高中數(shù)學(xué)大題各題型答題模板+必背公式

高中數(shù)學(xué)大題

各題型通用答題模板+必背公式

中

e

1.解三角形

【必肯公式】

I、正弦定理：=，_=2/?（R是A/I8C外接例的半徑）

sinsin5sinC

si"二——

[a=2/?sinJ2R

變式①：<b=2Rsm8變式②:<sin8=—變式③：a::c=sin/f:sin:sinC

l[c=2/?sinC2R

a2=+c?=2/>ca)sA

2、余弦定理：｛h2=a2+c2-lacoosB變式:

Ic2=“2+M-2abcosC

5、二角形的內(nèi)角和等于180,即/+8+C=;r6、誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限

奇：巴的七數(shù)倍

fsinM+5)=sinCcos(.4+5)=-cosC2

利用以上關(guān)系和誘導(dǎo)公式可得公式：|sinM+C)=sinB和

<cos(J+C)=-cosB

l[sin(fi+C)=sinA'[cos(fi+C)=-cosA偶：士的偶數(shù)倍

……......-

7、平方關(guān)系和商的關(guān)系：0sin2^+cos2<?=l?tan^=—

cosg

第1頁(yè)共46頁(yè)

8、二倍角公式：1Jsin2/2=2sin<7a)s/2

I+COS2/7

2222

②oos2/7=cos6>-sin^=2cos6?-l=l-2sin6?=降耳公式:8s=-2-

2tan4/

③tan20-

l-ian2^?

8、和、不俗公式:

①卜in(a+4)=sina8s，+cosasin#fcos(￡z+/7)=cosacos/7-sinasin/7

|sin(a-^)-sinnrcos^cos?sin//(cos(fif-/?)=cosacos/y+sincrsin/7

tana+tan/7

tan(a+/?)=

1-tanatanfl

③(

lana-lan〃

tan(a-/?)=

I+tanatan)7

24M

9、基本不等式：①而(a,/)e/?*)②(a辰R，)@ab<-------(a,bwR)

2

k基本不等式TR在求取值他圍或最值問(wèn)題中用到，比如求M8C面枳的最大值時(shí)。

10、不常用的三角函數(shù)公式(很少用，可以不記哦人。人)

(I)萬(wàn)能公式：

2tan^1-tan2-2》

①sin0=------②cos〃=-------x③tan0=------

ltan^ltan^.0

++l-(an*2—

222

(2)二倍角公式：

3n

(DsinM=3sin6-4sin'。②8s初=4cos'6-38s。③lan笫='』3ian。

3tan-^-l

【答題模板】

第2頁(yè)共46頁(yè)

①抄條件：先。出題II所給的條件：（但不要抄題II）

②寫公式：寫出要用的公式.如正弦定理或余弦定理；

③有過(guò)程：寫出運(yùn)算過(guò)程：

④得結(jié)論：寫出結(jié)論：（不會(huì)就猜一個(gè)結(jié)果）

卷貓公式：第二問(wèn)一定不能放棄，先寫出題口所給的條件，然后再寫一些你認(rèn)為可能號(hào)到的公式，如均值不等式或面積公式

等.

【例題解析】

例I：（2016天津文）在A48C中.內(nèi)角/、B、。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,已知°sin28=?sin,

⑴求B：

（2）若cosA二;，求si〃C的值.

解：己知〃sin28=?sin/……將題目的條件抄一遍

由正弦定理=3寫出要用的公式

sin/sinnsine

sin2^=2sin6?cos6?寫出耍川的公式

=>sinJ-2sin8cos8=V3sinj?sin/l

vsinAw0,sin8co月出運(yùn)算過(guò)程

n2cosB=百ncosB-

2

又???0v8v”故8=「.寫出結(jié)論

6

(2)己知cos/=1,/f+8+C="寫出題目的條件和要用的公式

第3頁(yè)共46頁(yè)

例2：(2013江西理)在A48c中，角/、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,已知cosC+(cos/-75sin4)cos5=0.

(1)求知8的大小；

(2)若a+c-1,求〃的取值范圍.

