2025屆內蒙古呼和浩特市開來中學高二上數(shù)學期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆內蒙古呼和浩特市開來中學高二上數(shù)學期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，2．在矩形中，，在該矩形內任取一點M，則事件“”發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1084．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.5．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.7．復數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.8．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.10．已知集合，,則（）A. B.C. D.11．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.12．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓，為其右焦點，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，則橢圓的方程為________.14．數(shù)學家歐拉年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.15．已知P為拋物線上的一個動點，設P到拋物線準線的距離為d，點，那么的最小值為______16．設實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和18．（12分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側)，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設，等腰梯的面積為.（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.19．（12分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.20．（12分）在三角形ABC中，三個頂點的坐標分別為，，，且D為AC的中點.（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產生的相交弦的長度.21．（12分）區(qū)塊鏈技術被認為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術區(qū)塊鏈作為構造信任的機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關數(shù)據(jù)，如表年份20152016201720182019編號x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中）.附：樣本的最小二乘法估計公式為，（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結果即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結果，求y關于x的回歸方程；（3）為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側棱的中點，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.2、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選：D3、C【解析】根據(jù)給定條件利用排列并結合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C4、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式得到，進而得到，利用裂項相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D5、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.6、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A7、D【解析】直接根據(jù).復數(shù)的乘法運算結合復數(shù)虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復數(shù)的虛部為.故選：D.8、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B9、D【解析】由導數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.10、A【解析】由已知得，因為，所以，故選A11、D【解析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得結果.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D12、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關于的等式，求出的值，進而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.14、【解析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式15、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得結果【詳解】拋物線的焦點，準線為，如圖，過作垂直準線于點，則，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：516、2【解析】畫出不等式組對應的可行域，平移動直線后可得目標函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：將初始直線平移至點時，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由等差數(shù)列以及等比中項的公式代入聯(lián)立求解出，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求得答案；（2）利用分組求和法，根據(jù)求和公式分別求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和再相加即可.【詳解】（1）由題意，，，即，聯(lián)立解得，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）得，，所以【點睛】關于數(shù)列前項和的求和方法：分組求和法：兩個數(shù)列等差或者等比數(shù)列相加時利用分組求和法計算；裂項相加法：數(shù)列的通項公式為分式時可考慮裂項相消法求和；錯位相減法：等差乘以等比數(shù)列的情況利用錯位相減法求和.18、（1）；（2）當時取到最大值，【解析】（1）設點，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調性，進而得的最值，進而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設點，由是曲線上的動點得：，由于橢圓與軸交點為，故，所以即：（2）結合（1），對兩邊平方得：，令，則，所以當時，，當時，，所以在區(qū)間單調遞增，在上單調遞減，所以在處取到最大值，，所以當時，取到最大值，.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究實際問題，考查數(shù)學應用能力與計算能力，是中檔題.19、（1）1（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，運用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉化為正弦值即可.小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點，即可求解；（2）根據(jù)題意，結合點到直線的距離，以及弦長公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點，半徑為BC長度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問2詳解】因為D為AC的中點，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長度為.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷y關于x的回歸方程為非線性方程；（2）令，將y關于x的非線性關系，轉化為z關于x的線性關系，利用最小二乘法求解；（3）利用相互獨立事件的概率相乘求求解；【小問1詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量.【小問2詳解】，，令，則，，由公式計算可知，即，即所以y關于x的回歸方程為【小問3詳解】設甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件.則所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的