同課異構(gòu)：圓與圓的位置關(guān)系3

圓與圓的位置關(guān)系(3)上海市初級中學(xué)名師制作一、情境引入圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是什么？有幾條？這兩個圓所成圖形的對稱軸是什么？有幾條？過圓心的直線（或直徑所在直線）無數(shù)條l連心線：經(jīng)過兩個圓的圓心的直線叫做連心線.二、新知講授相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.證明：分別聯(lián)結(jié)AO1、BO1∴點O1在線段AB的垂直平分線上.∵AO1=BO1，同理，點O2在線段AB的垂直平分線上.∵O1O2是連心線，AB是公共弦.∴

O1O2垂直平分AB.所以，直線O1O2是線段AB的垂直平分線.、AO2、BO2.二、新知講授相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.∵O1O2是連心線，T是切點.∴O1O2過點T.O1O2說明：假設(shè)⊙O1和⊙O2相切，切點T不在O1O2上，則點T關(guān)于連心線O1O2的對稱點T’也是這兩圓的公共點，這與已知⊙O1和⊙O2相切只有一個公共點矛盾，因此切點T一定在連心線O1O2上，即連心線O1O2經(jīng)過點T.TO2二、講授新知相交或相切兩圓的連心線的性質(zhì)定理.相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.三、例題講解已知，如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，線段O1O2的延長線交⊙O2于點C，CA，CB的延長線分別交⊙O1于點D、E.求證：AD=BE.例題1同圓或等圓中，弦相等弦所對的弦心距相等CO1是∠DCE的平分線O1O2是連心線相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦點O1到∠DCE兩邊的距離三、例題講解已知，如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，線段O1O2的延長線交⊙O2于點C，CA，CB的延長線分別交⊙O1于點D、E.求證：AD=BE.例題1解：聯(lián)結(jié)AB.∵

O1O2是連心線，AB是公共弦.∴O1O2垂直平分AB.于是，

點O1到DC、EC的距離相等，即弦AD、弦BE的弦心距相等.∴

得

AC=BC.∴O1C平分∠DCE.∴

AD=BE.兩圓相交問題，添加公共弦是常用的輔助線.三、例題講解已知：如圖，⊙O1和⊙O2相切于點T，經(jīng)過點T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于另一點A和B.求證：O1A//O2B.例題2圖1圖2兩直線平行內(nèi)錯角相等O1O2是連心線相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.三、例題講解已知：如圖，⊙O1和⊙O2相切于點T，經(jīng)過點T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于另一點A和B.求證：O1A//O2B.解：聯(lián)結(jié)O1O2.例題2∵

O1O2是連心線，T是切點.∴O1O2過點T.∵O1A

=O1T，∴∠A=∠O1TA.同理，∵O2B

=O2T，∴∠B=∠O2TB.∵∠O1TA

=

∠O2TB，∴∠A=∠B.∴O1A//O2B.圖1圖2三、例題講解已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，圓心距為25，求兩圓的公共弦的長.例題3152025公共弦的長直角三角形斜邊上的高（AB是連心線）CH的長面積法三、例題講解已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，圓心距為25，求兩圓的公共弦的長.例題3152025解：∵AC2+BC2=AB2由勾股定理逆定理，∴AC⊥BC∵AB

是連心線，CD是公共弦.∴AB⊥CD，CD=2CH.得CH=12.∴CD=24.所以兩圓的公共弦的長為24.四、鞏固練習(xí)練習(xí)已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，公共弦的長為24，求這兩圓的圓心距.

152012四、鞏固練習(xí)練習(xí)已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，公共弦的長為24，求這兩圓的圓心距.

152012152012注意對相交兩圓不同的位置情況，進行分類討論.①圓心在公共弦的兩側(cè)②圓心在公共弦的同側(cè)五、歸納小結(jié)相交或相切兩圓的連心線的性質(zhì)定理.常用輔助