解：(1)已知cosC+(cos/—VJsin/)cos8=0將題目的條件抄一遍

=>-cos(.4+Z?)+cosJcos^-VSsinJcos^=0

=>-cosJcosZ?+sinJsinZ?+cosAosB-VJsin/lcosZ/=0……寫出必要的運(yùn)算過(guò)程

=sin/sin>/5sin/8s8=0

,/sin力h0=sinB=石cos8=tan8=即'=V5

cos5

0<B<*nB=L……得出結(jié)論

3

(2)由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB……寫出要用的公式

，，

=a'+c"-2,<?c--1

2……寫出必要的運(yùn)尊過(guò)程

=(a+c)-3ac

根受基本不等式"4……寫出要用的公式

b2=(<i+c)2-3ac>

……寫出必嚶的運(yùn)算過(guò)程

W』S*<a

即區(qū)g.l).……得出結(jié)論

第4頁(yè)共46頁(yè)

2.數(shù)列

【必背公式】

1、等基數(shù)列2、等比數(shù)列

①定義：勺.1一%=〃①定義：S=q

冊(cè)

②通項(xiàng)公式：a?=.+（〃-l）d=a=a+(zj-m)dnd=———②通項(xiàng)公式：冊(cè)=外"=>4=。"""'

nnn-ni

③前〃項(xiàng)和：S“=〃ai+*^d（大題小題都常考）③前〃項(xiàng)和：S"="]W）（?？迹?/p>

"q

Sn=〃①；。。（小題常考）S,="二&2（可以不記哦A0A）

"g

④等差中項(xiàng)：若4伉C成等差數(shù)列，則28=/+。④等比中項(xiàng)：若48,C成等比數(shù)列，則

B2=AC

⑤性質(zhì)：若m+〃=〃+q,則/+冊(cè)=%+4⑤性質(zhì)：若m+〃=p+q,貝lj〃?a“=a〃?4

3、％與工的關(guān)系：品』：i?！?1注意：該公式適用于任何數(shù)列，常利用它來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公

區(qū)/_],〃22

式

4、求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法

（1）公式法：

①若已知品.I-a“=d和q=。，則用等差數(shù)列通項(xiàng)公式冊(cè)=4+（〃-l）d

②若已知\=夕和q=〃，則用等比數(shù)列通項(xiàng)公式冊(cè)=小小

an

⑵冊(cè)與S”的關(guān)系…憶si：1；

第5頁(yè)共46頁(yè)

例3：數(shù)列｛?！埃凉M足“1+3”2+3~43+…+3")1=3,求

解：設(shè)S.=°1+3a2+3?的+…+3"‘%=g’則

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，可=S[=；

(2)當(dāng)〃22時(shí)，S.Fi-gS?⑥+…+3"“冊(cè)_1+3""%=]①

Sni=4F|4-3fl2+3-03+…+3"~4一]=---②

①■②，得

3"'a.=gn冊(cè)=；,(〃22)....利用/a.)S?的大奈

(3)構(gòu)造法:形如/川=”“+4(p,q為非零常數(shù))構(gòu)造等比數(shù)列。川+4=河4+4)

例4：已知數(shù)列｛"“｝滿足=2a“+1,且01-1,求冊(cè)?

解：H知4.i=2a”+1,且q=l

構(gòu)造4.I+4=2(a?+義)……構(gòu)造等比敦列

=>a?il+A=2a?^2A=>a/ltl=2afl+A

???4=1……將假設(shè)出來(lái)的式子與原式比較，求出未知數(shù)2

"7+1=2(冊(cè)+D=—「=2

4+1

令4=4+1=四=d|+!=2

n竺=2=qn｛%｝

(4)累加法：形如2=a“.1+/(〃).11/(”)可用求和，可用累加法

第6頁(yè)共46頁(yè)

例5：己知數(shù)列｛。/中?“1=1,“”=冊(cè)_]+2|，，求冊(cè).

