運(yùn)用數(shù)形結(jié)合計(jì)算 第2課時(shí)

第2課時(shí)第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形

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說(shuō)一說(shuō)你是怎么計(jì)算的。（一）教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生通過(guò)自主研究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)侓，并會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)侓。2、使學(xué)生會(huì)利用圖型來(lái)解決一些有關(guān)的問(wèn)題。3、使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合`、歸納推理、極限等基本的數(shù)學(xué)思想。（二）內(nèi)容安排及其特點(diǎn)1、教學(xué)內(nèi)容和作用。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與行結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題可使復(fù)雜的問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問(wèn)題變得更直觀。數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)教材中比比皆是。有的時(shí)候，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)侓，可利用數(shù)的規(guī)侓來(lái)解決圖形的問(wèn)題。有時(shí)候，是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然。尤其是小學(xué)生思維的抽象程度還不夠高.經(jīng)常需要借助直觀模型來(lái)幫助理解。例如：利用長(zhǎng)方形模型來(lái)教學(xué)乘法的算理，利用線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，利用面積模型來(lái)解釋兩位乘兩位數(shù)的算理、乘法分配侓、完全平方公式等（如下圖）。還有時(shí)候，數(shù)與形密不可分，可用“數(shù)”來(lái)解決“形”的問(wèn)題，也可以用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題。例如：幾何及微積分中曲線與方程、方程組及函數(shù)與圖像互為工具互為解釋，有機(jī)融合。小學(xué)中的正比例關(guān)系和反比比例關(guān)系圖象也很好的反映了這樣的思想。本單元中，教材以“1+3+5+7+……+（2n-1）=n2”“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……=1”為例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和利用數(shù)學(xué)與形的結(jié)合，可以解決一些有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體編排結(jié)構(gòu)如下：等差數(shù)列1,3,5，…之和與正方形數(shù)的關(guān)系例1數(shù)與形求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8，…之和例2從上表可以看出，本單元的教學(xué)內(nèi)容分為兩個(gè)層次。一是使學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的對(duì)照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)表示出數(shù)的規(guī)律。例如，例1中，從圖形的角度直觀的理解“正方形數(shù)”和“平方數(shù)”的特點(diǎn)。二是借助圖形解決一些比較抽象的、復(fù)雜的、不好解釋的問(wèn)題。例如，例2中，解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……的求和問(wèn)題，教材利用分?jǐn)?shù)意義的直觀模型，使學(xué)生直觀的理解“無(wú)限”的抽象概念；再如，練習(xí)二十二第6題，通過(guò)畫示意圖的方式可以比較便捷的解決比較抽象的問(wèn)題。2、教材編排特點(diǎn)。本單元教材在編排上有下面幾個(gè)特點(diǎn)。⑴突出探索規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律的編排意圖。不管是數(shù)還是形，都突出對(duì)其規(guī)律的探索。例如，通過(guò)觀察和計(jì)算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+…既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的相加），又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（都是連續(xù)的正方形數(shù)）；通過(guò)觀察和計(jì)算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、1/2+1/4+1/8+1/16，…同樣，既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)推理，再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形，解決問(wèn)題。⑵在利用數(shù)形解決問(wèn)題的過(guò)程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想。例如，在例2中，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)和越來(lái)越趨向于1，感受什么叫“無(wú)限接近”。雖然無(wú)法一一窮舉所得的結(jié)果，但可以利用觀察到的規(guī)律進(jìn)行“無(wú)窮無(wú)盡的”類推。使學(xué)生在這一過(guò)程中體會(huì)推理和極限的思想。

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你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？計(jì)算+

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++…2。后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的2倍。分子都是1，分母不同。計(jì)算+

++

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++…2。

前一個(gè)分?jǐn)?shù)是和它相鄰的后一個(gè)分?jǐn)?shù)的2倍。計(jì)算+

++

+

++…2。涂色部分可以怎么算？

得數(shù)＝1-最后一個(gè)加數(shù)

?試著計(jì)算，看看剛才的結(jié)論對(duì)不對(duì)。畫圖探索規(guī)律

方法一

……

……我一個(gè)一個(gè)加下去看看，答案好像有點(diǎn)規(guī)律。加下去，等號(hào)右邊的分?jǐn)?shù)越來(lái)越接近于1。按順序計(jì)算結(jié)果

畫圖探索規(guī)律方法二用一個(gè)圓表示“1”

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＝＋

＋

＝

12＋＝143412143434＋＝1878781878＋＝161161516132116153211615＋＝323132316463128127………綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)方法三用一條線段表示“1”12＋14＋18＋161＋321＋641＋……=1214116181…3218743161532316463128127從圖上可以看出，這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。12＋14＋18＋161＋321＋641＋……=1選自教材第106頁(yè)做一做第2題下面每個(gè)圖中各有多少個(gè)綠色小正方形和多少個(gè)藍(lán)色小正方形？照這樣畫下去，第6個(gè)圖形有多少個(gè)綠色小正方形和多少個(gè)藍(lán)色小正方形？第10個(gè)圖形呢？你能解釋這其中的道理嗎？綠色藍(lán)色（）（）（）（）（）（）（）（色藍(lán)色綠色藍(lán)色（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）1862610選自教材第106頁(yè)做一做第2題序號(hào)123456…10綠色1234?6…10藍(lán)色8101214?18…26516n2(n+3)第n個(gè)圖形有n個(gè)綠色小正方形，有2(n+3)個(gè)藍(lán)色小正方形。答：第6個(gè)圖形有6個(gè)綠色小正方形和18個(gè)藍(lán)色小正方形。第10個(gè)圖形有10個(gè)綠色小正方形和26個(gè)藍(lán)色小正方形。第n個(gè)圖形有n個(gè)綠色小正方形，有2(n+3)個(gè)藍(lán)色小正方形。n選自教材第106頁(yè)做一做第2題12-

14-

18-

161-

321-

641=12-

14-

18-

161-

321-

641-

…=1-1-計(jì)算。1.①②

①

=1-1=0這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。②用小棒按下面的方法擺圖形。…小三角形個(gè)數(shù)：小棒根數(shù)：()()()()()()()()123435792.（1）拼成的三角形圖的個(gè)數(shù)與所用的小棒根數(shù)之間有什么關(guān)系？所用小棒根數(shù)等于三角形個(gè)數(shù)的2倍加1。…小三角形個(gè)數(shù)：小棒根數(shù)：()()()()()()()()12343579n2n+1n（2）第10個(gè)圖形用了多少根小棒？10×2＋1=21（根）答：第10個(gè)圖形用了21根小棒?！∪切蝹€(gè)數(shù)：小棒根數(shù)：()()()()()()()()12343579n2n+1n請(qǐng)將一根繩子沿中間對(duì)折，再沿對(duì)折的繩子中間再對(duì)折，這樣連續(xù)對(duì)折5次，最后用剪刀沿對(duì)折5次后的繩子的中間將繩子剪斷，此時(shí)繩子將被剪成多少段？

對(duì)折1次，將繩子中間剪斷，繩子被剪成3段；對(duì)折2次，沿繩子中間剪斷，繩子被剪成5段；對(duì)折3次，沿繩子中間剪斷，繩子被剪成9段；……對(duì)折n次后，沿繩子中間剪斷，繩子被剪成了2n+1段。請(qǐng)將一根繩子沿中間對(duì)折，再沿對(duì)折的繩子中間再對(duì)折，這樣連續(xù)對(duì)折5次，最后用剪刀沿對(duì)折5次后的繩子的中間將繩子剪斷，此時(shí)繩子將被剪成多