2021年河南省南陽(yáng)市中原中考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

2021年河南省南陽(yáng)市中原名校中考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分.下面各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的）

1.（3分）下列實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的是（）

A.-B.cos45°C.幣D.—

37

2.（3分）下列幾何體所對(duì)應(yīng)的主視圖中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.圓錐B.正方體C.球D.圓柱

3.（3分）如圖所示，直線4斜截平行線則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.Z1=Z7B.Z2=Z6C.Z3+Z5=90°D.Z4+Z7=180°

4.（3分）下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（)

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸

D.過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓

5.（3分）已知關(guān)于x的方程=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A."0B.a,,0C.?>0D.全體實(shí)數(shù)

6.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（朝，-%）,連接。P,將線段OP繞點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。后，得到線段。。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

A.（-%，-玉））B.（-%，x（））C.（%,%）D.（-%,%）

7.（3分）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,0,1,3的不透明卡片（形狀與材質(zhì)相同），將

它們正面朝下洗均勻，隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字后放回（設(shè)數(shù)字為。），再次正面朝下洗均勻，

再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字（設(shè)數(shù)字為勿，則關(guān)于x的不等式組有解的概率是（）

[%,0

8.（3分）如圖所示，將正六邊形與正五邊形按此方式擺放，正六邊形與正五邊形的公共頂

點(diǎn)為。，且正六邊形的邊/W與正五邊形的邊。E共線，則NCOF的度數(shù)是（）

A.86°B.84°C.76°D.74°

9.（3分）如圖所示，雙曲線>=士上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接。A,以。為頂點(diǎn)、0A為直角邊,

x

構(gòu)造等腰直角三角形0A8,則AOAB面積的最小值為（）

10.（3分）已知二次函數(shù)丫=依2+8+°,其中。<0.若函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)均在

負(fù)半軸，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.abc<0B.b>0C.c<0D.b+c<0

二.填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書(shū)記莊嚴(yán)宣告，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，

現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下，9899萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)“9899萬(wàn)”：—.

12.（3分）如圖所示，為口。的直徑，過(guò)圓外一點(diǎn)C作口。的切線BC,連接AC交弧Afi

于點(diǎn)。，連接50.若AB=5,AD=2,貝lj8C=

A

D

13.（3分）方孔錢是我國(guó)古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”.如圖所示，是方孔錢的示

意圖，已知“外圓”的周長(zhǎng)為2萬(wàn)，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4,則圖中陰影部分的面積是.

14.（3分）如圖所示，在矩形中，AB=6,4）=4.點(diǎn)E是線段43的中點(diǎn)，點(diǎn)廠

是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接￡尸，把ZVLEF沿E尸折疊，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A.連接4'C,

則A（長(zhǎng)度的最小值是—.

15.（3分）給出定義：如果某函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且圖象過(guò)原點(diǎn)，那么我們稱該函

數(shù)為“完美函數(shù)”.已知函數(shù)丫=經(jīng)學(xué)是“完美函數(shù)”，且其圖象過(guò)點(diǎn)已，-）,則函數(shù)值y

1+x-25

的取值范圍是.（鏈接材料：a+b..2\[ab,其中a,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=/?時(shí)，等號(hào)成

立）

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟）

16.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（」—+--）?貯必空1,其中機(jī)=有.

機(jī)+1m-1m+\

17.（9分）我國(guó)堅(jiān)持保護(hù)環(huán)境的基本國(guó)策，努力推動(dòng)建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會(huì)，

大力推行垃圾分類.某市第一中學(xué)欲通過(guò)試題考核+實(shí)踐考核的方式，評(píng)選2位垃圾分類模

范學(xué)生，并進(jìn)行全校表彰.評(píng)選過(guò)程如下：①第一輪篩選：由各班（共計(jì)60個(gè)班）自行推

舉5位學(xué)生參加試題考核；②第二輪篩選：學(xué)校組織試題考核，學(xué)生成績(jī)分為A檔、8檔、

C檔、。檔，A檔學(xué)生可通過(guò)試題考核，參加第三輪篩選；③第三輪篩選：組織A檔學(xué)生

進(jìn)行實(shí)踐考核，由校領(lǐng)導(dǎo)進(jìn)行評(píng)分，成績(jī)排位前5的學(xué)生，可通過(guò)實(shí)踐考核；④將通過(guò)實(shí)踐

考核的學(xué)生的試題考核與實(shí)踐考核成績(jī)進(jìn)行賦權(quán)（試題考核占55%、實(shí)踐考核占45%）,得

到最終成績(jī)，按分?jǐn)?shù)排位，取前2位評(píng)為垃圾分類模范學(xué)生.

