2024八年級數(shù)學上冊第一章因式分解專題1因式分解的八種常見應用習題課件魯教版五四制

魯教版八年級上第一章因式分解專題1因式分解的八種常見應用應用1簡化計算

1.

[2023·濟寧期末]利用因式分解計算：(1)9002－894×906；【解】9002－894×906＝9002－(900－6)×(900＋6)＝

9002－(9002－62)＝9002－9002＋62＝36.(2)2.68×15.7－31.4＋15.7×1.32；【解】2.68×15.7－31.4＋15.7×1.32＝15.7×(2.68

－2＋1.32)＝15.7×2＝31.4.123456789(3)2022＋202×196＋982.【解】2022＋202×196＋982＝2022＋2×202×98＋982

＝(202＋98)2＝3002＝90

000.123456789應用2化簡求值

123456789(2)

a4－4

a3

b

＋4

a2

b2，其中

a

＝3，

b

＝－2.【解】

a4－4

a3

b

＋4

a2

b2＝

a2(

a2－4

ab

＋4

b2)＝

a2(

a

－2

b

)2，當

a

＝3，

b

＝－2時，原式＝32×[3－2×(－2)]2＝32×(3＋4)2＝9×49＝441.123456789應用3判斷整除

3.

[母題·教材P14習題T4]當

n

為整數(shù)時，(

n

＋1)2－(

n

－1)2

能被4整除嗎？請說明理由.【解】能被4整除.理由：(

n

＋1)2－(

n

－1)2＝(

n

＋1＋

n

－1)(

n

＋1－

n

＋1)＝4

n

.∵

n

為整數(shù)，∴4

n

為4的整數(shù)倍，∴當

n

為整數(shù)時，(

n

＋

1)2－(

n

－1)2能被4整除.1234567894.

[新考法·閱讀類比法]先閱讀下列材料，然后解題：因為(

x

－2)(

x

＋3)＝

x2＋

x

－6，所以(

x2＋

x

－6)÷(

x

－2)＝

x

＋3，即

x2＋

x

－6能被

x

－2整除，所以

x

－2是

x2＋

x

－6的一個因式，且當

x

＝2時，

x2＋

x

－6＝0.123456789(1)[類比思考]因為(

x

＋2)(

x

＋3)＝

x2＋5

x

＋6，所以

x2＋

5

x

＋6能被

整除，所以

?

是

x2＋5

x

＋6的一個因式，且當

x

＝

?時，

x2＋5

x

＋6＝0；x

＋2或

x

＋3

x

＋2或

x

＋3

－2或－3

123456789(2)[拓展探究]根據(jù)以上材料，已知多項式

x2＋

mx

－14能

被

x

＋2整除，試求

m

的值.【解】因為

x2＋

mx

－14能被

x

＋2整除，所以當

x

＝－2時，

x2＋

mx

－14＝0，所以(－2)2＋

m

×(－2)－14＝0，解得

m

＝－5.123456789應用4求邊長

5.

[2024·濟寧任城區(qū)月考]已知

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三邊

長，

a

，

b

使等式

a2＋

b2－2

a

－6

b

＋10＝0成立，且

c

是

奇數(shù)，求△

ABC

的周長.【解】∵

a2＋

b2－2

a

－6

b

＋10＝0，∴(

a2－2

a

＋1)＋(

b2－6

b

＋9)＝0，∴(

a

－1)2＋(

b

－3)2＝0，∴

a

－1＝0，

b

－3＝0，解得

a

＝1，

b

＝3.又∵

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三邊長，∴2＜

c

＜4.又∵

c

是奇數(shù)，∴

c

＝3.∴△

ABC

的周長為1＋3＋3＝7.123456789應用5判斷三角形的形狀

6.

[2024·煙臺萊州市期中]若△

ABC

的三邊長分別為

a

，

b

，

c

，且

b2＋2

ab

＝

c2＋2

ac

，判斷△

ABC

的形狀.【解】∵

b2＋2

ab

＝

c2＋2

ac

，∴(

b2－

c2)＋(2

ab

－2

ac

)＝0，∴(

b

＋

c

)(

b

－

c

)＋2

a

(

b

－

c

)＝0，∴(

b

－

c

)(

b

＋

c

＋2

a

)＝0.∵△

ABC

的三邊長分別為

a

，

b

，

c

，∴

a

＞0，

b

＞0，

c

＞0，∴

b

＋

c

＋2

a

＞0，∴

b

－

c

＝0，∴

b

＝

c

，∴△

ABC

為等腰三角形.123456789應用6比較大小

7.

[新考法·作差法]已知

P

＝2

x2＋4

y

＋13，

Q

＝

x2－

y2＋

6

x

－1，比較

P

，

Q

的大小.【解】

P

－

Q

＝(2

x2＋4

y

＋13)－(

x2－

y2＋6

x

－1)＝

x2－6

x

＋

y2＋4

y

＋14＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1.∵(

x

－3)2≥0，(

y

＋2)2≥0，∴

P

－

Q

＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1≥1.∴

P

＞

Q

.

123456789應用7判斷正負

8.

若

a

，

b

，

c

為三角形的三邊長，求證：(

a2＋

b2－

c2)2－

4

a2

b2的值一定為負數(shù).【證明】(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＝(

a2＋

b2－

c2)2－(2

ab

)2＝(

a2＋

b2－

c2＋2

ab

)(

a2＋

b2－

c2－2

ab

)＝[(

a

＋

b

)2－

c2][(

a

－

b

)2－

c2]＝(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

).123456789∵

a

，

b

，

c

為三角形的三邊長，∴

a

＋

b

＋

c

＞0，

a

＋

b

－

c

＞0，

a

－

b

＋

c

＞0，

a

－

b

－

c

＜0.∴(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)＜0，即(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＜0.∴(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2的值一定為負數(shù).123456789應用8探究規(guī)律

9.

[新視角·歸納猜想題]有一系列等式：1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；…(1)根據(jù)你的觀察、歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出

11×12×13×14＋1＝

?；(112＋3×11＋1)2

123456789(2)若

n

為正整數(shù)，試猜想

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1是哪

一個數(shù)的平方，并予以證明.【解】

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1是

n3＋3

n

＋1的平方.證明：

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1＝

n

(

n

＋3)(