蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：勾股定理及其逆定理（原卷版+解析）

專題10勾股定理及其逆定理

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積

考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題

考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和（差）考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形

考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解

考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問題

考點(diǎn)一用勾股定理解三角形

例題：（2022,湖南衡陽?八年級期末）在0ABe中，AB=3,BC=4,若0ABe是直角形，則AC的長應(yīng)是（）

A.5B.幣C.5或4D.5或隨

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）己知一個直角三角形的兩邊分別為3和4,則第三邊的長可以

是.（寫出一個即可）

2.（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，已知是EABC中邊上的高，AC=10,CD=8,BC=3AD.求

8C的長.

考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積

例題：（2022?天津二中八年級期中）如圖所示，三個大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個正方形的面積

為144,225,那么正方形A的面積是（)

A.225B.144C.81D.無法確定

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東陽江?八年級期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是

2.（2022?全國?八年級）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若

正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為

考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題

例題：（2022?福建福州?八年級期末）在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點(diǎn)上，長

度是質(zhì)的線段是（）

A.ABB.ACC.ADD.AE

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點(diǎn)A、B,C都在格點(diǎn)上,

若BD是0ABe的高，則3。的長為

A

2.（2022?遼寧鞍山?八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1.求出四邊形A3CD的周長和面積.

考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題

例題：（2022?湖北咸寧?八年級期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將

折疊，使點(diǎn)5與點(diǎn)A重合，折痕為。區(qū)則BE的長為（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國,八年級）如圖，在而AABC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=4.將AABC折疊，使點(diǎn)8恰好落在邊

AC上，與點(diǎn)5,重合，AE為折痕，貝葭EB'C的周長為.

2.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABCO中，AB=S,AO=10,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將0ABE

沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段。E上的點(diǎn)尸處，則BE的長為

D

考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和（差）

例題：（2021?貴州六盤水,八年級階段練習(xí)）在0ABe中，0C=9O°,AB=3,則人加+臺^+人^的值為（）

A.6B.9C.12D.18

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）在中，ZC=90°,AB=10,則2AB?+AC?+BC?=（）.

A.100B.200C.300D.400

2.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在0ABe中，AB=10,AC=13,AOSBC,垂足為。，〃為上任

一點(diǎn)，則等于.

考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

例題：（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在等腰放AABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，作等腰

Rt^DCE,且/OCE=90°,連接AE.

⑴求證：ACEA沿ACDB；

(2)求證：BD2+AD2=DE2.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建?漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=,在RtZXABD

中，ZD=90°,AD與BC交于點(diǎn),E,且ZDBE=ZDAB.求證：

(1)ZCAE=ZDBC；

⑵AC2+CE2=4BD2.

考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

例題：（2022?廣西柳州?八年級期中）以下列各組數(shù)為三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級開學(xué)考試）若44BC的三邊長a,b,c滿足（。-4+,+從=。，貝”c是

2.（2022?廣東凍莞市松山湖莞美學(xué)校八年級期中）已知AA8C的三邊a,6,c滿足（a-5）?+（6-⑵？+|c

-131=0,貝必ABC是三角形.

考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（2022?湖北?谷城縣教學(xué)研究室八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1,點(diǎn)A、B、C均在格

點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中NA3c的度數(shù)為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林松原?八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A,B,C是小正方形的頂點(diǎn)，則0ABe

的度數(shù)為—.

2.（2022?青海西寧?八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,回A8C的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，AC=A/5.

(1)BC=__________

⑵判斷回ABC的形狀，并說明理由.

考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)

例題：（2022■全國■八年級專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到

直線AB的距離為2cm,且445C為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有個.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，NBOC=60。，點(diǎn)A是BO延長線上的一點(diǎn)，04=10cm,動點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動,動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿OC以lcm/s的速度移動，如果點(diǎn)尸，。同時出發(fā)，

用f（s）表示移動的時間，當(dāng)/=s時，△尸。。是等腰三角形；當(dāng)/=s時，△尸。。是直角

三角形.

2.(2022?全國?八年級專題練習(xí))如圖，在R/SABC中，回C=90。，AB=5cm,AC^cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿

射線BC以3cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.

備用圖1備用圖2

⑴求8C邊的長；

⑵當(dāng)0ABp為直角三角形時，求f的值；

⑶當(dāng)0ABp為等腰三角形時，請直接寫出此時f的值.