如表1,是校宣傳部統(tǒng)計(jì)的試題考核成績(jī)頻數(shù)分布表（不完整）.

如表2,是通過(guò)實(shí)踐考核的5位學(xué)生最終成績(jī)統(tǒng)計(jì)表.

表1試題考核成績(jī)頻數(shù)分布表

成績(jī)檔位頻數(shù)頻率

A檔（100分-90分）11

5檔（89分-75分）a0.50

C檔（74分-60分）bC

。檔（59分-0分）0.03

注：頻率均保留小數(shù)點(diǎn)后兩位

表25位學(xué)生最終成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

甲乙丙T戊

試題考核成績(jī)（分）9896959391

實(shí)踐考核成績(jī)（分）100911009899

最終成績(jī)（分）98.9097.2595.25

注：最終成績(jī)均保留小數(shù)點(diǎn)后兩位

（1）填空：a=；b-

（2）計(jì)算乙、戊兩位學(xué)生的最終成績(jī).

（3）已知通過(guò)實(shí)踐考核的學(xué)生中，共3個(gè)女生和2個(gè)男生，通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求

2位垃圾分類模范學(xué)生性別相同的概率.

18.（9分）如圖1所示，上海中心大廈是上海市的一座超高層地標(biāo)式摩天大樓，是我國(guó)最

高的建筑，建筑主體共計(jì)119層.某數(shù)學(xué)小組欲測(cè)量上海中心大廈的樓高，設(shè)計(jì)出如圖2

所示的測(cè)量方案.具體方案如下：小組成員在地面A處通過(guò)激光測(cè)距，測(cè)得仰角a=37。，

光路A3長(zhǎng)詈機(jī)’光路A3被寫(xiě)字樓BN樓頂?shù)囊幻娌ＡВㄒ暈辄c(diǎn)5）反射’反射的激光束

沿光路BC恰好可以到達(dá)上海中心大廈CM樓頂（視為點(diǎn)C）.已知寫(xiě)字樓與上海中心大廈

的直線距離MN為576m（寫(xiě)字樓與上海中心大廈位于同一平面），圖2中的虛線為法線.求

上海中心大廈的樓高CM（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

19.（9分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于點(diǎn)A,直線y=-；x+2

交x軸于點(diǎn)B,兩直線交于點(diǎn)C.

（1）求證：AA8c是直角三角形.

（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)0,使得以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（9分）某故宮文物修復(fù)專家欲根據(jù)某瓷盤殘片復(fù)原出瓷盤的原狀（已知瓷盤的原狀為

標(biāo)準(zhǔn)的圓），并補(bǔ)描上花紋.文物修復(fù)專家的復(fù)原方法如下：①在瓷盤殘片上作出兩條弦；

②分別作兩條弦的垂直平分線，交于點(diǎn)。：③點(diǎn)。即為瓷盤的圓心，以圓心到弧上任意一

點(diǎn)的長(zhǎng)為半徑作圓，即可作出瓷盤的原狀.如圖所示，是瓷盤殘片的示意圖.

（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)你根據(jù)文物修復(fù)專家的復(fù)原方法，作出瓷盤的原狀（要求：不寫(xiě)作法，

保留作圖痕跡）.

（2）請(qǐng)你對(duì)文物修復(fù)專家的復(fù)原方法（“弦的垂直平分線過(guò)圓心”）進(jìn)行證明（要求：寫(xiě)

出''已知”“求證”“證明”）.

21.(10分)某化工廠欲對(duì)工業(yè)廢料進(jìn)行低成本加工后循環(huán)利用，因此建設(shè)了廢料處理分廠

A,8進(jìn)行廢料處理，8分廠用于處理A分廠當(dāng)日處理不盡的工業(yè)廢料，已知A分廠的日

處理量為初噸，每日需固定成本30元，且每處理一噸廢料還需人工、物料費(fèi)用等共計(jì)8元；

8分廠的廢料處理價(jià)格為12元/噸.根據(jù)記錄，某日處理工業(yè)廢料35噸共花費(fèi)370元.

