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年秋學(xué)期鹽城市陳洋中學(xué)高二數(shù)學(xué)期中考試卷時間:120分鐘滿分:150一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是()A. B. C. D.2.橢圓的兩個焦點分別為為橢圓上一點,且,則(
)A. B. C. D.3.過點且垂直于直線的直線方程為(
)A. B.C. D.4.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形,則該橢圓的離心率為(
)A. B. C. D.5.已知圓,圓,則兩圓的公切線有(
)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條6.設(shè),若直線與圓C:相離,則點與圓C的位置關(guān)系是()A.在圓C外 B.在圓C上 C.在圓C內(nèi) D.不能確定7.已知直線,則點關(guān)于直線的對稱點N的坐標為()A. B. C. D.8.過圓C:外一點作圓C的切線,切點分別為A,B,則直線過定點()A.B.C.D.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.對于直線,下列說法正確的有()A.直線l過點B.直線l與直線垂直C.原點到直線的距離為1D.直線與直線l的交點為10.已知直線與圓,若點P為直線l上的一個動點,下列說法正確的是(
)A.直線l與圓C相離B.圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為C.若點Q為圓C上的動點,則的取值范圍為D.圓C上存在兩個點到直線l的距離為11.已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱且不與的頂點重合的兩點,分別是橢圓的左?右焦點,為原點,則(
)A.橢圓的離心率為B.C.的值可以為3D.若的面積為,則三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.12.若直線與直線平行,且它在軸上的截距為4,則直線的方程為.13.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是。14.定義離心率的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓是“西瓜橢圓”,則.若“西瓜橢圓”的右焦點為,直線與橢圓交于兩點,以線段為直徑的圓過點,則.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.三角形的三個頂點是.(1)求直線AC方程;(2)求邊上的高BD所在直線的方程;(3)求AC邊上的中線BE所在直線的方程.16.已知直線過定點P.(1)求點P的坐標;(2)求過點P且在兩坐標軸上截距相等的直線方程;(3)設(shè)為上的一個動點,求中點的的軌跡方程.17.已知橢圓長軸長為4,且橢圓C的離心率,其左右焦點分別為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓C交于P,Q兩點,求的面積.18.已知圓.(1)求過點P且與圓相切的直線的方程;(2)若點是圓上兩點。①若三點共線,求的面積最大值及此時直線的方程;②若直線斜率存在,且直線與斜率互為相反數(shù),證明:直線經(jīng)過定點.19.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點,且右焦點到直線的距離為。(1)求橢圓C的標準方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點.①若直線過橢圓右焦點,且的面積為求實數(shù)的值;②若直線過定點,且,在軸上是否存在點使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,則求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
陳洋中學(xué)2024年秋學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷時間:120分鐘滿分:150一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線的斜率,設(shè)直線傾斜角為,則,所以直線的傾斜角為.故選B。2.橢圓的兩個焦點分別為為橢圓上一點,且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓的長半軸長,依題意,,而,所以.故選D。3.過點且垂直于直線的直線方程為(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】所求直線與已知直線垂直,且已知直線的斜率為,則所求直線的斜率為,則所求直線的方程為,即,故選B.4.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形,則該橢圓的離心率為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一,如圖所示不妨設(shè)橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的上頂點.依題意可知,是正三角形.因為在中,,所以,即橢圓的離心率.故選A。方法二,如圖所示不妨設(shè)橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的上頂點.依題意可知,是正三角形.則,即橢圓的離心率.故選A。5.已知圓,圓,則兩圓的公切線有(