考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解

例題：(2022?河北衡水?八年級期中)如圖，已知在AABC中，BC=2AC=2y/5,48=岳.

(1)々AC的度數(shù)為;

(2)若。是的中點(diǎn)，則N7LDC的度數(shù)為

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建福州?八年級期中）如圖，在四邊形A8CD中，AB=3,BC=4,CD=8,AD=底,fflACD=

90。，求回8的度數(shù).

2.（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在中，AB=AC,8c=15,。是AB上一點(diǎn)，BD=9,CD=

12

⑴求證：CZJEL4B；

⑵求AC的長.

考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問題

例題：（2022?湖南張家界?八年級期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD,如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上

種植草皮，經(jīng)測量EIA=90。，AB^3m,8C=12加，CO=13加，D4=4如若每平方米草皮需要300元，求一

共需要投入多少元.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?四川廣安?八年級期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生

活質(zhì)量的公益事業(yè).某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以

綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，己知AB=4m,BC=3m,AT>=12m,CD=13m,ZB=90°.現(xiàn)計(jì)

劃在空地上種草，若每平方米草地造價30元，在這塊空地上全部種草的費(fèi)用是多少元?

2.（2022?四川宜賓?八年級期末）"村村通”公路是我國的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A,B,C三個村都分

別修建了一條互通公路，其中現(xiàn)要在公路邊修建一個景點(diǎn)M（3,C,M在同一條直線上），

為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM,測得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.

⑴判斷0ACM的形狀，并說明理由;

⑵求公路A8的長.

3.（2022?山東聊城?八年級期末）聊城市在創(chuàng)建"全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可

以綠化的空地.如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB=9〃z,BC=12m,CD=17m,AD=Sm,0ABe=90。.若

平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？

D

IV

，街道C

j課后訓(xùn)練：

??

一、選擇題

1.（2022?江蘇?海安市南莫中學(xué)八年級期中）下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.3、4、5B.1、R2C.13、14、15D.8、15、17

2.（2022?福建龍巖?八年級期末）一個直角三角形有兩條邊分別是3cm4CM,則第三條邊的長度是（）

A.5cmB.V?cmC.5cm或幣c7rlD.以上都不對

3.（2022?遼寧鐵嶺八年級期末）己知|a-6|+V^+（c-10）2=0,則以a,6,c為三邊長的三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

4.（2022?遼寧撫順?八年級期末）在R/AABC中，NBAC=90。，AB=6,AC=8,。為8C邊的中點(diǎn)，貝UAD

的長為（）.

24

A.4B.5C.—D.10

5

5.（2022?陜西咸陽?八年級期末）如圖，在長為2的線段上，用尺規(guī)作如下操作：過點(diǎn)8作8皿8,使

得BC=：AB,連接AC,在AC上截取CE=C8,在AB上截取A￡）=AE,則3。的長為（）

A.V5-1B.V5-3C.3-乖D.V5+1

二、填空題

6.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?八年級期中）在如圖所示的直角三角形中，x=—.

7.（2022?河南許昌?八年級期末）如圖，在0ABe中，0ABe=90.0ACB=6O°.BD^AC,重足為D若AB=6.則

DC的長為.

8.（2022?上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）如圖，在a48c中，AB=6,BC=10,AC=8,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn),

如果將0ACD沿AD翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,那么CE的長等于.

9.（2022,遼寧沈陽?八年級期末）在AABC中，NBAC=9（F,NC=30o,AB=3,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC

邊上，將△（7￡>￡沿著OE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，當(dāng)FELAC時，F(xiàn)E=.

DC

10.（2022?青海西寧?八年級期末）如圖，點(diǎn)A是射線3c外一點(diǎn)，連接AB,AB=5cm,點(diǎn)A到8c的距離

為3cm.動點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)沿射線3c以2cm/s的速度運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)/為秒時,

為直角三角形.

A

三、解答題

11.（2022?吉林白城?八年級期末）如圖，在AABC中，0ACB=9O°,AB=20,AC=12,把AABC沿折疊,

使AB落在直線AC上.

（1）BC=；

⑵求重疊部分（陰影部分）的面積.

12.（2022?廣東清遠(yuǎn)?八年級期中）已知AABC的三邊分別為a,b,c,且a+6=3,ab=l,c=5.

⑴求a?+b2的值;

⑵試判斷AABC的形狀，并說明理由.

