山西省太原市高三3月模擬考試（一）數(shù)學(xué)理試題

太原市2018年高三模擬試題（一）數(shù)學(xué)試卷（理工類）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,所以，選A.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，選A.3.已知命題；命題若，則，則下列為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以命題為真；命題為假，所以為真，選B.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.B.C.3D.2【答案】D【解析】，所以，選D.5.已知等比數(shù)列中，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)椋砸虼诉xB.6.函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】令,因?yàn)?故排除選項(xiàng)A、B,因?yàn)?故排除選項(xiàng)D;故選C......................7.已知不等式在平面區(qū)域上恒成立，若的最大值和最小值分別為和，則的值為（）A.4B.2C.4D.2【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此選C.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由拋物線定義得,在三角形AFB中，所以，選D.9.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】幾何體如圖，體積為選A.點(diǎn)睛：(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析．10.已知函數(shù)，若，在上具有單調(diào)性，那么的取值共有（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)【答案】D【解析】因?yàn)椋砸虼?，因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以因此，即的取值共有9個(gè)，選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間11.三棱錐中，底面為正三角形，若，則三棱錐與三棱錐的公共部分構(gòu)成的幾何體的外接球的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)，則三棱錐與三棱錐的公共部分為三棱錐,設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則,體積為，選B.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12.設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以因此在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由得，所以令，則，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，要使方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需，選C.點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.二、填空題：本大題共4道，每小題5分，共20分．13.在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)__________．【答案】120【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式可知，的系數(shù)應(yīng)為.14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率___________．【答案】【解析】如圖所示漸近線OM的方程為右焦點(diǎn)為，因此，過(guò)點(diǎn)向ON作垂線，垂足為P，則.又因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以，故在三角形OMN中，，所以,所以，即所以雙曲線的離心率為.15.某人在微信群中發(fā)了一個(gè)7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是___________．【答案】【解析】由題意得共有這15種，其中甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的事件有這6種，所以概率為點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.16.數(shù)列中，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第__________項(xiàng)．【答案】6【解析】因?yàn)椋愿鶕?jù)疊加法得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為第6項(xiàng).三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角為的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的最大值；（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的周長(zhǎng)；【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)先根據(jù)正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，在根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，解得B,代入化簡(jiǎn)得，根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，最后根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最大值取法，(2)先根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求最大值，此時(shí)的面積取最大，根據(jù)最大值等號(hào)取法確定值，即得三角形周長(zhǎng).試題解析：（1）由得：，，即，，；由，令，原式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式的最大值為．（2），即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；，周長(zhǎng)．點(diǎn)睛：三角形中最值問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問(wèn)題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.18.某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購(gòu)水機(jī)處每購(gòu)買一瓶礦泉水，便自覺(jué)向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核2150名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金．（1）若與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收入為多少元？（2）甲乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和的分布列及數(shù)學(xué)期望；附：回歸方程，其中．【答案】（1）206；（2）.【解析】試題分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求線性回歸方程自變量為9的函數(shù)值，(2)先確定隨機(jī)變量取法，在利用概率乘法求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1），經(jīng)計(jì)算，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為206元；（2）的可能取值為0，300，500，600，800，1000；；；；；；；03005006008001000所以的數(shù)學(xué)期望．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，．（1）求證：；（2）若分別為的中點(diǎn)，平面，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用線面垂直的判定定理，先證出平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理得，在中再證明；第二問(wèn)，先證明兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再求直線與平面所成角的正弦值，最后確定角.試題解析：（1）連接，，，交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以且為的中點(diǎn).又所以平面，由于平面,故.又,故.解法1：設(shè)的中點(diǎn)為,連接,∥=,所以為平行四邊形，∥，因?yàn)槠矫?，所以平面，所?的中點(diǎn)為,所以.由平面，又可得，又，又所以平面所以,又,所以平面（注意：沒(méi)有證明出平面，直接運(yùn)用這一結(jié)論的，后續(xù)過(guò)程不給分）由題意,兩兩垂直，,以為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向?yàn)檩S軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角為.解法2：設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則∥=,所以為平行四邊形，∥，因?yàn)槠矫?，所以平面，所?的中點(diǎn)為,所以.同理，又，又所以平面所以,又,所以平面連接、，設(shè)交點(diǎn)為，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則在三角形中，∥，所以平面，又在三角形中，∥，所以即為直線與平面所成的角.又,,所以在直角三角形中,,所以,直線與平面所成的角為.考點(diǎn)：本題主要考查：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解.20.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程．【答案】（1）；（2）定直線.【解析】試題分析：(1)將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組可得(2)先根據(jù)特殊位置計(jì)算交點(diǎn)在定直線上，再設(shè)，解方程組可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得定值1.試題解析：（1），∴，由題目已知條件知，∴，所以；（2）由橢圓對(duì)稱性知在上，假設(shè)直線過(guò)橢圓上頂點(diǎn)，則，∴，，∴，所以在定直線上．當(dāng)不在橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，得，所以，，當(dāng)時(shí)，得，所以顯然成立，所以在定直線上．點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).21.．（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；（2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)切點(diǎn)既在切線上也在曲線上，聯(lián)立方程組可得．再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)唯一性，即得證結(jié)論，(2)先化簡(jiǎn)不等式為，再分析函數(shù)單調(diào)性及其值域，結(jié)合圖形確定討論a的取法，根據(jù)整數(shù)解個(gè)數(shù)確定a滿足條件，解得的范圍．試題解析：（1）設(shè)切點(diǎn)為，則①，和相切，則②，所以，即．令，所以單增．又因?yàn)?，所以，存在唯一?shí)數(shù)，使得，且．所以只存在唯一實(shí)數(shù)，使①②成立，即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切．（2）令，即，所以，令，則，由（1）可知，在上單減，在單增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐笳麛?shù)解，所以在時(shí)，，所以有無(wú)窮多整數(shù)解，舍去；當(dāng)時(shí)，，又，所以兩個(gè)整數(shù)解為0，1，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趦?nèi)大于或等于1，所以無(wú)整數(shù)解，舍去，綜上，．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過(guò)點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）,；（2）或.【解析】試題分析：(1)先根據(jù)加減消元法得曲線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，由得，再利用韋達(dá)定理列方程解得實(shí)數(shù)的值．試題解析：解：（1）的參數(shù)方程，消參得普通方程為，的極坐標(biāo)方程為兩邊同乘得即；（2）將曲線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)化為（為參數(shù)，）代入曲線得，由，