(1)求A分廠的日廢料處理量〃?的值.

(2)若欲使每日廢料處理的平均費(fèi)用不超過(guò)10元/噸，求A,8分廠日處理的工業(yè)廢料總

量”的取值范圍.

22.(10分)已知拋物線丫=-；/+2依-4.

(1)討論拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，必要時(shí)可閱讀【鏈接材料工

(2)若。=1,當(dāng)-2領(lǐng)k機(jī)時(shí)，該函數(shù)的最大值與最小值之差為4機(jī)，求實(shí)數(shù)的值.

鏈接材料?：對(duì)于解一元二次不等式，常采用數(shù)形結(jié)合的方式.

例：解不等式：x2+x-2>0.

解：不等式/+》-2>0的解集，

等價(jià)于不等式l)(x+2)>0的解集，

等價(jià)于函數(shù)y=(x-l)(x+2)的圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系(隱去y軸)中，畫(huà)出函數(shù)y=(x-l)(x+2)的大致圖象，由圖象可

知：函數(shù)y=(x-l)(x+2)的圖象在x軸上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是x<-2或x>l.

，不等式—+x-2>0的解集是x<-2或x>l.

23.(11分)瑞士數(shù)學(xué)家菜昂哈德?歐拉(Lea血7ME“/er)是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之

歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中提出“歐拉線定理”：任意三角形的外

心、重心、垂心依次位于同一條直線上，這條直線就叫該三角形的歐拉線.

【定理證明】

己知：如圖所示，在&4BC中，點(diǎn)G,O,H分別是AA8C的重心、外心、垂心.

求證：G,O,”三點(diǎn)共線.

證明：作&48C的外接圓，連接。8,并延長(zhǎng)8。交外接圓于點(diǎn)。；作中線AW；連接4),

CD,AH,CH,OH,OM；設(shè)4W交。，于點(diǎn)G'.

(1)請(qǐng)你按照輔助線的語(yǔ)言表述，補(bǔ)全圖，并繼續(xù)完成歐拉線定理的證明.

【基礎(chǔ)運(yùn)用】

(2)在【定理證明】的基礎(chǔ)上，判斷0H與。G的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【能力提升】

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，己知A48c的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),8(4,0),C(3,g),請(qǐng)直接寫(xiě)

出入4BC的歐拉線的函數(shù)解析式.

2021年河南省南陽(yáng)市中原名校中考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分.下面各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的）

1.（3分）下列實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的是（）

A.-B.cos45°C."D.—

37

【解答】解：工是無(wú)理數(shù)，COS45。：也是無(wú)理數(shù)，占是無(wú)理數(shù)，”是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù).

327

故選：D.

2.（3分）下列幾何體所對(duì)應(yīng)的主視圖中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.圓錐B.正方體C.球D.圓柱

【解答】解：A、主視圖為等腰三角形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

8、主視圖為正方形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、主視圖為圓，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、主視圖為矩形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

3.（3分）如圖所示，直線4斜截平行線心則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

Z2=Z6C.Z3+Z5=90°D.Z4+Z7=180°

【解答】解：I、

Z7=Z3,

Nl=N3,

Zl=Z7,故選項(xiàng)A不符合題意;

B、?.?/,///,,

Z2=Z6,故選項(xiàng)B不符合題意;

C、l2///3,

Z3=Z5,故選項(xiàng)。符合題意；

D、vl2///3,

/.N4=N8,

?.?N7+N8=180。，

Z4+Z7=180°,故選項(xiàng)。不符合題意.

故選：C.

4.（3分）下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸

D.過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓

【解答】解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、?.?半圓小于優(yōu)弧，

半圓是圓中最長(zhǎng)的弧說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；

C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；

。、過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

5.（3分）已知關(guān)于x的方程"之一X=（）有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a#0B.a,,0C.a>0D.全體實(shí)數(shù)

【解答】解：當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，

?.?原方程有實(shí)數(shù)根，

△=（—1）2—4<2x0=1>0,

〃w0；

當(dāng)。=0時(shí)，-x=0是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根，

故選：D.

6.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（%，-y0）,連接。P,將線段OP繞點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。后，得到線段。。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

A.（-%,-x0）B.x0）C.（%,x0）D.（-x0,y0）

【解答】解：如圖，不妨設(shè)/＞。，%＞。，過(guò)點(diǎn)尸作尸尸，入軸于尸，過(guò)點(diǎn)。作軸

于E.

