2024-2025學年新教材高中數學第2章等式與不等式2.2微專題2不等式恒成立能成立問題學案新人教B版必修第一冊

PAGE微專題2不等式恒成立、能成立問題類型1數形結合法解決恒成立問題【例1】當1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范圍．[解]令y＝x2＋mx＋4.∵y＜0在[1,2]上恒成立，∴x2＋mx＋4＝0的根一個小于1，另一個大于2.如圖，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4＜0，,4＋2m＋4＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5＜0，,2m＋8＜0，))解得m＜－5.∴m的取值范圍是(－∞，－5)．結合函數的圖像將問題轉化為函數圖像的對稱軸，區(qū)間端點的函數值或函數圖像的位置相對于x軸關系求解.可結合相應一元二次方程根的分布解決問題.eq\o([跟進訓練])1．(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求實數k的取值范圍；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對隨意實數x恒成立，求實數a[解](1)當k＝0時，原不等式化為－2＜0，明顯符合題意．當k≠0時，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y＜0恒成立，∴其圖像都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,4k2＋4kk＋2＜0，))解得－1＜k＜0.綜上，實數k的取值范圍是(－1,0]．(2)原不等式可化為x2－2x＋a2－3a－3≥∵該不等式對隨意實數x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a∴實數a的取值范圍是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．類型2分別參數法解決恒成立問題【例2】設函數y＝mx2－mx－1，x∈[1,3]，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．[解]y＜－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜eq\f(6,x2－x＋1).∵y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值為eq\f(6,7)，∴只需m＜eq\f(6,7)即可．∴m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).通過分別參數將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題.eq\o([跟進訓練])2．已知函數y＝eq\f(x2＋2x＋a,x)對于隨意x≥1且y＞0恒成立，求實數a的取值范圍．[解]x≥1時，y＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0恒成立，等價于x2＋2x＋a＞0恒成立，即a＞－(x2＋2x)恒成立，即a＞[－(x2＋2x)]max.令y1＝－(x2＋2x)，則當x≥1時，y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1＝－(x＋1)2＋1≤－3.∴實數a的取值范圍為{a|a＞－3}．類型3轉換主元解決恒成立問題【例3】已知a∈[－1,1]時不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，求x[解]把不等式的左端看成關于a的一次函數，記y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則由y＞0對于隨意的a∈[－1,1]恒成立，將a＝－1和a＝1代入，解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))得x＜1或x＞3.∴x的取值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞)．轉換思維角度，即把變元與參數變換位置，構造以參數為變量的函數，依據原變量的取值范圍求解.eq\o([跟進訓練])3．對于滿意0≤p≤4的一切實數，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，試求x的取值范圍．[解]不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0，設y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p為自變量的一次函數，則0≤p≤4時y＞0恒成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1·0＋x2－4x＋3＞0，,4x－1＋x2－4x＋3＞0，))解得x＞3或x＜－1．∴x的取值范圍是{x|x＞3或x＜－1}．類型4轉化為函數的最值解決能成立問題【例4】若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求實數m的取值范圍．[解]∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范圍為[－2，＋∞)．能成立問題可以轉化為m＞ymin或m＜ymax的形式，求出y的最大值與最小值，從而求得參數的取值范圍.eq\o([跟進訓練])4．已知函數y＝|2x＋1|－|x|.(1)求不等式y(tǒng)＞0的解集；(2)若存在x∈R，使得y≤m成立，求實數m的取值范圍．[解](1)由y＞0，得|2x＋1|＞|x|，兩邊同時平方，得3x2＋4x＋1＞0，解得x＜－1或x＞－eq\f(1,3).故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞－\f(1,3))))).(2)存在x∈R，使得y≤m成立，故m≥ymin.當x＜－eq\f(1,2)，y＝－x－1；當－eq\f(1,2)≤x＜