13.（2022?廣東?汕頭市藍(lán)田中學(xué)八年級期中）如圖，四邊形48CD的四個頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個小正方

形的邊長都為1.

(1)8C=，AD=,連接B。，判斷0A8D的形狀為

(2)求四邊形ABC。的面積.

14.(2022?山東聊城?八年級期中)如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，DELBC,垂足為￡),交AB于點(diǎn)E,

^.BE2-AE2=AC-.

⑴判斷AABC的形狀，并證明你的結(jié)論;

(2)若DE=3,BD=4,求AE的長.

15.(2022?河南洛陽?八年級期末)如圖，△ABC中，44cB=90。，AB=5cm,BC=3cm,若點(diǎn)尸從點(diǎn)A

出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-C-8-A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為/秒(r>0).

(1)若點(diǎn)尸在AC上，且滿足24=尸5時，求出此時/的值;

⑵若點(diǎn)尸恰好在NBAC的角平分線上，求才的值；

（3）在運(yùn)動過程中，直接寫出當(dāng),為何值時，△3CP為等腰三角形.

16.（2022,福建泉州?八年級期末）如圖，在0ABe中，0ACB=9O。，。為A8中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別在直線BC,

AC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)8,C重合），DF^DE,連接EE

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時，求證：A尸+B￡2=E/;

(3)若AC=8,BC=6,EC=2,求線段CE的長.

專題10勾股定理及其逆定理

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二以直角三角形三邊

為邊的圖形面積

考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問

題

考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和（差）考點(diǎn)六利用勾股定理證明

線段平方關(guān)系

考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角

三角形

考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)考點(diǎn)十利用勾股定理逆定

理求解

考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問題

考點(diǎn)一用勾股定理解三角形

例題：（2022?湖南衡陽?八年級期末）在0ABC中，A8=3,BC=4,若0ABe是直角形，則

AC的長應(yīng)是（）

A.5B.幣C.5或"D.5或我

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分為直角邊和斜邊兩種情況討論，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：VRtAABC,AB=3,BC=4,

①2C為直角邊時，AC=^AB2+BC2=^+42=5.

②8C為斜邊時，入。=JBCZ-AB、"—3?=夜,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）已知一個直角三角形的兩邊分別為3和4,則第

三邊的長可以是.（寫出一個即可）

【答案】布（或5）

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分情況討論，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：,??一個直角三角形的兩邊分別為3和4,

①當(dāng)4為直角邊長，則第三邊為斜邊，第三邊的長為省寧=5.

②當(dāng)4為斜邊長，則第三邊為直角邊，第三邊的長為，42_3?=布.

故答案為：幣（或5）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，已知CD是0ABe中邊上的高，AC=10,CD=8,

BC=3AD.求的長.

【答案】18

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，在中，利用勾股定理求出AD=6,再結(jié)合8C=3A。即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：回是0ABe中48邊上的高，

0CD0AB,

03Aoe=90°,

在R/EL4C。中，a4DC=90",AC=10,CZ）=8,由勾股定理得：AD=^AC1-CD1=6,

0BC=3AD=18,

EIBC的長為18.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積

例題：（2022?天津二中八年級期中）如圖所示，三個大小不一的正方形拼合在一起，其中兩

個正方形的面積為144,225,那么正方形A的面積是（）

A.225B.144C.81D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得出AEBG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖所示，AEFG為直角三角形，

EEF2=GF2-GE2=225-144=81,

回正方形A的面積為81,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東陽江?八年級期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是

【解析】

【分析】

由勾股定理求出三邊之間的關(guān)系，根據(jù)圓的面積公式求出三個半圓的面積，即可得出答案.

【詳解】

解：如圖,

,-TTAC2+-7TBC2=-7rAB\

888

111

?/S=-X7T（-AC9）2=-7lAC?2,

}1228

2

同理§2=J萬3c2,S3=—7rAB,

88

??S]+S2—S3f

故答案為：Sl+S2=S3.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理及圓的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2022,全國?八年級）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是

直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為.

【答案】15

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：由勾股定理得，正方形。的面積=正方形A的面積+正方形8的面積+正方形C面積

=2+8+5=15,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于

斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題

例題：（2022?福建福州?八年級期末）在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、

E在格點(diǎn)上，長度是而的線段是（）

A.ABB.ACC.ADD.AE

【答案】B

【解析】

【分析】

利用勾股定理求得各線段的長，即可求解.