解：已知a“=a“[+2〃

=>a?-a?i=2/i

“2~ai=2x2

的-a?=2x3

%-%=2x4

…索加的方法是左邊加左邊.右邊加右邊

aj-o4=2x5—

4-i-2(〃T)

4-4-|=2"

累加后，得

4一41=2x(2+3+4+5j，+”)

=2x(1+2+3+…+”)-2

〃(〃+1)

〃5+1).:1+2+3+…+〃一

=2x----------22

=1+〃-2

（5）累乘法：形如烏-=/（〃），且/（〃）可用求枳，可用累乘法

4-1

例6：已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，Oj=1.

解：已知工=，二

o--i"I

幺二?立=a,f±」%二〃一I/二〃

n?

q3a24的54-2'41”+I

累乘后,得

第7頁(yè)共46頁(yè)

（6）取例數(shù)法：形如,=.%」（p，9為非零常數(shù)）則兩邊同時(shí)取倒數(shù)

吟|+4

例7：已知數(shù)列1%；滿足勺=衛(wèi)1一旦佝=1,求

解：已知冊(cè)=安'=:=方吁=2+六……等式兩邊同時(shí)取用數(shù)

11、

=丁一丁二=2……滿足等差數(shù)列的定義

令兒=:'則％=:=|……構(gòu)造等.空數(shù)列

“It“I

bn一力"]=2=d=也,）為等差數(shù)列

5、求數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的方法

（I）公式法：除r用等基數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式外.還應(yīng)當(dāng)記住以卜求和公式

①1.2+3-噌q)2'+2W??+2”=2"i-2

②I+3+5+,,?+(2n—I)=w"⑤12+2?+3,+???+〃，=-n(/i+IX2/I+1)

6

③2+4+6+—+2〃=M+〃⑥P+2'33+…+/卻〃+|[

第8頁(yè)共46頁(yè)

例8：設(shè)等差數(shù)列1%｝的前〃項(xiàng)和為5”，F(xiàn)lS4=4S2，的.=2%+1.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式:

（2）設(shè)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；,

解：(1)已知$4=4$2，"2“=2””+1寫出題目所給的條件

S=叫+":"d?a=tF|+(w-Ik/

nn一定要先寫出要用的公式，再帶值

4x3

S4=4(7)+---</=4?j+6d

，=>44+6</=4(2%+(/)m

2x1

S[=2al+-d=2%+d

a2n=?|+(2/J-1)C/=4^1+(w-lW]+l②先寫出公式，再帶值

由①?式‘解得”|=1.</=2

先寫出公式,再帶值

=>an=a：+(/1-1)</=1+(/I-1)-2=2w-1.

(2)由(i)知：bn=—!—=-----!------=—?(-!---------拆項(xiàng)比擔(dān)心不對(duì)就通分何去驗(yàn)證

44-1(2〃-1)(2〃+1)22/i-12//+I

2I323525722n-32n-l22n-l2n+l

=2（，-

2n+l

（3）錯(cuò)位相減法：形如“4=等差x等比”的形式可用錯(cuò)位相減法

例9：設(shè)數(shù)列滿足為=2,?！贝?3,2".

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：

(2)令兒=〃4,求數(shù)列也)的前〃項(xiàng)和乙.

*￥：(I)已知q=二4“-勺=3,2"，則……北要先寫出題口所給的條件

a2-Q\二32

03=3?2?

4_,3?3?2'

%-j=3.2*7

。川-。”二32

累加后，得

3(2+2~+2。+…+2”)

=3?迎卓……運(yùn)用等比數(shù)列求和公式,〉="qw)

1-2I-g

=-6(1-2")=6-2"-6

na”“=6.2"-4na“=6。2"--4....所7了的〃取〃-1?4到a.

-1

(2)由(1)知：b?=nan=6w2"-4n=3n-2"-4n

7；=4+d+5+…+"

=(31-2,-41)+(3-2-22-42)+(3-3-25-4-3)+-+(3//2M-4M)

=3(l-2,+222+3-2-+-?+/r2")-4(l+2+3+-+n)

記”“二1?42,2?+3,2?+???+(”-1)2"“+〃?2”①

1H?-1-22?2-23+3-24-2"1小2""②

第10頁(yè)共46頁(yè)

(4)分組求和法:

例10：已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足例=2,“2+%=8.