.「PC%，為），

/.OF=x0,PF=y0,

???APFO=ZQEO=ZPOQ=90°,

ZPOF+Z.QOE=90°,ZPOE+ZP=90°,

/.4QOE=NP,

在\PFO和\EOQ中,

4P=NQOE

＜NPFO=NOEQ=90。,

OP=QO

\PFO=AEOQ（AAS）,

/.OE=PE=%,EQ=OF=x0,

Q（-y（），一天）），

故選：A.

7.（3分）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,0,1,3的不透明卡片（形狀與材質(zhì)相同），將

它們正面朝下洗均勻，隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字后放回（設(shè)數(shù)字為〃），再次正面朝下洗均勻，

再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字（設(shè)數(shù)字為b）,則關(guān)于X的不等式組廠有解的概率是（）

[%,o

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

-2013

/

-2013-2013-2013-2013

由樹(shù)狀圖知，共有16種等可能結(jié)果，其中使關(guān)于x的不等式組有解的有4種結(jié)果,

[%,0

所以關(guān)于x的不等式組廠＞C，b有解的概率為,，

U，04

故選：B.

8.（3分）如圖所示，將正六邊形與正五邊形按此方式擺放，正六邊形與正五邊形的公共頂

點(diǎn)為。，且正六邊形的邊43與正五邊形的邊DE共線，則NC。尸的度數(shù)是（）

A.86°B.84°C.76°D.74°

【解答】解：由題意：Z￡G>F=1O8°,ZBOC=120°,Z.OEB=72°,ZOBE=60°,

ZBOE=180°-72°-60°=48°,

ZCOF=360°-108°-48°-120°=84°,

故選：B.

7

9.（3分）如圖所示，雙曲線y=3上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接。A,以。為頂點(diǎn)、OA為直角邊,

x

構(gòu)造等腰直角三角形OAB,則AOAB面積的最小值為（）

【解答】解：?.?&4O8是等腰直角三角形，0A=。8,

S.=-OAOB=-OA2,

OAR22

???0A取最小值時(shí)，A0A8面積的值最小,

當(dāng)直線0A為y=x時(shí)，OA最小，

An'由X=^X=~\f2

解〈2得〈廠或〈L，

y=-[y=,2[y=_j2

此時(shí)A的坐標(biāo)為(a,V2),

/.0A=2,

..△QA8面積的最小值為2,

故選：C.

10.（3分）已知二次函數(shù)丫=0^+法+°,其中a<0.若函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)均在

負(fù)半軸，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.abc<0B.b>0C.c<0D.b+c<0

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)均在負(fù)半軸，

所以拋物線的對(duì)稱軸與X軸負(fù)半軸相交，

所以--^<0,c<0,

2a

因?yàn)椤?lt;0,

所以〃<0,

因?yàn)閏<0,

所以abc<0,b+c<0,

故選：B.

二.填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書(shū)記莊嚴(yán)宣告，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，

現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下，9899萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)“9899萬(wàn)”：

9.899xl07_.

【解答】解：9899萬(wàn)=98990000=9.899Xi?！?

故答案為：9.899xlO7.

12.（3分）如圖所示，為口。的直徑，過(guò)圓外一點(diǎn)。作口。的切線BC,連接AC交弧

于點(diǎn)。，連接30.若A3=5,AD=2,則3C=迪］.

—2—

【解答】解：?.?AB為口。的直徑，

NADB=90°,

?/BC為切線，

ABA.BC,

ZABC=90°,

???ZBAD=ZCAB,ZADB=/ABC,

即2=2,解得從。=生，

ACABAC52

在RtAABC中，BC=J（-）2-52=.

V22

故答案為也.

2

13.（3分）方孔錢是我國(guó)古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”.如圖所示，是方孔錢的示

意圖，已知‘'外圓”的周長(zhǎng)為2萬(wàn)，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4,則圖中陰影部分的面積是_兀-1_.

【解答】解：“外圓”的周長(zhǎng)為2萬(wàn)，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4,

“外圓”的的半徑為1,“內(nèi)方”的邊長(zhǎng)為1,

.?.圓的面積為方，中間正方形的面積為1,

???圖中陰影部分面積為：乃-1.