)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】圓的圓心坐標為半徑為1,圓的圓心坐標為半徑為2,兩圓圓心距離為,等于兩圓半徑之和,圓與圓的位置關(guān)系為外切,有3條公切線.故選C.6.設(shè),若直線與圓C:相離,則點與圓C的位置關(guān)系是()A.在圓C外 B.在圓C上 C.在圓C內(nèi) D.不能確定【答案】C【解析】由題意,得,則,所以點在圓C內(nèi)。7.已知直線,則點關(guān)于直線的對稱點N的坐標為()A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一驗證法方法二,設(shè)點M關(guān)于直線的對稱點N的坐標為,則解得則點N的坐標為。故選B。8.過圓C:外一點作圓C的切線,切點分別為A,B,則直線過定點()A.B.C.D.【答案】D【解析】以為直徑的圓的方程為,即,圓,兩圓方程相減就是直線的方程,即可,整理為,聯(lián)立,得,所以直線恒過定點.故選D。二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.對于直線,下列說法正確的有()A.直線l過點B.直線l與直線垂直C.原點到直線的距離為1D.直線與直線l的交點為【答案】ABD【解析】對于A,直線顯然經(jīng)過點,故A正確;對于B,由,得,直線的斜率為,而直線的斜率為1,故直線l與直線互相垂直,故B正確;對于C,由原點到直線的距離為,故C錯誤.對于D,由得故D正確。故選ABD.10.已知直線與圓,若點P為直線l上的一個動點,下列說法正確的是(
)A.直線l與圓C相離B.圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為C.若點Q為圓C上的動點,則的取值范圍為D.圓C上存在兩個點到直線l的距離為【答案】ACD【解析】對于A,由圓,則圓心,半徑為,所以圓心到直線的距離為,故直線l與圓C相離,故A正確;對于B,設(shè)圓C關(guān)于直線l對稱的圓的圓心為,則,解得,,即所求圓的圓心為,所以圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為,故B錯誤;對于C,圓上的點Q到直線的最小距離為,故的取值范圍為,故C正確;對于D,由于圓上的點到直線的最小距離為,最大距離為,而,故圓C上存在兩個點到直線l的距離為,故D正確。故選ACD.11.已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱且不與的頂點重合的兩點,分別是橢圓的左?右焦點,為原點,則(
)A.橢圓的離心率為B.C.的值可以為3D.若的面積為,則【答案】AD【解析】對于A,橢圓中,,離心率為,故A正確;對于B,由對稱性可得,所以,故B錯誤;對于C,設(shè)且,則,故,所以故C錯誤;對于D,不妨設(shè)在第一象限,Ax0,y0,則,得,則,則,故,故D正確.故選AD.三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.12.若直線與直線平行,且它在軸上的截距為4,則直線的方程為.【答案】【解析】因為直線與直線平行,所以直線的斜率,又直線在軸上的截距為4,由直線的斜截式方程可得直線,化簡得.13.若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是。【答案】?!窘馕觥坑深}意,得,解得。14.定義離心率的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓是“西瓜橢圓”,則.若“西瓜橢圓”的右焦點為,直線與橢圓交于兩點,以線段為直徑的圓過點,則.【答案】36【解析】橢圓是"西瓜橢圓",離心率,解得.設(shè),由消去,并整理得。,,即,,,易知,以線段AB為直經(jīng)的圓經(jīng)過點,,,,,又,代入上式并化簡得,解得.故答案為:36,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.三角形的三個頂點是.(1)求直線AC方程;(2)求邊上的高BD所在直線的方程;(3)求AC邊上的中線BE所在直線的方程.【解析】(1)根據(jù)題意可知,則根據(jù)直線兩點式方程可得,即;(2)設(shè)高BD所在的直線方程的斜率為,直線斜率為,由(1)知直線斜率為,根據(jù)高所在的直線方程的斜率與斜率乘積為,即,則可得,再由直線點斜式方程可得,即,這就是所求的直線方程;(3)由,得線段AC的中點E的坐標為,則根據(jù)兩點式可得直線方程為,即。16.已知直線過定點.(1)求點P的坐標;(2)求過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程;(3)設(shè)為上的一個動點,求中點的的軌跡方程.【解析】(1)由,得,令得因此點P的坐標為。(2)由(1)知點P的坐標。若截距為,即直線經(jīng)過原點,則,此時直線的方程為,若截距不為,不妨設(shè)直線方程為,代入,得,此時直線方程為,則過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為或.(3)設(shè)Mx,y,,則,得到,所以,又點在上,所以,整理得,故的軌跡方程為.17.已知橢圓長軸長為4,且橢圓的離心率,其左右焦點分別為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點,求的面積.【解析】(1)由題意可知:,則,∵,∴,∴,∴橢圓。(2)設(shè),由(1)得,∴直線:,聯(lián)立方程組,消去,得。則是這個方程的兩根,所以,。,(也可以直接求出P,Q兩點的坐標,然后利用兩點間的距離公式求線段PQ長)點到直線的距離,∴的面積為。
18.已知圓.(1)求過點P且與圓相切的直線的方程;(2)若點是圓上兩點。①若三點共線,求的面積最大值及此時直線的方程;②若直線斜率存在,且直線與斜率互為相反數(shù),證明:直線經(jīng)過定點.【解析】(1)由,得點P在圓上,則過點的圓半徑所在直線斜率為,因此切線的斜率,則所求切線的方程為,即.(2)①顯然直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,而圓半徑為,則的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時圓心到直線的距離,因此,解得,直線的方程為,即,所以的面積最大值為3,直線的方程為.②設(shè)直線方程為,,由消去得,則,直線斜率,直線的斜率,依題意,,整理得,即有,化簡得,經(jīng)驗證的,因此直線:恒過定點,所以直線經(jīng)過定點.19.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點,且右焦點到直線的距離為。(1)求橢圓C的標準方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點.①若直線過橢圓右焦點,且的面積為求實數(shù)的值;②若直線過定點,且,在軸上是否存在點使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,則
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