專題248切線的判定和性質(zhì)（舉一反三）（滬科版）

專題24.8切線的判定和性質(zhì)【九大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1有關(guān)切線的說法辨析】 1【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】 4【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】 9【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】 16【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 20【題型6利用切線的性質(zhì)求角度大小】 29【題型7利用切線的性質(zhì)證明】 33【題型8切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 38【題型9過圓外一點(diǎn)作圓的切線】 47【知識(shí)點(diǎn)切線的判定】（1）切線判定：=1\*GB3①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑．【題型1有關(guān)切線的說法辨析】【例1】（2023春·山東日照·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝12AC，但不能證出∠B＝90°∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．經(jīng)過半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【變式12】（2023春·西藏拉薩·九年級(jí)校考期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中的表述，一定正確的是（

）A．經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線C．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線D．經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線【答案】C【分析】根據(jù)切線的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，故A，B，D選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓中切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2011秋·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為BC的中點(diǎn)，DE垂直于AC的延長(zhǎng)線于E，連接BC，若DE=6cm，CE=2A．DE是⊙O的切線 B．直徑AB長(zhǎng)為20cmC．弦AC長(zhǎng)為16cm D．C為AD的中點(diǎn)【答案】D【分析】AB是圓的直徑，則∠ACB=90°，根據(jù)DE垂直于AC的延長(zhǎng)線于E，可以證得ED∥BC，則DE⊥OD，即可證得DE是圓的切線，根據(jù)切割線定理即可求得AC的長(zhǎng)，連接OD，交BC與點(diǎn)F，則四邊形DECF是矩形，根據(jù)垂徑定理即可求得半徑．【詳解】解：連接OD，OC．∵D是弧BC的中點(diǎn)，則OD⊥BC，∴DE是圓的切線．故A正確；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，則AC=AECE=182=16cm．故C正確；∵AB是圓的直徑．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延長(zhǎng)線于E．D是弧BC的中點(diǎn)，則OD⊥BC，∴四邊形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB=AC2+在直角△ABC中，AC=16，AB=20，則∠ABC≠30°，而D是弧BC的中點(diǎn)．∴弧AC≠弧CD．故D錯(cuò)誤．故選D．【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】【例2】（2023春·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在下圖中，AB是⊙O的直徑，要使得直線AT是⊙O的切線，需要添加的一個(gè)條件是【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時(shí)，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切？并說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2）M為BC的中點(diǎn)．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD時(shí)，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進(jìn)而證得直線DM與⊙O相切．試題解析：（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與⊙O相切；解：連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線DM與⊙O相切，故當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與⊙O相切．考點(diǎn)：切線的判定．【變式23】（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．

（1）如圖甲，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出兩種情況，不需要證明）：①或②；（2）如圖乙，AB是非直徑的弦，若∠CAF=∠B，求證：EF是⊙O的切線．（3）如圖乙，若EF是⊙O的切線，CA平分∠BAF，求證：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）見解析；（3）見解析．【分析】(1)添加條件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根據(jù)切線的判定和圓周角定理推出即可．(2)作直徑AM,連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．(3)由同圓的半徑相等得到OA=OB，所以點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，根據(jù)∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代換得到∠BAC=∠B，所以點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，得到OC垂直平分AB．【詳解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半徑，∴EF是⊙O切線，②∵AB是⊙0直徑，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半徑，∴EF是⊙O切線，故答案為：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直徑AM，連接CM，

即∠B=∠M（在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直徑，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半徑，∴EF是⊙O的切線．（3）∵OA=OB，∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，注意:經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，直徑所對(duì)的圓周角是直角．【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5．【分析】（1）連接，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及角平分線的定義，可得，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)切線的判定方法，即可判定；（2）過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理可得，故，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，

，是的平分線，，，，，為的半徑，點(diǎn)D在上，∴是的切線；（2）解：過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，如圖，

，，，，，，，，四邊形是矩形，，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓的垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．【變式31】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)若的半徑為3，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接、，則，所以，由，得，所以，即可證明與相切；（2）由切線的性質(zhì)得，，，得，則，即可根據(jù)勾股定理列方程，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，

則，，，，，，經(jīng)過的半徑的外端，且，與相切．（2）解：由（1）知與相切，∴∵，，，，∵∴，∵，，，，的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023春·江西九江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，C為上一點(diǎn)，P為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，使得．

(1)求證：是的切線．(2)F為上一點(diǎn)，且經(jīng)過的中點(diǎn)E．①求證：；②若，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②的半徑為5．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，進(jìn)而得出，即，即可得出結(jié)論；（2）①先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，進(jìn)而得出，根據(jù)題意可得出，推出，即可得出結(jié)論；②設(shè),則，由①知，得出和都是直角三角形，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出，，在中，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴是的切線；（2）①證明：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∵經(jīng)過的中點(diǎn)E，∴，∴，∴；②解：設(shè),則，由①知，∴和都是直角三角形，在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去），即，，在中，，∴，解得：，即的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，勾股定理，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知半徑為的經(jīng)過軸上一點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，連接、，平分，．

(1)判斷與軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，由平分可得，又，所以，進(jìn)而可得，所以，可得軸，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，且四邊形是矩形，設(shè)可分別表達(dá)和，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可建立等式，得出結(jié)論；【詳解】（1）解：與軸相切，理由如下：如圖，連接，平分，，又，，，，軸，軸，是半徑，與軸相切（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，四邊形是矩形，，，設(shè)則，，在中，，，解得或舍去，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，題目比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理．【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】【例4】（2023春·山東日照·九年級(jí)日照市新營(yíng)中學(xué)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】(1)過點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；(2)先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合得到∠ABD=30°，求出AD，再利用陰影部分的面積=S△ABD－S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：(1)過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，∴∠BFD=90°，∵ADBC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵ADBC，∴∠ADB=∠CBD，∴CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°，∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=6，∴AD=DF°=2，∴陰影部分的面積=S△ABD－S扇形ABE==．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．【變式41】（2023·江西南昌·九年級(jí)期末）如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn).（1）求證：與相切.（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，求半徑的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，AC是角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可求出.【詳解】解：（1）如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵與相切，∴∵四邊形是正方形，∴平分，∴，∴與相切.（2）∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴.又，∴，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)和判定，還運(yùn)用了數(shù)量關(guān)系來證明圓的切線的方法.【變式42】（2023?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長(zhǎng)．【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【變式43】（2023?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD，從而證得結(jié)論．【解答】證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴AC是⊙O的切線．【知識(shí)點(diǎn)2切線的性質(zhì)】（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（2）切線性質(zhì)的推論：=1\*GB3①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)=2\*GB3②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例5】（2023春·河南·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C，E是⊙O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線垂直于AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接

(1)求證：EC=(2)