(I)若用,外,心成等比數(shù)列，求m的值:

(2)設(shè)，=冊(cè)+2%，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和工.

解：(1)已知q=2,"2+4=8……n出題H所給的條件

由a”=a1+(/I-1)4,得a2+4=(01+c/)+(fl|+3d)=2^1+=8

=O]+Z/=4nd=l

=4=々+(〃-13=〃+1.……先寫出通項(xiàng)公式的段式,再帶值

Lg=q+"=4

[a.=Ai+(m-1W=m+1

又???丹,內(nèi)，%成等比數(shù)列……利用等比中項(xiàng)列出方程

2

aj=A(<7m=>4?2(m?I)n卅=7?

(2)由(1)知：兒=%+2°?=〃+1+2””

S”=4+與+與+…+G”

=(l+l+22)+(2+l+2J)+(3+l4-24)+-+(/14-1+2-+|)

9、柒木Q體2+3+…+〃)+〃+(22+23+24+...+2*1)

①而4早色.加貝+)②岫4(^^)3,加/T)③0bs竺盧(”,加貝)

注意：基本不等式?般在求取值范圍或最值問(wèn)題的時(shí)候用到.TT時(shí)還用于證明數(shù)列不等式。

第11頁(yè)共46頁(yè)

【答題模板】

①抄條件：先拽題口所給的條件：（但不耍抄題口）

②寫公式：寫山要用的公式，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和：

③有過(guò)程：寫出運(yùn)口過(guò)程：

④得結(jié)論：寫出結(jié)論：（不會(huì)就個(gè)結(jié)果）

⑤猜公式：第：?jiǎn)栆欢ú荒芊艞?先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認(rèn)為可能考到的公式.

等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

1

定.義：=q（q為常數(shù)，qwO）,an=a^'

4

等比中項(xiàng):G、>?成等比數(shù)列=>G?=盯，或G=±JE

加i(4=l)

前〃項(xiàng)和：Sn=<4(1-力（要注意?。?/p>

（?。?/p>

i-q

性質(zhì)：｛4｝是等比數(shù)列

(1)若加+〃=p+q,貝?14?&=ip?Qg

（2）S.，S2bsMS3bs2”……仍為等比數(shù)列，公比為q”.

注意：由S”求為時(shí)應(yīng)注意什么？

〃=1時(shí)，q=S］；

〃之2時(shí)，an=Sn-Sn_1

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(1)求差(商)法如：數(shù)列｛4｝,+.......+$/=2〃+5

求4

解：〃=1時(shí)，—a=2x1+5,a=14①

21

〃之2時(shí),...+—=2M-1+5②

2x2//2〃-，**上

14(n=l)

①一②得：—=2,?，.q=2"*1,

2^(n>2)

(2)疊乘法如，數(shù)列｛4｝中，q=3,如=/一,求4

4〃+1

初a、qa12n-1.1o3

a

qan-\23〃axn〃.

(3)迭加法由4-。i=/(〃)，6=%，求4，用迭加法

4-4="2)

&-a、=〃3)

2時(shí)，3'八｝兩邊相加得4-4=/(2)+/(3)+……+/(?)

&-%=/(〃)，

：?4=4+”2)+/(3)+......+/(?)

第13頁(yè)共46頁(yè)

（4）等比型遞推公式（待定系數(shù)法）

4=ch+d（c、d為常數(shù)，cHO,cHl,dHO）

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)4+X=c（4T+K）=>4=can-i+（C-1）X

令（c-l）Ad,???x=白，???,+言｝是首項(xiàng)為q+等，。為公比的等比數(shù)列

(5)倒數(shù)法如：%=1,%=24,求q

4+2

1_4+2」1.11,1

由已知得:---------------——十—,??

