生共50000人，估計數(shù)學單科分數(shù)在130～150分的學生人數(shù)約為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A．1070 B．2140 C．4280 D．6795【答案】A【分析】利用區(qū)間上的概率及正態(tài)分布的對稱性求，進而估計區(qū)間人數(shù).【詳解】由題設，所以數(shù)學單科分數(shù)在130～150分的學生人數(shù)約為人.故選：A13．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）下列說法錯誤的是（

）A．若隨機變量，則B．若隨機變量服從兩點分布，且，則C．若隨機變量的分布列為，則D．若隨機變量，則的分布列中最大的只有【答案】D【分析】A選項，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到，A正確；B選項，根據(jù)服從兩點分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C選項，根據(jù)概率之和為1列出方程，求出；D選項，根據(jù)解出答案.【詳解】A選項，，由正態(tài)分布的對稱性可知，A正確；B選項，若隨機變量服從兩點分布，且，即分布列為：01所以02故，則，B正確；C選項，分布列中概率之和為1，即，解得，C正確；D選項，隨機變量，令，即，解得，因為，所以或3，則的分布列中最大的有或，D錯誤.故選：D14．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，則取最大值時B．當時，取得最小值C．當時，隨著的增大而增大D．當時，隨著的增大而減小【答案】C【分析】對于A，根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計算即可判斷；對于B，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于CD，由題意把表示出來，然后利用單調性分析即可.【詳解】對于選項A，在次射擊中擊中目標的次數(shù)，當時對應的概率，因為取最大值，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大．故A不正確；對于選項B，，當時，取得最大值，故B不正確；對于選項C、D，，，，當時，為正項且單調遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；當時，，為正負交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故D不正確；故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查二項分布及其應用，其中求是難點，關鍵是能找到其與二項展開式之間的聯(lián)系.二、多選題15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)、、、、、、、的第分位數(shù)（中位數(shù)）為B．一組數(shù)據(jù)、、、、、、、的第分位數(shù)為C．若變量服從，，則D．若變量服從，，則【答案】ABD【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷AB選項；利用正態(tài)分布的對稱性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，數(shù)據(jù)、、、、、、、共個數(shù)，因為，，因此，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)（中位數(shù)）為，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，AB都對；對于CD選項，因為變量服從，，則，C錯D對.故選：ABD.16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┫铝兴膫€命題中正確的是（

）A．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則B．對具有線性相關關系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)m的值是4C．已知隨機變量X服從二項分布，若，則D．樣本相關系數(shù)r，當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可求得的值，判斷A；根據(jù)線性回歸直線過樣本中心可求得m的值，判斷B；根據(jù)二項分布的方差的性質可判斷C；根據(jù)樣本相關系數(shù)的意義可判斷D.【詳解】對于A，隨機變量X服從正態(tài)分布，則由，可得，即，故，則，A正確；對于B，將樣本點的中心代入，可得，B錯誤；對于C，隨機變量X服從二項分布，則，若，則，C正確；對于D，樣本相關系數(shù)r，當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，正確，故選：ACD17．（2023·浙江嘉興·?？寄M預測）以下說法正確的是（

）A．決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差B．數(shù)據(jù)1，2，4，5，6，8，9的60百分位數(shù)為5C．若，則D．有一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)，，，，它的平均數(shù)和中位數(shù)都是5，若去掉其中的一個數(shù)據(jù)5，則方差變大【答案】ACD【分析】A由決定系數(shù)實際意義；B百分位數(shù)定義求60百分位數(shù)；C二項分布方差公式求方差，再由方差性質求新方差；D應用方差公式寫出原方差、新方差，結合題意判斷大小.【詳解】A：決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差，越大擬合效果越好，對；B：，故60百分位數(shù)為6，錯；C：由，則，故，對；D：由，原方差，去掉一個數(shù)據(jù)5，均值不變，新方差，數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)據(jù)5所得新數(shù)據(jù)，顯然，對.故選：ACD18．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃┫铝姓f法中，正確的命題有（

