專題272相似（全章分層練習）（基礎練）-2023-2024學年九年級數學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題27.2相似（全章分層練習）（基礎練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021·全國·九年級專題練習）已知．那么下列各式正確的是（）A． B． C． D．2．（2021上·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，已知在中，點，，分別是邊，，上的點，，，且：：，那么：等于（

）A．5：3 B．3：8 C．3：5 D．2：53．（2021上·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學校考期中）如圖，，與相交于點O，若，，則的長為（）A．9 B．8 C．6 D．44．（2023下·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）如圖，是的中位線，點F在線段上，，連接交于點E，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．5．（2021上·九年級課時練習）如圖，把一個矩形分割成三個全等的小矩形，要使小矩形與原矩形相似，則原矩形的長與寬之比為（

）A．2：1 B．3：1 C． D．6．（2023上·山西晉城·九年級統(tǒng)考期中）若兩個相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：17．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考開學考試）如圖，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，圖中與相似的三角形為（

）A． B． C． D．8．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學?？级＃┤鐖D，矩形的頂點A，B分別在x軸、y軸上，，，，將矩形繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點D的坐標為（

）A． B． C． D．9．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，已知、，與相交于點，作于點，點是的中點，于點，交于點，若，，則值為（

）

A． B． C． D．10．（2023下·黑龍江大慶·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，，把沿斜邊折疊，得到，過點作交的延長線于點，過點作，分別交，于點，，若，，則（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2021·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？级＃┮阎€段，線段c是線段a，b的比例中項，則．12．（2023上·廣東佛山·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點、分別在邊、上，平分，，如果，，那么．13．（2017·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖所示，在直角三角形中有三個連續(xù)排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的邊長分別為9和6，則正方形丙的邊長等于．14．（2022上·廣西梧州·九年級校考期中）如圖，將紙片按如圖所示的方式折疊，使點落在邊上，記為點，折痕為，已知，，，若以，，為頂點的三角形與相似，那么的長度是．15．（2019上·九年級?？紗卧獪y試）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線．在四邊形ABCD中，對角線是它的相似對角線，，平分，那么度．16．（2022上·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系中，點E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原點O為位似中心，把EFO縮小為，且與EFO的相似比為1：2，則點E的對應點的坐標為．17．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D，將沿方向平移得到，與重疊部分（圖中陰影部分）的面積是面積的一半，已知，則的長為．18．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，，將繞點逆時針方向旋轉90°，得到，連接，交于點，則的長為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，點D，E在上，點G在上，連接，．求證：20．（8分）（2019·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點H在邊BC上，且AH＝HC，交AC于點G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．（1）求證：AH⊥BC；（2）求AG的長．21．（10分）（2022上·陜西西安·九年級校考期中）周末，小凱和同學帶著皮尺，去測量楊大爺家露臺遮陽篷的寬度．如圖，由于無法直接測量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直線EF，通過在直線EF上選點觀測，發(fā)現當他位于N點時，他的視線從M點通過露臺D點正好落在遮陽篷A點處；當他位于N′點時，視線從M′點通過D點正好落在遮陽篷B點處，這樣觀測到的兩個點A、B間的距離即為遮陽篷的寬．已知ABCDEF，點C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露臺的寬CD＝GE．測得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．請你根據以上信息，求出遮陽篷的寬AB是多少米？（結果精確到0.01米）22．（10分）（2023·遼寧大連·校聯考二模）如圖1，中，點C是邊上一點，，點D是上一點，連接，，滿足，若．