故答案為：n-\.

14.（3分）如圖所示，在矩形A8CO中，AB=6,4）=4.點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)

是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接所，把AAEF沿￡F折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A.連接A'C,

則A（長(zhǎng)度的最小值是2.

???AB=6,AD=4,E1是45的中點(diǎn)，

由折疊的性質(zhì)得，EA=E4=3,

的軌跡在以E為圓心，半徑為3的圓弧上運(yùn)動(dòng)，連接EC交圓弧于A”，此時(shí)E、A

“、C共線，4"C最短，

在RtAEBC中，BE=3,BC=4,

由勾股定理得CE=732+42=5,

.?.AuC=5-3=2,

即4c長(zhǎng)度的最小值是2,

故答案為：2.

15.（3分）給出定義：如果某函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且圖象過(guò)原點(diǎn)，那么我們稱該函

數(shù)為“完美函數(shù)已知函數(shù)丫=署2是“完美函數(shù)”，且其圖象過(guò)點(diǎn)（；，|）,則函數(shù)值y

的取值范圍是-.（鏈接材料：。+。..2疝，其中。，6>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，

~22~

等號(hào)成立）

【解答】解：???、=”￥過(guò)原點(diǎn),

l+x2

???代入（0,0）,得，6=0,

代入（g，-）,得，”1，

X

由題意可知,

當(dāng)工。0時(shí)，y=—二，令.=x+L

Jx

x+—

X

當(dāng)x>時(shí)，r..2^Ti=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

當(dāng)x<0時(shí)，-t=-x--..2,即％,2,

x

???X>0時(shí)，0<y=1,,g,

x<0時(shí)，」,,yv0,

2

,??函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，

???一別g,

故答案為：一,歿少-.

22

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟）

16.（8分）先化筒，再求值：（」—+-^一）.士生里，其中機(jī)=百.

m+inr-1m+\

【解答】解：原式=[———+——-——卜殳二日

（；7?+1）（m—1）（機(jī)一+m+1

（）2

=----m--+--\-----w-----1--

（m+l）（w—1）m+\

—,

/n+1

當(dāng)愣=G時(shí),

原式需

（石-I）2

（G-i）（￡+i）

4-273

3-1

=2-75.

17.（9分）我國(guó)堅(jiān)持保護(hù)環(huán)境的基本國(guó)策，努力推動(dòng)建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會(huì)，

大力推行垃圾分類.某市第一中學(xué)欲通過(guò)試題考核+實(shí)踐考核的方式，評(píng)選2位垃圾分類模

范學(xué)生，并進(jìn)行全校表彰.評(píng)選過(guò)程如下：①第一輪篩選：由各班（共計(jì)60個(gè)班）自行推

舉5位學(xué)生參加試題考核；②第二輪篩選：學(xué)校組織試題考核，學(xué)生成績(jī)分為A檔、8檔、

C檔、。檔，A檔學(xué)生可通過(guò)試題考核，參加第三輪篩選；③第三輪篩選：組織A檔學(xué)生

進(jìn)行實(shí)踐考核，由校領(lǐng)導(dǎo)進(jìn)行評(píng)分，成績(jī)排位前5的學(xué)生，可通過(guò)實(shí)踐考核；④將通過(guò)實(shí)踐

考核的學(xué)生的試題考核與實(shí)踐考核成績(jī)進(jìn)行賦權(quán)（試題考核占55%、實(shí)踐考核占45%）,得

到最終成績(jī)，按分?jǐn)?shù)排位，取前2位評(píng)為垃圾分類模范學(xué)生.

如表1,是校宣傳部統(tǒng)計(jì)的試題考核成績(jī)頻數(shù)分布表（不完整）.

如表2,是通過(guò)實(shí)踐考核的5位學(xué)生最終成績(jī)統(tǒng)計(jì)表.

表1試題考核成績(jī)頻數(shù)分布表

成績(jī)檔位頻數(shù)頻率

4檔（100分-90分）11

8檔（89分-75分）a0.50

C檔(74分-60分)bC

。檔（59分-0分）0.03

注：頻率均保留小數(shù)點(diǎn)后兩位

表25位學(xué)生最終成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

甲乙丙丁戊

試題考核成績(jī)（分）9896959391

實(shí)踐考核成績(jī)（分）100911009899

最終成績(jī)（分）98.9097.2595.25

注：最終成績(jī)均保留小數(shù)點(diǎn)后兩位

(1)填空：a=150；b=

（2）計(jì)算乙、戊兩位學(xué)生的最終成績(jī).