?2q2一a”2

為等差數(shù)列，—=1,公差為L(zhǎng),>'?—=l+（H-l）e—=—（724-1）,a=------

v7V7

an\42an22M+1

_1.（ml）

（附：公式法、利用一[s〃-S3*2）、累加法、累乘法、構(gòu)造等差或等比%=pa.+q

或。1=外.+/（〃）、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法）

（1）裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).

1111

0n+4n2-l54+0nn2+3M+2?

n

_2_zn+1_〃十]

^"（2"-1）（2^-1）?-）（2〃+1）（2〃+3）'"/（〃+2y

如：｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，求?臺(tái)1

第14頁(yè)共46頁(yè)

例如，要記住特角30。，45°,60。的三角函數(shù)值，可以通過(guò)兩模型來(lái)記憶。

(3)差別記憶法。

有些數(shù)學(xué)知識(shí)之間有許多共性，少數(shù)異性。要記住它們，只需記住一個(gè)基本的和差異特

征，就可以記住其它的了，這種記憶稱為差別記憶。

例如，平行四邊形、菱形、矩形和正方形的定義，我們只要記住平行四邊形的定義和

它們之間的差異特征就可以了。

平行四出邊相奪濠形迫J正方形

邊形上魚(yú)逋J矩形

(4)推理記憶法。

許多數(shù)學(xué)知識(shí)之間邏輯關(guān)系比較明顯，要記住這些知識(shí)，只需記憶一個(gè)，而其余可利用

推理得到，這種記憶稱為推理記憶。

例如，平行四邊形的性質(zhì)，我們只要記住它的定義，由定義推得它的任一對(duì)角線把它

分成兩個(gè)全等三角形，繼而又推得它的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，相鄰角互補(bǔ)，兩條對(duì)角

線互相平分等性質(zhì)。

第15頁(yè)共46頁(yè)

（2）錯(cuò)位相減法若｛□”｝為等差數(shù)列，｛么｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛〃*”｝（差比數(shù)列）

前，項(xiàng)和，可由S”-qS“，求S”，其中q為｛4｝的公比.

如：=1+2x+3x2+4.x3+......+nx”①

234

Sn=x+2x+3x+4x+......+(〃一1)X“T+nx”②

①一②(l-xM=1+X+.X2+.......+x^1-nx

1一鏟）nx.n(n+l)

x工1時(shí)，Sn”=，x=l時(shí)，S”=1+2+3+.......+〃=----------

(1-x)1-Xn2

（3）倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.

$”=%+勾+……+%+4

相加2s.=3+q)+3+°?_1)+…+3+4)…

S.=a”十口吐］十....十%十%.

第16頁(yè)共46頁(yè)

求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法

利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這一直是全國(guó)高考和

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.

一、作差求和法

例1在數(shù)列｛q,｝中，4=3,=q,+——-——?求通項(xiàng)公式a.

/?(/?+1)n

解：原遞推式可化為：%“=勺+1——L則

nw+l1223

a4=+-——>....,an=an_,H----」逐項(xiàng)相加得：=可+1-故a”=4-

34n-1nnn

二、作商求和法

例2設(shè)數(shù)列｛勺｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且=。（n=l,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是

a尸（2000年高考15題）

解：原遞推式可化為：

+a>0,

［（〃+l）a”+i-nan］（?！按?%）=0Va2n=---;

則”」,色二言?3逐項(xiàng)相乘得：&=■,即勺=1.

ax2a23ai4atnn

三、換元法

4131

例3已知數(shù)列｛。/，其中4=§,%=§，且當(dāng)n23時(shí)，an-=-（a?_j-an_2）?求通項(xiàng)公式a”（1986

年高考文科第八題改編）.

解:設(shè)勾?1，原遞推式可化為:

仆2他｝是一個(gè)等比數(shù)列，4=生_q=q=：,公比為1故%=b心-2==&）”?