【詳解】

解：AB=712+22=75-

AC=Vl2+32=-\/10，

AD=］展+展=瓜,

AE=d于S=屈,

綜上，只有B選項(xiàng)符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點(diǎn)A、B,

C都在格點(diǎn)上，若2。是0ABe的高，則3。的長為.

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即

可得到結(jié)論.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC=d*+U=2也，

0SAABC=3x4-1-xlx2-1x3x2-|x2x4=4,

叫AC?BQ=4,

E|X2A/5BD=4,

回8D=遞，

5

故答案為：拽.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?遼寧鞍山?八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1.求出四邊形A8C。的

周長和面積.

【答案】周長為5君+舊+2/河；面積為26

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理分別求出ASBC,CD,的長即可得到四邊形ABC。的周長；根據(jù)四邊形

ABC。的面積等于其所在的長方形面積減去周圍四個三角形面積求解即可.

【詳解】

解：根據(jù)勾股定理得=5+2?=26，BC=招+32=3#>,CD=V32+22=713-

仞=后+2、=2回,

故四邊形A8CO的周長：2石+34+J1H+2a=5占+JB+2M；

四邊形ABC。的面積：6x8--x2x4--x6x3-l--x3x2--x2x6=26.

2222

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題

例題：（2022?湖北咸寧?八年級期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、

BC=8cm,現(xiàn)將EABC折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，折痕為DE,則BE的長為（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理可求出AB的長，由AB的長度可求出BE的長度.

【詳解】

解：0AC=6cm>BC=8cm,

在0ABe中，由勾股定理可知：AB=>]AC2+BC2=V62+82=1O.

團(tuán)將0ABe折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，

故E為AB的中點(diǎn)，

^\AE=BE=5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級）如圖，在RMABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.將AABC折疊，使

點(diǎn)8恰好落在邊AC上，與點(diǎn)3'重合，AE為折痕，則AEB'C的周長為.

【解析】

【分析】

首先利用勾股定理求出AC=5,根據(jù)折疊得到￡C=2,求出三角形的周長.

【詳解】

解：Rt^ABC，EB=90°,

0AC=7AB2+BC2=A/32+42=5，

由折疊知AB'=AB=3,

回B'C=AC-A2'=5-3=2,

回△B'EC的周長為B'C+EC+B'E=B'C+EC+BE=B'C+CB=2+4=6,

故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對應(yīng)的關(guān)系.

2.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABC。中，AB=S,AD=10,點(diǎn)E為BC

上一點(diǎn)，將0A8E沿AE折疊，點(diǎn)8恰好落在線段QE上的點(diǎn)尸處，則的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】

設(shè)3E=x,則CE=10-x,由折疊的性質(zhì)可知AF=8,EF=x,在放AACIF中利用勾股定

理表示出。尸，在處△CDE中，利用勾股定理列方程求解x.

【詳解】

解：設(shè)=則CE=10—x,

由折疊的性質(zhì)可知，AF=AB=8,EF=BE=x,ZAFE=ZB=90°.

在吊AAZ）尸中,DF=\lAD2-AF2=A/1O2-82=6-

DE—EF+DF=x+6.

在&△CDE中，Cb+CE?=DE"即8?+（10-尤y=（x+6）2,

解得x=4.

BE的長為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和（差）

例題：（2021?貴州六盤水?八年級階段練習(xí)）在0ABe中，回C=90。，AB=3,則A￥+BC^+AC?

的值為（)

A.6B.9C.12D.18

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)/C=90。，利用勾股定理可得A52=3C2+AC2,據(jù)此求解即可.

【詳解】

解：如圖示，ZC=90°

A

Ca------------、B

團(tuán)在Rti^ABC中，AB2=BC-+AC2

EAB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2x32=18,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長。，b,c滿足

片+>2=02是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）在RtZXABC中，ZC=90°,AB=10,貝12AB?+AC?+3C?=

（）.

A.100B.200C.300D.400

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意NC=90。，那么A2就為斜邊，則根據(jù)勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,那么原

式則為3AB,，再將A3的值代入即可求出答案.

【詳解】

解：團(tuán)在Rt^ABC中，且NC=90。，

0A8為Rt^ABC的斜邊，

團(tuán)根據(jù)勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

02AB2+AC?+BC2=3AB2=3xl02=300,

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，正確對應(yīng)斜邊并能靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?全國?八年級課時練習(xí))如圖，在EL4BC中，AB=1O,AC=13,ADBBC,垂足為

M為AO上任一點(diǎn)，則MC2-MB2等于.

