人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：7 1 2　全概率公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.1.2全概率公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算概率.2.了解貝葉斯公式(不作考試要求)．知識點(diǎn)一全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱該公式為全概率公式．*知識點(diǎn)二貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.1．若P(A)>0，P(eq\x\to(A))>0，則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．(√)2．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，則P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(×)一、兩個事件的全概率問題例1某次社會實(shí)踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一個社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率．解如果用A1，A2分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的事件，B表示是女生的事件，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，由題意可知，P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，且P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).反思感悟兩個事件的全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分如A1，A2(或A與eq\x\to(A))．(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟蹤訓(xùn)練1某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05，求：(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個為廢品的概率．解記事件A，B分別為甲、乙兩廠的產(chǎn)品，事件C為廢品，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由題意，得P(A)＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(7,125).(2)P(A)＝eq\f(30×100,30×100＋20×120)＝eq\f(5,9)，P(B)＝eq\f(20×120,30×100＋20×120)＝eq\f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,9)×eq\f(6,100)＋eq\f(4,9)×eq\f(5,100)＝eq\f(1,18).二、多個事件的全概率問題例2假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%在該市場中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．解用A1，A2，A3分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示買到的是優(yōu)質(zhì)品的事件，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依據(jù)已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.反思感悟“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．跟蹤訓(xùn)練2甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品．(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．解(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3，∴這2個產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個產(chǎn)品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).三、條件概率在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用例3設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%，現(xiàn)從中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率．解記事件A1＝“該產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的”，事件A2＝“該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”，事件A3＝“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”，事件B＝“該產(chǎn)品是次品”．則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，由題設(shè)，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義)，得P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35).反思感悟條件概率的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．跟蹤訓(xùn)練3同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應(yīng)．由長期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95,0.90,0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？解設(shè)事件A表示取到的產(chǎn)品為正品，B1，B2，B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)．則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(0.2×0.95,0.86)＝eq\f(19,86)，P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)＝eq\f(0.3×0.9,0.86)＝eq\f(27,86)，P(B3|A)＝eq\f(PB3PA|B3,PA)＝eq\f(0.5×0.8,0.86)＝eq\f(40,86).由以上3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小．1．一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到的是黑球的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,9)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)〖答案〗C〖解析〗記事件A，B分別表示第一、二次取到的是黑球，則P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，由題設(shè)易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(7,10)，P(B|A)＝eq\f(2,9)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,9)，于是P(B)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＝eq\f(3,10).2．兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率為0.02，加工出來的零件放在一起，現(xiàn)已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，則任意取出一個零件是合格品的概率是()A.eq\f(2,75)B.eq\f(7,300)C.eq\f(73,75)D.eq\f(973,1000)〖答案〗C〖解析〗設(shè)Ai＝“任意取出一個零件是第i臺機(jī)床生產(chǎn)的”，i＝1,2，B＝“任意取出一個零件是合格品”．則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，∴P(B)＝eq\i\su(i＝1,2,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,3)(1－0.03)＋eq\f(1,3)(1－0.02)＝eq\f(292,300)＝eq\f(73,75).3．有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是()A．0.013B．0.04C．0.002D．0.003〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1,2,3，則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.4．甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋中有4個白球4個黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為________．〖答案〗eq\f(13,25)〖解析〗設(shè)A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi＝“從甲袋中取出的兩球恰有i個白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(4,10)＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(1,2)＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(6,10)＝eq\f(13,25).5．一項(xiàng)血液化驗(yàn)用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中通過化驗(yàn)有95%的人呈陽性反應(yīng)，而健康的人通過化驗(yàn)也會有1%的人呈陽性反應(yīng)，某地區(qū)此種病患者占