例4已知數(shù)列｛6,｝,其中《=1,%=2，且當(dāng)nN3時(shí)，an-2an_x+a?_2=1,求通項(xiàng)公式小。解由

a

%-2%+%.2=1得：（%-%）-（%-n-2）=1，令加=%-%，則上式為加-a=1,因此｛bn｝

是一個(gè)等差數(shù)列，bx=a2-a｝=1,公差為1.故b〃=〃.。

由于4+4+…+%=a2-at+a3-a2+-+an-an_t=an-l

又4+8+…D所以*=即勺+2）

第17頁(yè)共46頁(yè)

四、積差相消法

例5設(shè)正數(shù)列％,a〃…，a“，…滿足-也-&-2=2%(〃22)且%=%=1,求SJ的

通項(xiàng)公式.

解將遞推式兩邊同除以向整理得:1

設(shè)院廣~,則”==1，bn-2bn_xi.故有

勾-24=1(1)63-2b2=1⑵

bn_2bti.1(w-1)

由⑴x2"2+(2)x2"3+…+(〃-1)2°得，=1+2+2、…+22"-1,即=2n-1.

逐項(xiàng)相乘得:(=(2-1)2Q2-1)2…??(2"-I)2，考慮到％=1,

1(〃二。)

故a”=，

(2-1)2(22-I)2…(2n-l)25N1)

五、取倒數(shù)法

例6已知數(shù)列｛2｝中，其中q=1,,且當(dāng)n22時(shí)，勺=%，求通項(xiàng)公式

2%+1

解將4=小一兩邊取倒數(shù)得：—一一-=2,這說(shuō)明｛」-｝是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是1~=1,公差為2,

2%+1q％anax

所以一=1+（/?-1）x2=2/1-1?BPan=--------.

%2”1

六、取對(duì)數(shù)法

例7若數(shù)列｛/｝中，q=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是（2002年上海高考題）.

解由題意知4>0,將=a；兩邊取對(duì)數(shù)得Iga.”=21ga“，即她a=2,所以數(shù)列｛Igq,｝是以

lgq=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，坨4二國(guó)力/…二坨？?…，即4=32*’.

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七、平方(開(kāi)方)法

例8若數(shù)列｛/｝中，q=2且4=J3+*(n>2),求它的通項(xiàng)公式是勺.

解將4=4+。3兩邊平方整理得一々3=3。數(shù)列｛。：｝是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。

an=^+(w-1)x3=3n+1o因?yàn)椤！?gt;0,所以q,=，3〃+1。

八、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如

下：

1、+5(A、B為常數(shù))型，可化為(an+2)的形式.

s

例9若數(shù)列｛2｝中，q=l,S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之和，且S”“=—51<n>l),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

3+4S.

式是品

S11

解遞推式Se=——可變形為——=3?——+4(1)

3+4S“SNS”

設(shè)(D式可化為」一+2=3(1-+%)(2)

Sg]Sn

比較(1)式與(2)式的系數(shù)可得2=2,則有一L+2=3(」-+2)。故數(shù)列｛二-+2｝是以」~+2=3為首項(xiàng),

Sn.SnSnS.

3為公比的等比數(shù)列?！?2=3.3W-1=3\所以S〃=」一。

M

Sn3-1

11_?.3n

當(dāng)n22,an=S”-S”[---------------：=—：-------------。

23n_23n-i_232〃_83”+12

數(shù)列q｝的通項(xiàng)公式是4=J-2?3"5=1)。

上一8.3”+125-2)

2、%“=4a〃+5C”(A、B、C為常數(shù)，下同)型，可化為+4C”“=4(a“+，C”)的形式.

例10在數(shù)列｛4｝中，4=2%+4-3”\求通項(xiàng)公式勺。

解：原遞推式可化為：

n1

an+I+2r=2(an+23-)①

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比較系數(shù)得丸=-4,①式即是：/7-4?3”=2（?！币??32）.

則數(shù)列｛a”-4?3”T｝是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)4-43T=-5,公比是2.

nl

：.an-43~=-5-2^*即a”=4?3”T

3、=4。皿+3%型，可化為。"2+助”7=（4+丸＞（4?+1+山”）的形式。

例11在數(shù)列｛q,｝中，ax=-\,a2-2,當(dāng)nwN,an^2-5a-6an①求通項(xiàng)公式。

解：①式可化為：

限+-5+%）（冊(cè).［+也）

比較系數(shù)得之=-3或％=-2,不妨取之=-2.①式可化為：

J-2*=3（%-2/）

則Sm-24｝是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)。2-2%=2-2（-1）=4,公比為3.