【答案】69

【解析】

【分析】

在Rl^ABDRRtSADC中可分別表示出2》及CD2,在R/0BDW及R/EICDM中分別將BD2

及CD的表示形式代入表示出原印和MC2,然后作差即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：在R/EL4BO和R/S4OC中，

BD2=AB2-AD2,

CD^^AC^-AD2,

在RfS\BDM和Rf3\CDM中，

BM2^BD2+MD2^AB2-AD2+MD2,

MO=B+MD2=AC1-AD2+MD2,

(AC^-AD^+MD2)-(AB2-AD2+M￡>2),

=132-102,

=69.

故答案為：69.

【點(diǎn)睛】

此題考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出

MC2和

考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

例題：(2022?全國?八年級課時練習(xí))如圖，在等腰中，ZACB=90°,點(diǎn)。是48上

一點(diǎn)，作等腰HAOCE,且NDCE=90。，連接AE.

⑴求證：MEA學(xué)ACDB；

(2)求證：BD2+AD2^DE2.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=3C,CD=EC,ZACB=ZDCE=90°,根據(jù)角

的和差關(guān)系可得NACE=/BCD,利用SAS即可證明EICEAEECDB；

(2)根據(jù)回CEAEECDB可得13cAE=EIB=45°,BD=AE,即可得出團(tuán)胡。=90°,根據(jù)勾股定理即

可得結(jié)論.

⑴

回AABC和ADCE都是等腰直角三角形，

SAC^BC,CD=EC,ZACB=ZDCE=90°,

EZACB-ZACD=Z.DCE-ZACD,

0/ACE=/BCD,

AC=BC

在△CDB與AC￡4中，,NACE=ZBCD,

EC=CD

BACDB^ACEA.

(2)

回A"C是等腰直角三角形，

0ZB=ZBAC=45°,

由(1)得ACDBgACEA,

BZEAC=ZB=45°,BD=AE,

團(tuán)ZE4D=NEAC+ZBAC=45°+45°=90°,

AE2+AD2DE2，

0BD2+AD2=DE2-

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

及判定定理是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建?漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,

AC^BC,在Rt/XABD中，ZD=90°,AD與3c交于點(diǎn)E,且/DBE=/DAB.求證：

⑵AC2+CE2=4BD2.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定NCE4+/C4￡=90。，ZDEB+ZDBC=90°,再根據(jù)等角

的余角相等即可證明；

（2）延長3。交AC延長線于點(diǎn)尸.先根據(jù)全等三角形的判定定理得到AW尸絲△4）3,

進(jìn)而得到BF=2BD,再根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ACE■絲△3CF,進(jìn)而得到

AE=2BD,最后根據(jù)勾股定理即可證明.

【詳解】

證明：（1）如下圖所示，標(biāo)出Nl,Z2,Z3.

0Z1+Z3=9O°,Z2+Z￡)BC=90°.

團(tuán)N1和N2是對頂角，

團(tuán)N1=N2.

回/3=ZDBC,BPZCAE=ZDBC.

（2）在（1）中圖延長交AC延長線于點(diǎn)尸.

由（1）可知Z3=ZDBC,即N3=NOBE.

⑦ZDBE=ZDAB,

團(tuán)N3=ND4B.

國/ADB=90°,

團(tuán)NA￡＞尸=90。.

^\ZADF=ZADB.

在△"＞/和ZXAT應(yīng)中，

N3=/DAB,

中AD=AD,

ZADF=NADB,

團(tuán)Z\ADFg△4）3（ASA）.

國FD=BD.

BBF=2BD.

0ZACB=9O°,BPZACE=90°,

團(tuán)NBC尸=900.

BZACE=ZBCF.

由（1）可知/3=/D3C,即N3=NCBb.

在△ACE和ZXBC/中，，

N3=ZCBF,

回＜AC=BC,

/ACE=/BCF,

回AACE^ABCF（ASA）.

^AE=BF.

國AE=2BD

團(tuán)在RSACE中，AC2+CE2=AE2,

團(tuán)AC2+CE2=（230）2=4502

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理,

綜合應(yīng)用以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵，同時注意等價代換思想的使用.

