人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二項式定理的概念，會用二項式定理求解二項展開式。②掌握二項式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。③掌握多項式展開式的通項及特殊項或系數(shù)。④理解二項式系數(shù)的性質(zhì)。⑤會用賦值法求展開式系數(shù)的和。1.要求能運用二項式定理求解二項展開式；2.會求展開式中的二項式系數(shù)，特殊項及特殊項系數(shù)；3.能用待定法求展開式中的待定系數(shù).能解決與二項式定理相關(guān)的綜合問題；4.能理解二項式系數(shù)的性質(zhì)；5.掌握二項式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項展開式各項系數(shù)和.知識點01：知識鏈接（1）（2）知識點02：二項式定理及相關(guān)概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為(),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【詳解】二項式的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的是第4項.故選：B.【即學(xué)即練3】（2023上·天津濱海新·高三塘沽二中?？茧A段練習(xí)）若的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于，則在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】【詳解】因為的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于，所以，則，則展開式的通項為（其中且），令，解得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點03：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點04：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時，二項式系數(shù)遞增，當(dāng)時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.④各二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項的二項式系數(shù)和為.故選：D【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為．【答案】15【詳解】因為展開式的二項式系數(shù)之和為64，所以，所以，所以二項式為，所以第項展開式為，若求常數(shù)項，則令，所以，所以，即常數(shù)項為15.故答案為：15.題型01求型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·高二課時練習(xí)）求的二項展開式．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）利用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出的展開式．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求的展開式．題型02二項展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)校考期中）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【典例2】（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校?【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡．【變式1】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡：設(shè)，則．【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┑闹凳?題型03二項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．60 C．210 D．【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開式中的系數(shù)是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項式的展開式中的第3項為（

）A．160 B． C． D．【典例4】（2023上·高二課時練習(xí)）的展開式的第3項的系數(shù)為；常數(shù)項為．【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校校考階段練習(xí)）二項式的展開式中常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）的展開式中含的項的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式展開式中的含項的系數(shù)為．【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開式中，項的系數(shù)為.題型04三項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）展開式中含項的系數(shù)為．【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開式中，記項的系數(shù)為，若，則的值為.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中，項的系數(shù)為.【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中項的系數(shù)為．題型05幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．7 C．77 D．【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）二項式的展開式中，所有項系數(shù)和為，則的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【典例3】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中含的項的系數(shù)為.【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式中的系數(shù)為．【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開式中各項的系數(shù)和為81，則．【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為81，則展開式中含的項的系數(shù)為.【變式4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則展開式中的系數(shù)為．題型06二項式系數(shù)最大項問題【典例1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學(xué)?？计谥校┮阎検降恼归_式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則.【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）（1）已知的展開式中第項和第項的二項式系數(shù)相等，求；（2）的二項式系數(shù)的最大值是多少？【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）若的展開式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項式系數(shù)的最大值．題型07系數(shù)最大（?。╉梿栴}【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）的二項展開式中系數(shù)最大的項為.【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；【變式1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【變式2】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為．【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項．【變式4】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？題型08賦值法解決系數(shù)和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求的值．【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二?？茧A段練習(xí)）已知，求：(1)；(2)．【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【變式3】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.題型09有關(guān)整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023上·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理證明能被8整除．題型10利用二項式定理近似計算【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，，當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù)．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中含的項是（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．154．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．5116．（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第5，6項 B．第6，7項 C．第6項 D．第7項7．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)校聯(lián)考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．328．（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023上·甘肅慶陽·高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，則可能取值為6B．已知，則可能取值為7C．在的二項式展開式中，常數(shù)項是84D．在的二項式展開式中，常數(shù)項是10．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）若，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中含x的項的系數(shù)為60，則的最小值為．12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個天干“甲”與第一個地支“子”配出“甲子”，把第二個天干“乙”與第二個地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個天干開始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.四、解答題13．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學(xué)?？计谀┮阎?，若.(1)求的值；(2)求的值.（結(jié)果可以用冪指數(shù)表示）14．