數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。若圓x2+y2-2x+4y+m=0與x軸相切，則m的值為（)A.1B。7C。3或7思路解析:由于已知圓與x軸相切，因此圓的方程與x軸所在直線的方程聯(lián)立的方程組的解有且只有一個(gè)，據(jù)此,將題意轉(zhuǎn)化為方程組,再進(jìn)一步將方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)前面的分析，此方程也應(yīng)該有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則判別式為零。根據(jù)題意，得消去y，得x2—2x+m=0，因?yàn)橐阎獔A與x軸相切,所以Δ=4-4m=0，所以m=1.因此，選A.答案:A2.已知直線l：ax-y+b=0，圓M:x2+y2-2ax+2by=0，則l與M在同一坐標(biāo)系中的圖形只可能是（）圖2—3—（3，4)-7思路解析:由于直線l:ax-y+b=0和圓M：x2+y2-2ax+2by=0的系數(shù)相關(guān)聯(lián),因此直線l與圓的位置關(guān)系在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中大致是可以確定的.因?yàn)閳AM的方程為x2+y2—2ax+2by=0,所以圓M一定過(guò)原點(diǎn)。所以排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)C。又因?yàn)閳AM的圓心坐標(biāo)為(a，—b),而選項(xiàng)D中反映的信息是直線的斜率為負(fù),即a＜0，而圓M的圓心在第一象限，即a＞0，因此排除選項(xiàng)D。因此，選B。答案：B3.曲線y=1+與直線y=k（x—2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍是（)A。(,+∞）B。(，］C。（0，）D.(,）圖2-3—（3，4）-8思路解析：這道題乍一看就想把兩個(gè)方程聯(lián)立組成方程組,然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)判別式大于零可以求出k的取值范圍。但是這樣做正好中了命題人設(shè)下的“圈套"了，同時(shí)也反映出了“審題”不認(rèn)真的“毛病”.如圖所示，因?yàn)橹本€y=k(x-2)+4過(guò)定點(diǎn)(2，4）,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,1)，所以k的最大值為，而曲線y=1+與直線y=k（x—2)+4相切時(shí),k的值為或不存在,所以k的取值范圍為＜k≤.因此，選B.答案：B4.如圖2-3—（3,4）—9,在直角坐標(biāo)系中,某車床的兩個(gè)傳動(dòng)齒輪對(duì)應(yīng)是⊙O1和⊙O2，半徑分別為1和2，忽略兩齒輪的間隙，已知⊙O1上某一點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角速度為弧度/秒,當(dāng)t=0時(shí)，⊙O2上一點(diǎn)B（5，0),當(dāng)t=14秒時(shí)，B運(yùn)動(dòng)到B′,則B′的坐標(biāo)為（）圖2—3—(3，4）—9A.（4，）B。（4，）C.(2，)D。（2，）思路解析：根據(jù)⊙O1旋轉(zhuǎn)的角速度為求出⊙O2旋轉(zhuǎn)的角速度,然后計(jì)算出14秒后點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)了多少弧度，從而得到點(diǎn)B′的位置，計(jì)算出其坐標(biāo)即可.圖2—3-（3,4)—10因?yàn)椤袿1和⊙O2的半徑分別為1和2,又因?yàn)椤袿1旋轉(zhuǎn)的角速度為,所以⊙O2旋轉(zhuǎn)的角速度為，當(dāng)t=14秒時(shí)，點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了×14=,如圖所示。即∠B′O2B=，所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，3）.因此，選A。答案：A5.圓（x-1）2+(y+)2=1的切線方程中有一個(gè)是（）A.x-y=0B.x+y=0C思路解析:本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑.直線ax+by=0與(x—1)2+(y+)2=1相切，則=1,由排除法，選C.本題也可數(shù)形結(jié)合，用圖象法解最簡(jiǎn)捷。答案：C6。直線x+y=1與圓x2+y2-2ay=0（a＞0）沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A.(0，—1）B.（—1,+1）C.（--1,+1)D。(0,+1）思路解析：根據(jù)題意可得,直線與圓相離，因此,圓心到直線的距離大于圓的半徑，故在求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑后,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離大于半徑，將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式,從而求出a的取值范圍。由圓x2+y2-2ay=0（a＞0)的圓心(0，a)到直線x+y=1的距離大于a，且半徑為a，a＞0,得＞a，解得a∈（0,-1）。因此，選A.答案：A7。已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x-y—1=0的距離是______________。思路解析：求出圓心的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解。由已知得圓心為P（2,0），由點(diǎn)到直線距離公式得d==。答案：8.過(guò)點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k=_______________.思路解析:根據(jù)題意可以判斷，定點(diǎn)（1,）在圓的內(nèi)部，欲使所得劣弧所對(duì)的圓周角最小，則直線l必與定點(diǎn)與圓心的連線垂直，再根據(jù)兩條直線垂直,斜率互為倒數(shù)求解.由題意可知定點(diǎn)A(1,）在圓（x—2)2+y2=4的內(nèi)部，圓心為O（2，0）,要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線l⊥OA,所以kl=。答案:我綜合我發(fā)展9.已知實(shí)數(shù)A、B、C滿足A2+B2=2C2≠0，求證:直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1交于不同的兩點(diǎn)P、Q,并求弦PQ的長(zhǎng)。思路分析：證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明Δ＞0，又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑。圖2—3—（3,4)—11證明:設(shè)圓心O(0，0）到直線Ax+By+C=0的距離為d，則d=，∴直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q。如圖所示，｜OM｜=d=，｜OP｜=1.∴｜PQ｜=2|MP｜=2·.故｜PQ|=。10。求以圓C1：x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程。思路分析:先將兩個(gè)圓的方程聯(lián)立組成方程組消去二次項(xiàng)得兩圓公共弦所在的直線的方程，然后再求出弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)和弦的一半的長(zhǎng)，可得所求圓的方程;也可以用待定系數(shù)法根據(jù)圓系方程進(jìn)行求解。解法比較簡(jiǎn)煉.解法一：聯(lián)立兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x+3y—2=0。再由聯(lián)立得兩圓點(diǎn)坐標(biāo)A（—1，2）,B（5,6）。∵所求圓以AB為直徑，∴圓心是AB的中心點(diǎn)M(2，—2）,圓的半徑為r=|AB｜=5。于是圓的方程為