考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

例題：（2022?廣西柳州?八年級期中）以下列各組數(shù)為三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是

（）

A.1,2,3B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那這個三

角形就是直角三角形，逐一判斷即可.

【詳解】解：A,12+22^32,不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；

B、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；

C、4?+5?#6?,不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；

。、52+62^72,不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，已知三邊的長，只需要利用逆定理判斷即

可.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級開學(xué)考試）若AABC的三邊長6,c滿足伍-6）2+/+廿-。2卜0,

則AABC是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】根據(jù)平方的結(jié)果是非負(fù)數(shù)、絕對值的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理、等

腰三角形的判定進(jìn)行判定即可.

【詳角星】解：S（a-b-）2+\a2+b2-c2\=0

>0,|a2+b2-c2|>0

回。-6=0、a2+b2-c2=0

回。=6、a1+b2=c2

回AABC是等腰直角三角形

故答案為：等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，解答

此題的關(guān)鍵是得出a—6=0、a1+b~—c1=0.

2.（2022?廣東?東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級期中）己知“BC的三邊a,b,c滿足（a-5）

2+（b-12）2+|c-13|=0,則AABC是三角形.

【答案】直角

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。、6、c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】回伍-5）2+（況12尸+1。131=0,

0o-5=O,￡>-12=0,c-13=0,

回。=5,b=12,c=13,

052+122=132,

Ea2+Z>2=c2,

fflABC是直角三角形.

故答案為：直角.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊

的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a,b,c表示三角形的

三條邊，如果。2+爐=^,那么這個三角形是直角三角形.

考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（2022?湖北?谷城縣教學(xué)研究室八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1,點(diǎn)A、

B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中NA3c的度數(shù)為.

【答案】90。##90度

【分析】先利用勾股定理求出A9,BG,AC2,再利用勾股定理的逆定理證明AABC是直角

三角形，即可解答.

【詳解】解：由題意得：482=22+42=20,

CB2=22+12=5,

AC2=32+42=25,

EL4B2+BC2=AC2,

回0ABe是直角三角形，

EEABC=90°,

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林松原?八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A,B,C是小正方形

的頂點(diǎn)，則0ABe的度數(shù)為一.

【答案】450

【分析】根據(jù)勾股定理得到AB,BC,AC的長度，再判斷0ABe是等腰直角三角形，進(jìn)而得

出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接AC.

由題意，AC=722+12=A/5，BC=d吩=非,AB=712+32=V10>

0AC=BC,AB2^AC1+BC2,

團(tuán)0ABC是等腰直角三角形，且0ACB=9O。，

EHABC=I2CAB=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出AABC

是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2022?青海西寧?八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,回ABC

的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，AC=45.

（1）BC=；

⑵判斷回ABC的形狀，并說明理由.

【答案】⑴26

⑵直角三角形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊可以求出斜邊長.

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可判定回A3C是直角三角形.

<1）由圖知Be?=42+22=2OEBC=^=2A/5故答案為2君

（2）國A3C是直角三角形，理由如下：AC=-j5,BC=2卮AB=5S

AU+BC?=（4尸+（2右了=25,又回AB?=52=25回AC?+3C?=Ng2HliABC是直角三角形

（如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和它的逆定理.根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩邊長

可以求出第三條邊長.而勾股定理的逆定理的作用是：已知一個三角形的三邊長，判定這個

三角形是否為直角三角形，注意運(yùn)用時不要弄混淆.

考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)

例題：（2022?全國?八年級專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)之間的距離

為5cm,點(diǎn)C到直線A3的距離為2cm,且AABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有

______個.

【答案】8

【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則NC=90。；（2）AB為直角邊，AC=2CM或

BC=2cm；

【詳解】（1）當(dāng)A2為斜邊時，點(diǎn)C到直線A3的距離為2cm,即A8邊上的高為2cm,符

合要求的C點(diǎn)有4個，如圖：

（2）當(dāng)為直角邊時，AC=2cm^BC=2cm,符合條件的點(diǎn)有4個，如圖;

符合要求的C點(diǎn)有8個；

故答案是8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖,ZBOC=60。，點(diǎn)A是30延長線上的一點(diǎn)，OA=10cm,

動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動，動點(diǎn)0從點(diǎn)。出發(fā)沿OC以lcm/s的速度移

動，如果點(diǎn)P，。同時出發(fā)，用r（s）表示移動的時間，當(dāng)/=s時，△POQ是等腰

三角形；當(dāng)/=s時，△P。。是直角三角形.