（1）求證：；（2）探究與的數量關系，并證明：（3）如圖2，延長交于點F，求的值．23．（10分）（2023·山東青島·?？家荒＃緮祵W經驗】三角形的中線的性質：三角形的中線等分三角形的面積．【經驗發(fā)展】面積比和線段比的聯系：（1）如圖1，M為△ABC的AB上一點，且BM=2AM．若△ABC的面積為a，若△CBM的面積為S，則S=_______（用含a的代數式表示）．【結論應用】（2）如圖2，已知△CDE的面積為1，，，求△ABC的面積．【遷移應用】（3）如圖3．在△ABC中，M是AB的三等分點（），N是BC的中點，若△ABC的面積是1，請直接寫出四邊形BMDN的面積為________．24．（12分）（2022上·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線過點，與軸相交于點，與直線相交于點，點的橫坐標為，點為軸上一動點，橫坐標為．（1）求直線的表達式；（2）過作軸的平行線，分別交直線，直線于點，連接，①當時，求的長；②當時，請直接寫出的值；（3）若點在線段上，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．參考答案：1．B【分析】根據比例的性質即可得出答案．解：A、由比例的性質，得與不一致，故此選項不符合題意；B、由比例的性質，得與一致，故此選項符合題意；C、由比例的性質，得與不一致，故此選項不符合題意；D、由比例的性質，得與不一致，故此選項不符合題意．故選：B．【點撥】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．2．C【分析】證明四邊形為平行四邊形得出，再根據平行線分線段成比例定理求解即可．解：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，：：，∴：：：，∵，∴：：：，∴：：，故選：C．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解答的關鍵．3．A【分析】證明，根據相似三角形的性質即可求解．解：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，證明是解題的關鍵．4．C【分析】A．根據中位線性質得出，根據平行線分線段成比例定理，即可判斷A正確；B．根據中位線的性質得出，，根據，得出，即可判斷B正確；C．根據，，即可判斷C錯誤；D．根據，，即可判斷D正確．解：A．∵是的中位線，∴，，，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴點E為的中點，∴，，∵，∴，∴，故B正確，不符合題意；C．∵M為的中點，∴，∵，∴，故C錯誤，符合題意；D．∵，，∴，故D正確，不符合題意．故選：C．【點撥】本題主要考查了中位線的性質，平行線分線段成比例，解題的關鍵是熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．5．D【分析】設原矩形ABCD的長為，寬為，根據相似多邊形對應邊的比相等，即可求得．解：設原矩形ABCD的長為，寬為，∴小矩形的長為，寬為，∵小矩形與原矩形相似，∴∴；故選：D．【點撥】本題主要考查了相似多邊形的對應邊的比相等，注意分清對應邊是解決本題的關鍵．6．B【分析】根據相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比進行求解即可．解：∵兩個相似多邊形的面積之比為1：4，∴這兩個相似多邊形的相似之比為1：2，∴這兩個相似多邊形的周長之比為1：2，故選B．【點撥】本題主要考查了相似多邊形的性質，熟知相似多邊形面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比是解題的關鍵．7．A【分析】設正方形ABGH的邊長為1，先運用勾股定理分別求出FD、DG的長，將其三邊按照從大到小的順序求出比值，再分別求出四個選項中每一個三角形三邊的比值，根據三組對應邊的比相等的兩個三角形相似求解即可．解：設正方形ABGH的邊長為1，∴DF=，DG=，∴GF：DF：DG=1：：，A、DF=，DH=，HF=2，DF：HF：DH=GF：DF：DG，則△DFG∽△HFD，符合題意；B、HG=1，DG=，DH=，HG：DG：DH≠GF：DF：DG，則△DFG和△DGH不相似，不符合題意；C、△DEG是直角三角形，△DFG是鈍角三角形，故不相似，不符合題意；D、△DEH是直角三角形，△DFG是鈍角三角形，故不相似，不符合題意；故選A．【點撥】本題考查了相似三角形的判定，判定兩個三角形相似的一般方法有：（1）平行線法；（2）三邊法；（3）兩邊及其夾角法；（4）兩角法；本題還可以利用方法（3）進行判定．8．C【分析】過點作軸于點．首先證明，利用相似三角形的性質求出點的坐標，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．解：如圖，過點作軸于點．，，，，，，，，，，，，，，，矩形繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第1次旋轉結束時，點的坐標為；則第2次旋轉結束時，點的坐標為；則第3次旋轉結束時，點的坐標為；