（3）已知通過(guò)實(shí)踐考核的學(xué)生中，共3個(gè)女生和2個(gè)男生，通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求

2位垃圾分類模范學(xué)生性別相同的概率.

【解答】解：（1）60x5=300,

a=300x0.5=150；

￡)檔人數(shù)為300x003=9,

.?./?=300-11-150-9=130,

130人.

c=-----x0.43；

300

故答案為150；130,0.43；

(2)乙學(xué)生的最終成績(jī)?yōu)?6x55%+91x45%=93.75,

戊學(xué)生的最終成績(jī)?yōu)?1x55%+99x45%=94.60；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有20種等可能的結(jié)果，其中2位垃圾分類模范學(xué)生性別相同的結(jié)果數(shù)為8,

所以2位垃圾分類模范學(xué)生性別相同的概率=3=2.

205

18.（9分）如圖1所示，上海中心大廈是上海市的一座超高層地標(biāo)式摩天大樓，是我國(guó)最

高的建筑，建筑主體共計(jì)119層.某數(shù)學(xué)小組欲測(cè)量上海中心大廈的樓高，設(shè)計(jì)出如圖2

所示的測(cè)量方案.具體方案如下：小組成員在地面A處通過(guò)激光測(cè)距，測(cè)得仰角a=37。，

光路Afi長(zhǎng)幽“，光路4?被寫(xiě)字樓BN樓頂?shù)囊幻娌ＡВㄒ暈辄c(diǎn)B）反射，反射的激光束

3

沿光路BC恰好可以到達(dá)上海中心大廈CM樓頂（視為點(diǎn)C）.已知寫(xiě)字樓與上海中心大廈

的直線距離MN為576"?（寫(xiě)字樓與上海中心大廈位于同一平面），圖2中的虛線為法線.求

上海中心大廈的樓高CM（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°?0.75).

圖1

【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)。，此時(shí)法線與垂線8。共線,

BNLMN,

NBDM=Z.CMN=NBNM=90°,

四邊形BDMN是矩形,

BN=DM,BD=MN=576m,BD//MN,

NABO=a=37°,

由物理知識(shí)得：NCBD=NABD=37°,

在RtAANB中，sina=—,

AB

1000

/.BN=AB?sin。b—^―x0.60=200(/%),

rr)

在RtABDC中，tanZCBD=—,

BD

CD=BD-tanNCBD?576x0.75=432(〃?)，

CM=DM+CD=432+200=632(w),

答：上海中心大廈的樓高CM是632〃7.

19.(9分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于點(diǎn)A,直線y=-gx+2

交x軸于點(diǎn)8,兩直線交于點(diǎn)C.

(1)求證：A48c是直角三角形.

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使得以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)力的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

/AOx

【解答】(1)證明：?.?直線y=2x+4交x軸于點(diǎn)A,

.二當(dāng)y=0時(shí)，x=-2,

??.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

??,直線y=-gx+2交x軸于點(diǎn)B,

.?.當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,0),

4

y=2x+4x=——

由1I，得I5.

Iy=——2x+2尸了12

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,y),

AC=^[-2-(-^)]2+(0-y)2=竽，

BC=J(T-4)2+(￡-0)2=￥，

A5=4-(-2)=4+2=6,

...AC?+BC2=(--)2+(竽)2=62=AB2,

MBC是直角三角形；

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)。，使得以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

上C巫土-4,/3412、，1412、T,2612、

點(diǎn)D?的坐標(biāo)為(——,丁-),(V,——)或(;-,，

如右圖所示，

當(dāng)C￡)"/AB時(shí)，

417

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,y),

AB=CD、=6,

的坐標(biāo)為(-弓，y)；

當(dāng)AC//O3,時(shí),

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為>=履+匕，

-2k+Z?=0

<4]2，得[-，

——k+b=——\b=4

55

即直線AC的函數(shù)解析式為y=2x+4,

設(shè)直線BD2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2x+c,

?.?點(diǎn)B(4,0)在該直線上，

0=2x4+c,得c=-8,

直線BD2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2尤-8,

?.?點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為-裝，

--=2.x—8,

5

解得》=好,

5

.?.2的坐標(biāo)為(分，-y)；

當(dāng)CQ//A8時(shí)，

,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,y),

AB=CD,=6,

??.4的坐標(biāo)為(日，y)：

由上可得，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-弓，y),(y,-y)sK(y.y).