【分析】根據(jù)AP。。是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)尸在A0上，或點(diǎn)尸在3。上；

根據(jù)APOQ是直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：PQLAB,或PQLOC,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算

即可.

當(dāng)尸時，io-3r=r,

解得/=：；

如圖，當(dāng)尸時，△尸。。是等腰三角形,

.?.當(dāng)PO=QO時，3f—10=/,

解得t=5；

如圖，當(dāng)尸。，鉆時，△尸。。是直角三角形，且QO=2OP,

c

.?.當(dāng)Q0=20P時，r=2x（3r-10）,

解得f=4；

如圖，當(dāng)PQ_LOC時，AP。。是直角三角形，且2QO=OP,

.?.當(dāng)2。。=。尸時,2t=3t-W,

解得：/=10.

故答案為：;或5；4或10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進(jìn)行

分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù).

2.(2022?全國?八年級專題練習(xí))如圖，在R/0A8C中，EIC=900,AB=5cm,AC=4cm,動點(diǎn)尸

從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為f秒.

備用圖2

⑴求邊的長;

(2)當(dāng)為直角三角形時，求r的值;

⑶當(dāng)0ABp為等腰三角形時，請直接寫出此時f的值.

【答案】(1)3。相

(2)1或年

(3)f=：5或2或￡25

【分析】(1)根據(jù)題意，在A0ABe中，利用勾股定理求解即可；

(2)由題意可知，分兩種情況：?ZAPS=90°；②N3AP=90。，代值求解即可；

(3)由題意可知，分三種情況：①BA=BP；@AB=AP-.(?)PA=PB,分別結(jié)算求解

即可.

(1)

解：團(tuán)在R/a48c中，ZACB=9(y,AB=5cm,AC=4cm,

回201AB。-AC。=3cm；

⑵

解：由題意可知，分兩種情況：(1)ZAPS=90°；②/B4P=90。，

設(shè)BP=3fcm,回歷90°：

①當(dāng)她尸8=90。時，易知點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，

QBP=BC,即3f=3,

0r=l；

②當(dāng)SR4B=90。時，如下圖所示：

^\CP=BP—BC=(3/一3)cm,

25

22222222

^AC+CP=AP=BP~ABf即42+(3/—3)=(3力-5,解得：t=—,

25

綜上所述：當(dāng)AWP為直角三角形時，或互；

(3)

解：由題意可知，分三種情況：①BA=3P；②=③叢=依,

①當(dāng)BA=BP=5cmHt,如圖所示：

5

"?=3：

②當(dāng)AB=AP=5cm時，如圖所示:

根據(jù)等腰三角形〃三線合一〃可知，AC是AABP邊族上的中線,

/.BP=2BC=6cm,

③當(dāng)％=尸8時，如圖所示:

設(shè)尸C=x,貝1］收=3。+/<?=3+尤=%，

在用AAPC中，ZACP=90°,PC=x,PA=x+3,AC=4,則由勾股定理可得

7

AC2+PC2^PA2,即4?+x2=（尤+3）9-,解得尤=:，

6

725

BP=BC+PC=3+-=—cm,

66

25r25

t=------3=—

618f

5?5

綜上所述：vg或2或三.

3lo

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動點(diǎn)問題，涉及到勾股定理求線段長、三角形為直角三角形的

討論和三角形為等腰三角形的討論等知識，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)及分類情況是解決問題的關(guān)

鍵.

考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解

例題：（2022?河北衡水?八年級期中）如圖，已知在AABC中，BC=2AC=2小，AB=>J15.

（1）44c的度數(shù)為；

（2）若。是3c的中點(diǎn)，則/ADC的度數(shù)為.

【答案】90°##90度60°##60度

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證得△ACD為等邊三角形，從而得到NADC的度

數(shù).

【詳解】(1)回在AABC中，BC=2AC=2小,AB=J15,

EAC2+BC2=(A/5)2+(V15)2=20,BC2=(2后=20,

AC2+BC2=BC2,

回為直角三角形，且/區(qū)4c=90°.

故答案為：90°.

(2)團(tuán)在必~4BC中，。是8C的中點(diǎn)，

S\AD=CD=-BC,

2

XEAC=-BC,

2

回AD=CD=AC,

團(tuán)八48為等邊