第10節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

第10節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識要夯實1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有f′(x)＝0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.2.常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(1)在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．核心素養(yǎng)要做實eq\a\vs4\al(考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性)【例1】已知函數(shù)f(x)＝lnx＋－(a∈R且a≠0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【方法技巧】討論函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f′(x)的正負(fù)，由符號確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性．[提醒]研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．【跟蹤訓(xùn)練】1．函數(shù)f(x)＝ex－在定義域內(nèi)為________函數(shù)(填“增”或“減”)．2．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2(a∈R且a≠0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．eq\a\vs4\al(考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)【例2】(2022·湘東五校聯(lián)考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．當(dāng)x>1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．【提醒】若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．【跟蹤訓(xùn)練】1．若冪函數(shù)f(x)的圖象過點，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，0) B．(－∞，－2)C．(－2，－1) D．(－2,0)2．已知函數(shù)f(x)＝－lnx－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．eq\a\vs4\al(考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用)【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(1)求b，c的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1.eq\a\vs4\al([變條件])本例(2)變?yōu)椋喝鬵(x)在(－2，－1)內(nèi)為減函數(shù)，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．2.eq\a\vs4\al([變條件])本例(2)變?yōu)椋喝鬵(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，－1)，其他條件不變，求實數(shù)a的值．3.eq\a\vs4\al([變條件])本例(2)變?yōu)椋喝鬵(x)在(－2，－1)內(nèi)不單調(diào)，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．[解題技法]由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)由可導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，要注意“＝”是否取到．(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．達(dá)標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)在點處的切線方程為，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B． C．D．4．已知函數(shù)，記，，，則（

）A． B．C． D．5．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在內(nèi)是增函數(shù) B．在內(nèi)是增函數(shù)C．在時取得極大值 D．在時取得極小值6．若函數(shù)的所有零點之和為0，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則此函數(shù)可能是(

)A． B．C． D．8．函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C．(1，4) D．(0，3)10．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．11．定義在上的函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．12．函數(shù)的遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．二、填空題13．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為___________.14．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，滿足，且，則不等式的解集是________．15．若過定點恰好可作曲線的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是__________．16．函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等于___.三、解答題17．已知函數(shù).（1）討論的極值情況；（2）若時，，求證：.18．已知函數(shù)，．（1）證明：若，則函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）證明：若，，則函數(shù)在處取得極小值．19．已知函數(shù)f(x)＝x+alnx+1．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值為－a+1，求實數(shù)a