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）己知的展開式二項式系數(shù)和為64.(1)求展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.B能力提升1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的展開式中前3項的二項式系數(shù)之和為29，則的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？计谀┑恼归_式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含項的系數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）若的展開式中常數(shù)項為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和為．5．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀?）求證：；（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.（3）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二項式定理的概念，會用二項式定理求解二項展開式。②掌握二項式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。③掌握多項式展開式的通項及特殊項或系數(shù)。④理解二項式系數(shù)的性質(zhì)。⑤會用賦值法求展開式系數(shù)的和。1.要求能運用二項式定理求解二項展開式；2.會求展開式中的二項式系數(shù)，特殊項及特殊項系數(shù)；3.能用待定法求展開式中的待定系數(shù).能解決與二項式定理相關(guān)的綜合問題；4.能理解二項式系數(shù)的性質(zhì)；5.掌握二項式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項展開式各項系數(shù)和.知識點01：知識鏈接（1）（2）知識點02：二項式定理及相關(guān)概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為(),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【詳解】二項式的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的是第4項.故選：B.【即學(xué)即練3】（2023上·天津濱海新·高三塘沽二中?？茧A段練習(xí)）若的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于，則在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】【詳解】因為的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于，所以，則，則展開式的通項為（其中且），令，解得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點03：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點04：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時，二項式系數(shù)遞增，當(dāng)時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.④各二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項的二項式系數(shù)和為.故選：D【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二校考階段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為．【答案】15【詳解】因為展開式的二項式系數(shù)之和為64，所以，所以，所以二項式為，所以第項展開式為，若求常數(shù)項，則令，所以，所以，即常數(shù)項為15.故答案為：15.題型01求型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】二項式，.故選：B【典例2】（2023上·高二課時練習(xí)）求的二項展開式．【答案】【詳解】由二項式定理，得，所以的二項展開式是．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）利用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）解：由.（2）解：由.【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出的展開式．【答案】【詳解】在二項式定理中令，可得．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求的展開式．【答案】【詳解】題型02二項展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)?？计谥校?/p>

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【詳解】原式=.故選：C.【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）.【答案】【詳解】原式.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡．【答案】．【詳解】原式【變式1】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡：設(shè)，則．【答案】1【詳解】因為故答案為：【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．【答案】【詳解】由，可得則，即，解得．故答案為：.【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┑闹凳?【答案】【詳解】由已知可得，.故答案為：.題型03二項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【詳解】展開式的通項為，所以，常數(shù)項為，故選：B.【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開式中的系數(shù)是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【詳解】由題意原式中的系數(shù)；故選：B.【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項式的展開式中的第3項為（

）A．160 B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，故C項正確.故選：C．【典例4】（2023上·高二課時練習(xí)）的展開式的第3項的系數(shù)為；常數(shù)項為．【答案】【詳解】由二項式展開式的通項為，可得展開式中第3項為，所以第3項的系數(shù)為，令，可得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：；.【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項式的展開式中常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)【答案】60【詳解】二項式的展開式的通項公式，由，得，則，所以二項式的展開式中常數(shù)項為60.故答案為：60【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）的展開式中含的項的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】因為的展開通項公式為，令，得，所以其中含的項的系數(shù)為.故答案為：.【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式展開式中的含項的系數(shù)為．【答案】-40【詳解】二項式展開式的通項為，令，則.故答案為：.【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開式中，項的系數(shù)為.【答案】【詳解】由題意，多項式，根據(jù)組合數(shù)的運算，展開式中的系數(shù)為，又由.故答案為：.題型04三項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【詳解】因為，所以展開式中的常數(shù)項即分子展開式中的系數(shù)，即.故選：C【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）展開式中含項的系數(shù)為．【答案】-160【詳解】變形為，故通項公式得，其中的通項公式為，故通項公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開式中，記項的系數(shù)為，若，則的值為.【答案】【詳解】因為在的展開式中，記項的系數(shù)為，所以項的系數(shù)，即，由，可得，即，所以.故答案為：.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中，項的系數(shù)為.【答案】【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，∵的指數(shù)是2，得到，∴項的系數(shù)為.故答案為：【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開式中項的系數(shù)為．【答案】【詳解】的展開式中，構(gòu)成項只能是一個、一個、3個相乘，故此項為．故答案為：.題型05幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【詳解】的展開式通項為，故的展開式中的系數(shù)為，故選：B.【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）二項式的展開式中，所有項系數(shù)和為，則的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【詳解】令可得二項式的所有項系數(shù)和為，所以.二項式的展開式的通項公式為，，1，…，8，所以的展開式中，的系數(shù)為.故答案為：【典例3】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中含的項的系數(shù)為.【答案】960【詳解】的展開式的通項為，故令，可得的展開式中含的項的系數(shù)為：.故答案為：960.【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式中的系數(shù)為．【答案】【詳解】令，得，解得，進(jìn)而可得的展開式為，令，得，令，得，故的系數(shù)為．故答案為：【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】的展開式的通項（，1，2，…，8）．當(dāng)時，其展開式的常數(shù)項為；當(dāng)時，其展開式中的系數(shù)為，則的展開式中常數(shù)項為．故答案為：【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開式中各項的系數(shù)和為81，則．【答案】【詳解】由展開式中各項的系數(shù)和為，令，可得，解得.故答案為：.【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為81，則展開式中含的項的系數(shù)為.【答案】32【詳解】記令，則，即，則的展開式中含的項為.故答案為：32【變式4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則展開式中的系數(shù)為．【答案】720【詳解】由偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則有，所以展開式中的項為：，則展開式中的系數(shù)為：720.故答案為：720.