）A．在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好B．已知隨機變量服從正態(tài)分布N（2，），，則C．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3D．若樣本數(shù)據(jù)，，…的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…的方差為16【答案】AC【分析】對于A，利用殘差圖的意義即可判斷；對于B，利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷；對于C，對給定模型取對數(shù)比對即得；對于D，利用新數(shù)據(jù)方差計算公式判斷作答．【詳解】對于A，在做回歸分析時，由殘差圖表達的意義知，A正確；對于B，因，且，于是得，B不正確；對于C，由得，依題意得，，即，C正確；對于D，依題意，，，…，的方差為，D不正確.故選：AC.19．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）下列命題中，正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則事件與事件獨立B．已知隨機變量服從二項分布，若，則C．已知隨機變最服從正態(tài)分布，若，則D．對具有線性相關關系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是【答案】BD【分析】由互斥事件與獨立事件的定義即可判斷A；由二項分布的期望公式及期望的性質判斷B；由正態(tài)分布的性質判斷C；根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點求出，即可判斷D.【詳解】對于A：由互斥事件與獨立事件的定義，設事件、都是概率不為的事件，若事件與事件是互斥事件，則，而若事件與事件是相互獨立事件，則，故A錯誤；對于B：因為，則，所以，即，解得，故B正確；對于C：由隨機變量服從正態(tài)分布，，則，故C錯誤；對于D：因為回歸直線方程必過樣本中心點，所以，解得，故D正確；故選：BD20．（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機變量X服從二項分布，若，則B．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則C．已知，，，則D．已知，，，則【答案】ACD【分析】利用二項分布期望公式及性質計算判斷A；利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷B；利用條件概率公式推理判斷C；利用全概率公式計算判斷D作答.【詳解】對于，由二項分布的期望公式，，由期望的性質得，則，正確；對于，由正態(tài)分布曲線的性質知，，根據(jù)對稱性知，，于是，B錯誤；對于C，由，得，所以，C正確；對于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正確.故選：ACD21．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）某地區(qū)高三男生的身高X服從正態(tài)分布，則（

）A． B．若越大，則越大C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，求得對稱軸，再根據(jù)曲線的對稱性，即可求解答案．【詳解】由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即正態(tài)分布曲線的對稱軸為，,A選項正確;,C選項正確;又由，則，D選項錯誤;若越大，則數(shù)據(jù)越分散，越不集中在平均數(shù)附近，越小，B選項錯誤.故選：AC．22．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）隨機變量的分布列如表：其中，下列說法正確的是（

）012PA． B．C．有最大值 D．隨y的增大而減小【答案】ABC【分析】利用分布列的性質以及期望與方差公式，列出表達式，結合二次函數(shù)的性質判斷選項的正誤即可．【詳解】由題意可知，即，故A正確；，故B正確；，因為，，易得，而開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得最大值，所以隨著y的增大先增大后減小，當時取得最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.23．（2023·山東東營·東營市第一中學?？级＃┮阎S機變量的概率密度函數(shù)為，且的極大值點為，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知可求得，，，，即可判斷A、B項；然后求出，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可得出C、D項.【詳解】對于A項，根據(jù)已知可得，，.因為的極大值點為，所以有，所以，故A項錯誤；對于B項，由A分析可知，，故B項正確；對于C項，由A分析可知，.又，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可知，所以，故C正確；對于D項，因為，所以，.所以，，故D項正確.故選：BCD.24．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知兩個離散型隨機變量，滿足，其中的分布列如下：012若，則（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由分布列的性質及期望公式解得，然后根據(jù)期望與方差的公式及性質求解.【詳解】由分布列的性質，可得，解得①，因為，所以，即②，聯(lián)立①②解得，，∴，因為，所以，.故選：ABD.25．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產線，其中甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項正確的是（

）．（附：若，則，，）A．甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B．甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5，則乙生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率更大D．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率約為乙生產線的2倍【答案】BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質及對應特殊區(qū)間上的概率計算分別判斷各個選項即可.【詳解】因為，所以，．因為，所以，．因為，故A錯誤．因為，所以甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因為，，所以，所以甲生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率更大，故C錯誤．因為，，所以D正確．故選：BD.26．（2023·海南海口·?？寄M預測）若隨機變量，下列說法中正確的是（）A． B．期望C．期望 D．方差【答案