20.(9分)某故宮文物修復(fù)專家欲根據(jù)某瓷盤殘片復(fù)原出瓷盤的原狀(已知瓷盤的原狀為

標(biāo)準(zhǔn)的圓)，并補(bǔ)描上花紋.文物修復(fù)專家的復(fù)原方法如下：①在瓷盤殘片上作出兩條弦；

②分別作兩條弦的垂直平分線，交于點(diǎn)。；③點(diǎn)。即為瓷盤的圓心，以圓心到弧上任意一

點(diǎn)的長(zhǎng)為半徑作圓，即可作出瓷盤的原狀.如圖所示，是瓷盤殘片的示意圖.

（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)你根據(jù)文物修復(fù)專家的復(fù)原方法，作出瓷盤的原狀（要求：不寫(xiě)作法，

保留作圖痕跡）.

（2）請(qǐng)你對(duì)文物修復(fù)專家的復(fù)原方法（“弦的垂直平分線過(guò)圓心”）進(jìn)行證明（要求：寫(xiě)

出“已知”“求證”“證明"）.

【解答】解：（1）如圖，口。即為所求作.

（2）已知：如圖，在口。中，直線/是弦A3的垂直平分線.

求證：直線/經(jīng)過(guò)圓心。.

證明：-/OA=OB,

.?.點(diǎn)0在線段AB的垂直平分線上，

V直線/是線段AB的垂直平分線，

.?.點(diǎn)。在直線/上.

21.（10分）某化工廠欲對(duì)工業(yè)廢料進(jìn)行低成本加工后循環(huán)利用，因此建設(shè)了廢料處理分廠

A,8進(jìn)行廢料處理，B分廠用于處理A分廠當(dāng)日處理不盡的工業(yè)廢料，已知A分廠的日

處理量為加噸，每日需固定成本30元，且每處理一噸廢料還需人工、物料費(fèi)用等共計(jì)8元；

3分廠的廢料處理價(jià)格為12元/噸.根據(jù)記錄，某日處理工業(yè)廢料35噸共花費(fèi)370元.

(1)求A分廠的日廢料處理量機(jī)的值.

(2)若欲使每日廢料處理的平均費(fèi)用不超過(guò)10元/噸，求A,B分廠日處理的工業(yè)廢料總

量n的取值范圍.

【解答】解：(1)35x8+30=310(元)，310<370,

in<35,

由題意得30+所+12(35-，")=370,

解得m=20；

(2)①當(dāng)0<%,20時(shí)，依題意得8〃+30,,10〃，

解得〃..15,

,15釉20；

②當(dāng)”>20時(shí)，依題意，得：12(/7-20)+8x20+30,,10n,

解得％25,

20<%,25；

綜上，A,8分廠日處理的工業(yè)廢料總量〃的取值范圍是15冽？25.

22.(10分)已知拋物線y=+2ax-4.

(1)討論拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，必要時(shí)可閱讀【鏈接材料工

(2)若。=1,當(dāng)-2效k機(jī)時(shí)，該函數(shù)的最大值與最小值之差為4w，求實(shí)數(shù)〃?的值.

鏈接材料?：對(duì)于解一元二次不等式，常采用數(shù)形結(jié)合的方式.

例：解不等式：X2+X-2>0.

解：不等式f+x-2>0的解集，

等價(jià)于不等式(x-l)(x+2)>0的解集，

等價(jià)于函數(shù)y=(x-l)(x+2)的圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系(隱去y軸)中，畫(huà)出函數(shù)y=(x-l)(x+2)的大致圖象，由圖象可

知：函數(shù)y=(x-l)(x+2)的圖象在x軸上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是x<-2或x>l.

?.不等式f+工一2>0的解集是x<-2或1.

【解答】解：(1)△=(2a)2-4x(-1)x(-4)=4a2-8,

①當(dāng)拋物線和X軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則△<(),

即4a2_8<0,解得-應(yīng)<“<應(yīng)；

②當(dāng)拋物線和x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則△=(),

即4a~-8=0,