題型06二項式系數(shù)最大項問題【典例1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學(xué)?？计谥校┮阎検降恼归_式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則.【答案】【詳解】因為二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，根據(jù)二項展開式的性質(zhì)，可得中間項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項，所以為偶數(shù)且，可得.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）（1）已知的展開式中第項和第項的二項式系數(shù)相等，求；（2）的二項式系數(shù)的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【詳解】（1）二項式展開式的通項為（且），所以第項的二項式系數(shù)為，第項的二項式系數(shù)為，依題意可得，所以；（2）二項式展開式的一共項，則第項和第項二項式系數(shù)相等同時取得最大值，又展開式的通項為（且）所以第項的二項式系數(shù)為，第項二項式系數(shù)為，即的二項式系數(shù)的最大值是.【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【詳解】由二項式定理可得第3項與第9項的系數(shù)分別為和，即，由二項式系數(shù)性質(zhì)可得；因此展開式中二項式系數(shù)最大的項為，是第6項.故選：C【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.【答案】/【詳解】因為展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，即，所以，所以.故答案為：【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）若的展開式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項式系數(shù)的最大值．【答案】，最大值為70.【詳解】因為展開式的第項的通項公式為，所以的系數(shù)為，的系數(shù)為，因為的系數(shù)等于x的系數(shù)的7倍，所以，解得.所以二項式系數(shù)的最大值為.題型07系數(shù)最大（?。╉梿栴}【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】【詳解】設(shè)系數(shù)最大的項為，則，解得，因為且為整數(shù)，所以，此時最大的項為.故答案為：【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）的二項展開式中系數(shù)最大的項為.【答案】【詳解】設(shè)展開式的第項的系數(shù)最大，則，解得，所以系數(shù)最大的項為第或第項，所以系數(shù)最大的項為：，.故答案為：【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；【答案】（1）；（2）①②第6項和第7項【詳解】解：（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以．②設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，則，所以解得故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項.【變式1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【詳解】該二項式的通項公式為，由，可得．因為，所以展開式中各項系數(shù)的最大值為．故選：D【變式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中學(xué)?？计谥校┒検降恼归_式中，系數(shù)最大的項為．【答案】【詳解】展開式通項公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，其中，，，，顯然系數(shù)最大項為.故答案為：【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為第二項與第三項的二項式系數(shù)之比是，則，即，解得(舍)或，所以n的值為6.（2）的展開式的通項為，令，解得，又，，展開式中系數(shù)最大的項為第項，且．【變式4】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？【答案】（1）；（2）①；②第6項和第7項【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以．②設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，則所以解得故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項．題型08賦值法解決系數(shù)和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求的值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)①；②．【詳解】（1）若選擇①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是，則有，化簡可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36，則有，化簡可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項展開式的中間項為．②二項式展開式的通項公式為，所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．在中，令．再令，可得，∴．【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二?？茧A段練習(xí)）已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)625【詳解】（1）由，令得，所以．（2）在中，令得①，令得②,所以．【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，令，得，則；令，得，則，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根據(jù)展開式的通項公式知，，為負(fù)，，為正；令，所以．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【詳解】（1）令，則，所以.，當(dāng)時，可得.（2）令，得，令，得，所以.（3）因為，兩邊對求導(dǎo)得，令，得.【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則，①（2）令，則，②令，則，，；（3），即為含項的系數(shù)，為，則.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【答案】(1)800；(2)；(3)0.【詳解】（1）在展開式中，含的項為，所以.（2）令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.（3）.因為，所以，故【變式3】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則①（2）令，則②，①②可得：；（3）因為的和為二項式的展開式的各個項的系數(shù)和，所以令，則．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)18【詳解】（1）解：由，令，可得；令，可得，所以，所以.（2）解：因為，兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，可得，令，則.題型09有關(guān)整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【詳解】，因為能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】其中是8的整數(shù)倍，故被8除的余數(shù)為3.故選：B【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【詳解】因為，所以除以7的余數(shù)為1，所以經(jīng)過天后是星期四，故選：B．【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由，得的整數(shù)部分為4，則，所以，即，故.故選:B【變式2】（2023上·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【答案】6【詳解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：6【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理證明能被8整除．【答案】見解析【詳解】證明：能被8整除.所以能被8整除.題型10利用二項式定理近似計算【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，，當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù)．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【詳解】，故選：C.【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【詳解】原式+．故選：A．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【詳解】.故選：C【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【詳解】故答案為：A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中含的項是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的展開式的通項公式為，則，得，所以含的項是．故選：C.2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可知，所以二項式為，其展開式的通項為，令，即，所以常數(shù)項為，故選：B.3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．15【答案】A【詳解】的第項為，令，則，所以的展開式中，含項為，系數(shù)為.故選：A4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】的展開式的項為,因為的展開式中的系數(shù)為40，所以，解得.故選:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【詳解】令，得，令，得，所以，故選：D6．（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第5，6項 B．第6，7項 C．第6項 D．第7項【答案】D【詳解】因為的展開式的通項為，，所以展開式中各項的系數(shù)即為其二項式系數(shù)，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)有，第7項的二項式系數(shù)最大，故A，B，C錯誤.故選：D.7．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)校聯(lián)考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【詳解】由二項式的展開式的通項為，所以，當(dāng)時，可得為正數(shù)，當(dāng)時，可得為負(fù)數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.8．（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A二、多選題9．（2023上·甘肅慶