《冪函數(shù)》教學(xué)設(shè)計

普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（人教A版2019）3.3冪函數(shù)一、教學(xué)目標：（一）了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式.（二）通過具體實例，會畫y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x象，描述它們的變化規(guī)律，總結(jié)掌握冪函數(shù)的性質(zhì).（三）能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小.二、教學(xué)重難點重點：冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．難點：利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.三、教學(xué)用具：ppt、geogebra軟件四、教學(xué)過程：（一）情境導(dǎo)入前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對函數(shù)的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì).本節(jié)我們利用這些知識研究一類新的函數(shù).先看幾個實例.1．如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，這里p是w2．如果正方形的邊長為x,那么正方形的面積y=x2,這里y是x3．如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積V=b3,這里V是4．如果一個正方形場地的面積為S，那么正方形場地的邊長c=S這里c是S的函數(shù);5．如果某人t

s內(nèi)騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v=1tkm/s,即v=t?（二）探究活動1：請觀察1—5中的函數(shù)解析式，討論它們有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.4.c=S，即c=s12;5.v=實際上，這些函數(shù)的解析式都有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量；冪的指數(shù)都是常數(shù)，分別是1,2,3，12，-1；它們都是形如y=【設(shè)計意圖】將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實例中用函數(shù)思維方式抽象出冪函數(shù)的形式，進而引出新知識的定義和形式.（三）概念新知冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=x其中x是自變量，α是常數(shù).練習(xí)：（1）下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)（）①y＝x3②y=(12)x③y＝4x2④y＝x⑤y＝(x－1)2⑥y＝x⑦y=（2）若f(x)＝(m2－4m－4)xm是冪函數(shù)，則m＝_____.結(jié)論：底數(shù)只能是自變量x，指數(shù)只能是常數(shù),冪的系數(shù)只能是1,解析式只能是一項；判斷一個函數(shù)是不是冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式；反過來，若一個函數(shù)為冪函數(shù)，那么它也一定具有這個形式．在我們解決某些問題的時候這個結(jié)論有奇效.【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的思維方式歸納出冪函數(shù)的定義，然后再通過練習(xí)和思考，學(xué)生進一步理解冪函數(shù)的定義.（四）探究活動2（數(shù)到形）對于冪函數(shù)，我們只研究α=1，2，3，12，【設(shè)計意圖】通過課前預(yù)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)作業(yè)讓學(xué)生先獨立畫出三個冪函數(shù)的圖像，然后課堂上在同一直角坐標系中通過描點法畫出另外兩個冪函數(shù)，在畫的過程中體會圖像的變化趨勢，掌握冪函數(shù)的特征.（五）探究活動3（形到數(shù)）結(jié)合冪函數(shù)圖像和解析式，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論填寫在下表.y=xy=y=y=y=定義域RRR[0，+∞）(值域R[0，+∞）R[0，+∞）(奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在（-∞，0）上單調(diào)遞減在（0，+∞）上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0，+∞）單調(diào)遞增在（-∞，0）上單調(diào)遞減在（0，+∞）上單調(diào)遞減【設(shè)計意圖】由形到數(shù)，發(fā)現(xiàn)并歸納5個常見冪函數(shù)的圖像性質(zhì).（六）性質(zhì)探究探究活動4：觀察α=1,2,3，1/2，-1時冪函數(shù)的圖形，填寫以下研究報告常見冪函數(shù)研究報告研究方向研究內(nèi)容研究結(jié)果大體分布1.α在變化時，冪函數(shù)的圖像分布在哪幾個象限？共同點是什么？微觀圖像2.圖像有恒過的點嗎?3.α取何值時，冪函數(shù)在第一象限單增？單減？4.α的取值影響冪函數(shù)的奇偶性嗎？5.仔細觀察第一象限內(nèi)冪函數(shù)圖像，以直線x=1作為分界線，左右兩側(cè)圖像與指數(shù)冪有何聯(lián)系？1.特殊冪函數(shù)的性質(zhì)(1)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第(2)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1(3)函數(shù)y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函數(shù)y＝x2是；(4)在區(qū)間(0,＋∞)上,函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函數(shù)y＝x（5）在第一象限內(nèi)，函數(shù)y＝x－1的圖像向上與y軸，向右與x軸.2.一般冪函數(shù)的性質(zhì)：(1)第一象限均有圖像，第四象限均無圖像(2)冪函數(shù)圖像都過點(1,1)；α>0，函數(shù)過（0,0）(3)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù);α為奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù).(4)當α>0時,冪函數(shù)在區(qū)間

(0，+∞)上單調(diào)遞增；當α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減（5）一般地，冪函數(shù)的圖像在直線x=1的右側(cè)，指數(shù)大的在上，指數(shù)小的在下（指大圖高），在y軸與直線x=1之間正好相反（指大圖低）.【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)的圖像，分析歸納出五個函數(shù)圖像各自性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再歸納冪函數(shù)的共性和差異性，進而得出冪函數(shù)的基本性質(zhì).（七）應(yīng)用提升例1．在下列四個圖形中，y＝x－12例2比較下列各組數(shù)的大小.1.23，1.330.531.23，0.53，（八）當堂檢測1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A.y=5x2B.y=x52.若f(x)＝(m2－2m－2)xm是冪函數(shù)，且在第一象限為增函數(shù)，則m＝（）A.?1B.3C.-1或3D.3.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過點（4，12

），則f(2A.14

B.4C.4.下列正確的是()A.(1.5)3<(1.4)3

C.(11.5)?3<(11.6)?5.若（3-2m）五．歸納總結(jié)1.冪函數(shù)概念：一般地，函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2.冪函數(shù)性質(zhì)：(1)冪函數(shù)圖象都過點(1,1).(2)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)。α為奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù).(3)當α>0時,冪函數(shù)在區(qū)間

(0，＋∞當α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)在原點無意義.(4)一般地，冪函數(shù)的圖像在直線x=1的右側(cè)，指數(shù)大的在上，指數(shù)小的在下，（指大圖高）在y軸與直線x=1之間正好相反；（指大圖低）3.冪函數(shù)應(yīng)用