則第4次旋轉結束時，點的坐標為；發(fā)現規(guī)律：旋轉4次一個循環(huán)，，則第2021次旋轉結束時，點的坐標為．故選：C．【點撥】本題考查了坐標與圖形變化旋轉、規(guī)律型點的坐標，解決本題的關鍵是根據旋轉的性質發(fā)現規(guī)律，總結規(guī)律．9．A【分析】證明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點是的中點，，，，∴，，∴，∴，故選：．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出．10．C【分析】連接，根據題意可得三角形DMA為等腰三角形，進而證明和全等，然后根據和相似即可求得的值．解：連接，如圖，由對稱的性質可知，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴在中，．又∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點撥】此題考查了折疊問題，全等三角形和相似三角形的性質和判定方法，解題的關鍵是能夠根據題意構造出相應的輔助線．11．8【分析】根據比例中項的定義列式計算即可．解：∵線段c是a、b的比例中項，∴，解得，又∵線段是正數，∴．故答案為：8．【點撥】本題考查了比例中項即稱線段c是線段a，b的比例中項，正確理解定義是解題的關鍵．12．15【分析】因為平分，，可證DE=EC,解：根據，即BC=15.考點：三角形一邊平行線的性質．13．4【分析】如圖，甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長分別為9和6，設正方形丙的邊長為x，根據正方形性質可推出△ABC∽△BDE，通過相似三角形性質建立方程求解即可．解：如圖，∵甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長分別為9和6，設正方形丙的邊長為x，∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，∴∠ACB＝∠BED，∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，∴△ABC∽△BDE，∴，∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，∴，解得：x＝4，∴正方形丙的邊長為4，故答案為：4．【點撥】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，運用數形結合思想是解題關鍵．14．或【分析】根據折疊得到線段相等，分類討論相似的對應邊，列方程求解即可得到答案．解：沿折疊和重合，，設，則，當時，，，，∴，解得：，則，當時，，即，解得：，則，故或，故答案是：或．【點撥】本題考查折疊的性質及相似三角形對應邊成比例，解題的關鍵是分類討論列方程．15．【分析】先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在與中，已知，所以需另一組對應角相等，若，則與全等不符合題意，所以必定有，再根據四邊形的內角和為列式求解．解：根據題意畫出示意圖，∵平分，∴，若，且公共，則與全等，不符合題意，∴．又，∴，∴，即．故答案為：．【點撥】本題考查了四邊形的相似對角線的新定義，相似三角形的性質，四邊形內角和定理，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．16．（?2，1）或（2，?1）/（2，?1）或（?2，1）【分析】根據位似變換的性質計算即可．解：∵以O為位似中心，將△EFO縮小為，且與EFO的相似比為1：2，E（?4，2），∴點E′的坐標為（?4×，2×）或（?4×（?），2×（?）），即（?2，1）或（2，?1），故答案為：（?2，1）或（2，?1）．【點撥】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k．17．1【分析】根據題意可判斷與相似，且面積比為2:1，根據相似三角形的性質（相似三角形的面積比等于相似比的平方），可知與的比，已知，可算出．解：∵根據題意，將沿方向平移得到，∴，∴，∵，∴，∵與重疊部分（圖中陰影部分）的面積是的面積的一半，∴,故，∵，∴．故答案為：1【點撥】本題主要考查相似三角形的判定和性質、平移的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質、平移的性質．18．【分析】過點作于點，利用勾股定理求得根據旋轉的性質可證是等腰直角三角形，可得，再由，證明，可得即，再由，求得從而求得即可求解．解：過點D作DF⊥AB于點F，∵，，

∵將繞點A逆時針方向旋轉得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案為∶．【點撥】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．19．證明見分析【分析】根據平行線分線段成比例可得和，即得解：證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查比例線段，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據條件求出AH的長，得出AH2+DH2＝AD2，證明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的長，設AG為x，則可用x表示CG的長，利用平行線分線段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的長．解：（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；（2）設AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的長為．【點撥】本題考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，熟練運用勾股定理及其逆定理是解題關鍵．21．2.52米【分析】延長MM′交DE于H，如圖，易得HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，先證明Rt△ACD∽Rt△DHM，則根據相似三角形的性質得，再證明△ABD∽△MM′D，則利用相似比得到，然后利用比例性質求AB即可．解：延長MM′交DE于H，如圖，則HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，∵CD∥HM，∴∠ADC＝∠DMH，∴Rt△ACD∽Rt△DHM，∴，∵AB∥MM′，∴△ABD∽△MM′D，∴，即，解得AB≈2.52（米）．答：遮陽篷的寬AB是2.52米．【點撥】本題主要考查相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．22．（1）見分析；（2），證明見分析；（3）【分析】（1）由題意可得，，再根據已知可得，即可解答．（2）過點D作交于點F，證，再證得，再根據得，即可解答．（3）過點A作交延長線于點G，根據相似三角形的性質得，再由（2）知，，得到，再根據相似三角形的性質即可解答．解：（1），，∵，又∵，∴，∴．（2）如圖1，過點D作交于點F，

∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即．（3）如圖2，過點A作交延長線于點G，

∵，，∵，∴，

①由（2）知，，∴，

②①×②得，∵，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．23．（1）a（2）12（3）【分析】（1）根據三角形的面積公式及比例特點即可求解；（2）連接AE，先求出△ACE的面積，再得到△ABC的面積即可；（3）連接BD，設△ADM的面積為a，則△BDM的面積為2a,設△CDN的面積為b，則△BDN的面積為b，根據圖形的特點列出方程組求出a,b,故可求解．解：（1）設△ABC中BC邊長的高為h，∵BM=2AM．∴BM=AB∴S=BM×h=×AB×h=S△ABC=a故答案為：a；（2）如圖2，連接AE，∵∴CD=AC∴S△DCE=S△ACE=1∴S△ACE=4，∵∴CE=CB∴S△ACE=S△ABC=4∴S△ABC=12；（3）如圖3，連接BD，設△ADM的面積為a，∵∴BM=2AM,BM=AB，∴S△BDM