2024屆廣東省湛江市高三一模數(shù)學(xué)解析

第第頁(yè)湛江市2024年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，為偶函數(shù)，，則，解得：.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義可得.【詳解】由可得，則.故選：A3.已知向量，均為單位向量，，若向量與向量的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的夾角和模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，均為單位向量，，所以，，因?yàn)?，所以，，所?故選：D.4.中國(guó)是瓷器的故鄉(xiāng)，中國(guó)瓷器的發(fā)明是中華民族對(duì)世界文明的偉大貢獻(xiàn)．下圖是明清時(shí)期的一件圓臺(tái)形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm，下底直徑為18cm，高為24cm，則其容積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)上下底面直徑分別計(jì)算出上、下底面面積，代入公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】依題意可得該圓臺(tái)形大花盆的上底面面積為，下底面面積為，又高為，代入圓臺(tái)體積公式可得.故選：C5.已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，，…，，，則（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到函數(shù)的規(guī)律即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以；；；；……，由此?guī)律可得：.所以.故選：B.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由的范圍可求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，采用整體代換的方式即可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，解得：，又，，解得：，又，，，即的取值范圍為.故選：D.7.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式，將等式左邊轉(zhuǎn)化為因式表示，求解即可.【詳解】因?yàn)?，得：（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），即得：，則，得：，所以的最小值為，故選：A.8.在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng)．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）A.事件M與事件N相互獨(dú)立 B.事件X與事件Y相互獨(dú)立C.事件M與事件Y相互獨(dú)立 D.事件N與事件Y相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥、相互獨(dú)立事件的乘法公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.詳解】依題意甲、乙兩人所選選項(xiàng)有如下情形：①有一個(gè)選項(xiàng)相同，②兩個(gè)選項(xiàng)相同，③兩個(gè)選項(xiàng)不相同，所以，，，，因?yàn)槭录c事件互斥，所以，又，所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，則事件M與事件Y相互獨(dú)立，故C正確；因?yàn)槭录﨨與事件Y互斥，所以，又，所以事件N與事件Y不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于先求出，，，，再根據(jù)互斥、相互獨(dú)立事件的乘法公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：性別是否患過某流行疾病合計(jì)患過該疾病未患過該疾病男b女c合計(jì)80110下列說法正確的有（）參考公式：，其中．附表：010.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A.B.C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)D.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)【答案】ABC【解析】【分析】利用表格中提供數(shù)據(jù)可判斷A正確，代入計(jì)算可判斷B正確，結(jié)合附表參考數(shù)據(jù)可得C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得；對(duì)于A，代入計(jì)算可得，正確；對(duì)于B，經(jīng)計(jì)算可得，可得B正確；對(duì)于CD，結(jié)合附表數(shù)值以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際意義，可認(rèn)為根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)，即C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)F，則C.若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D.若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切【答案】ABC【解析】【分析】聯(lián)立直線l與拋物線消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判斷A；利用韋達(dá)定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷B；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則解出，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷C；由，可得無解可判斷D.【詳解】設(shè)，直線的方程為，，的中點(diǎn)為，由消去并整理得：，得，由題意，，所以，即，所以，則，故A正確；以線段為直徑的圓過點(diǎn)，所以，所以，又，所以，，解得滿足題意.由，得，所以B正確；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則，又，所以，解得：，所以，故C正確；若以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，又，所以無解，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A.三棱柱存在內(nèi)切球B.直線被三棱柱的外接球截得的線段長(zhǎng)為C.點(diǎn)在棱上的位置唯一確定D.四面體的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三棱柱若存在內(nèi)切球，則球心必為中截面的內(nèi)切圓圓心可確定A正確；根據(jù)球的性質(zhì)可知直線被外接球截得的線段長(zhǎng)為矩形的外接圓直徑，由此可得B正確；利用垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可求得C錯(cuò)誤；設(shè)，四面體的外接球半徑為，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知D正確.【詳解】對(duì)于A，取棱中點(diǎn)，連接，若三棱柱存在內(nèi)切球，則三棱柱內(nèi)切球球心即為的內(nèi)切圓圓心，的內(nèi)切圓半徑即為的內(nèi)切圓半徑，又，，，，的內(nèi)切圓半徑，即的內(nèi)切圓半徑為，又平面、平面到平面的距離均為，三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球半徑為，A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，為的外接圓圓心，又，平面，為三棱柱的外接球的球心；平面，平面，，又，，平面，平面，，平面，為四邊形的外接圓圓心，四邊形為矩形，直線被三棱柱截得的線段長(zhǎng)即為矩形的外接圓直徑，，直線被三棱柱截得的線段長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，在平面中作出矩形，設(shè)，則，，，，又，，即，解得：或，為棱的三等分點(diǎn)，不是唯一確定的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，，為的外接圓圓心，且，則四面體的外接球球心在過且垂直于平面的直線上，平面，平面，設(shè)，四面體的外接球半徑為，，解得：，，四面體的外接球表面積為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體的外接球、內(nèi)切球相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何體外接球和內(nèi)切球的定義及性質(zhì)，確定球心所在的位置，從而利用長(zhǎng)度關(guān)系來構(gòu)造方程求得半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，，則______．【答案】【解析】【分析】解不等式可分別求得集合，根據(jù)并集和補(bǔ)集定義可得到結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，，.故答案為：.13.已知點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)意義可設(shè)，求出直線的方程為，且恒過定點(diǎn)，所以點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為.【詳解】設(shè)，則滿足；易知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，如下圖所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的兩組解，可得直線的方程為，聯(lián)立，即；令，可得，即時(shí)等式與無關(guān)，所以直線恒過定點(diǎn)，可得；又在圓內(nèi)，當(dāng)，且點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大；最大值為；故答案為：14.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得出，設(shè)，則，，橢圓的定義可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出橢圓C的離心率.【詳解】由，得為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓外，所以，則，又，所以為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，又，所以，由橢圓定義可知：，得，如圖，延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）答案見解析.（2）.【解析】【分析】先利用勾股定理證明線線垂直，再利用線面垂直判定定理得出線面垂直，最后得到面面垂直，在此基礎(chǔ)上建立空間直角坐標(biāo)系，得出兩個(gè)平面的法向量后求解.【小問1詳解】由題意得，又，所以，，所以，，因?yàn)榈酌鏋榱庑危瑒t，故，平面，平面，，所以平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知平面，而平面，所以，故底面為正方形.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，在平面內(nèi)作，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，故平?如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基地，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以,故，，.設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取.設(shè)為平面的法向量,則有，即，可取則，所以平面與平面夾角的余弦值.17.甲進(jìn)行摸球跳格游戲．圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第1格．盒中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球（5個(gè)球除顏色外其他都相同）．每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時(shí)，游戲結(jié)束．記棋子跳到第n格的概率為．（1）甲在一次摸球中摸出紅球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和期望；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列．【答案】（1）分布列見解析；期望；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）寫出X的所有可能取值并求出對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列，計(jì)算求出期望值；（2）依題意根據(jù)跳格規(guī)則可得，即可得出證明；【小問1詳解】根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0，1，2；則，，；可得X的分布列如下：012期望值為.【小問2詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，棋子跳到第格有兩種可能：第一種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色不同；第二種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色相同；又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為，摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為；因此可得；所以，因此可得，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，（2）見解析【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)可得，又，再由在上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【小問1詳解】由題意可得，所以，的定義域?yàn)?，又，由，得，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，【小問2詳解】由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解此問的關(guān)鍵在于求出的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)