???-24=4?3””.利用上題結(jié)果有：

an=43”T-5?2”T.

4、原“=+B〃+C型，可化為a”.1+4"+4=,4［?！?4（〃-1）+4］的形式。

例12在數(shù)列｛中，/=1,2an-=6?-3①求通項(xiàng)公式％.

解①式可化為：

2（%+4〃+4）=勺-1+4（〃-1）+4②比較系數(shù)可得：

4=-6,22=9,②式為2b“=bn_x

也｝是一個(gè)等比數(shù)列，首她=a「6"9g公比4?.血=若嚴(yán)

即％—6〃+9=9（；）”故0”=9（；）"+6〃-9.

九、猜想法

運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出力,%，?，……，然后猜想出滿足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)

公式耳，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。

例13在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛，〃｝中，S”為數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，S.=L（a“+—）,求其通項(xiàng)公式。

2凡

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求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法與不動(dòng)點(diǎn)法

一、形如%,2=P。肛i+q4（p，g是常數(shù)）的數(shù)列

形如q=多,勺=%,勺.2=〃。向+夕4（〃，夕是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)％,莫

特征方程為“2=px+q…1

nn

若①有二異根a/，則可令4=c｝a+c2fl（ci9c2是待定常數(shù)）

若①有二重根a=夕,則可令q=（6+〃。2汝"（6，。2是待定常數(shù)）

再利用q=叫,%=嗎，可求得q,。?,進(jìn)而求得?！?

例1.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,%=3,?！?2=3a”+「2a”（〃eN.）,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

解：其特征方程為F=3x-2,解得芍=1,“2=2,令4=C]+4⑵,

由『一+2。2=2q=i

i，

[a2=q+4c2=3c2=-

例2.己知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%=2,4qA=44+]-4（〃wN,），求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)％.

解：其特征方程為4/=4x-l,解得令4=（G+

a.=（c.+c,）x-=1.一、

i,2幻G=T3w-2

ill，得〈/，:q=---L?

/ox1oc,=62"T

a,=（G+2c2）x-=2

4

二、形如％.,=包上的數(shù)列

"?Can+D

對(duì)于數(shù)列4、=一q+3,4=見(jiàn)〃匕/（4民。,。是常數(shù)且。,0,必-叱=0）

'Ca?n+D

其特征方程為x=塵上C,變形為82+（。-幺口-8=0…②

Cx+D

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若②有二異根a,夕，則可令4y=。?包二[（其中。是待定常數(shù)），代入%的值可求得。值?

a,「B

這樣數(shù)列是首項(xiàng)為色二二，公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得為.

a

[n-P]

若②有二重根。=/，則可令=—!—+。（其中。是待定常數(shù)），代入的值可求得c值.

4"一aq-a

這樣數(shù)列一!一是首項(xiàng)為公差為c的等差數(shù)列，于是這樣可求得％.

1%田q-a

此方法乂稱不動(dòng)點(diǎn)法.

例3.已知數(shù)列｛為｝滿足q=2,凡=4"+2522）,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)凡.

2a-+1

其特征方程為?，化簡(jiǎn)得解得玉=七=一],令也二.上

解:X=W2x2-2=0,1,1=°1

2x+l.%+14+1

由％=2,得生=；可得c=一；,

二數(shù)列上才是以第w為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，???篇也局

q3”+(-1)”

例4.已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,4“二網(wǎng)二1（〃€"?），求數(shù)列｛4｝的逋項(xiàng)凡.

4an+6

解：■特征方程為x=>1,HP4x2+4.r+1=0,解得x=x,=-1,令=—1~+。

4x+61-2八_1

%+i+,4+弓

由q=2,得％=二,求得c=l,

11210

數(shù)列二是以-y為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列，.??一1了二,3

4+力一a+-5