4(4)有理函數(shù)的不定積分

第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的積分小結(jié)思考題可化為有理函數(shù)的積分舉例第四章不定積分1基本積分法:

換元積分法;分部積分法有些函數(shù)的積分不是初等函數(shù)直接積分法;在概率論、數(shù)論、光學(xué)、傅里葉分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分,都屬于“積不出”的范圍.有理函數(shù)的積分2有理函數(shù)的定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式真分式;假分式.有理函數(shù)的積分3例多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算.真分式的積分.只討論:多項(xiàng)式真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解若干部分分式之和有理函數(shù)的積分4

對(duì)一般有理真分式的積分,代數(shù)學(xué)中下述定理起著關(guān)鍵性的作用.定理有理函數(shù)的積分5部分分式(最簡(jiǎn)分式).有理函數(shù)的積分6例1求解由多項(xiàng)式除法,有

說明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時(shí),應(yīng)把它分為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式,分別積分.假分式有理函數(shù)的積分7例2求解

比較系數(shù)

因式分解有理函數(shù)的積分8有理函數(shù)的積分9代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例3求解(1)(1)

賦值有理函數(shù)的積分10于是有理函數(shù)的積分11注任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),

分別討論上述幾種類型的不定積分.并設(shè)四種典型部分分式的積分之和.n為大于1的正整數(shù).有理函數(shù)的積分12有理函數(shù)的積分13有理函數(shù)的積分14有理函數(shù)的積分15有理函數(shù)的積分16用遞推公式有理函數(shù)的積分17結(jié)論:有理函數(shù)的原函數(shù)只有三種:有理函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù);反正切函數(shù).求不定積分,不僅要認(rèn)真,而且要有耐心.有理函數(shù)的積分18應(yīng)重點(diǎn)提高計(jì)算的(1)部分分式法;此法一般運(yùn)算較繁.(2)拆項(xiàng)法;(分項(xiàng)積分法)(3)換元法;(4)配方法.有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、無理函數(shù)積分的基礎(chǔ),熟練程度和技巧,一般有以下方法:有理函數(shù)的積分19例4

求

分析解原式=

分項(xiàng)

湊微分從理論上看,可用部分分式法,但計(jì)算復(fù)雜,故不宜輕易使用,應(yīng)盡量考慮其它方法.

約去公因子有理函數(shù)的積分

配方20

例5

求

解原式=這是有理函數(shù)的積分.如按部分分式法很麻煩.使分母為單項(xiàng),作變換分析分母是100次多項(xiàng)式,如作一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q,而分子為多項(xiàng),除一下,化為和差的積分.有理函數(shù)的積分21或

分項(xiàng)有理函數(shù)的積分22

求練習(xí)有理函數(shù)的積分23三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之.一般記為如二、可化為有理函數(shù)的積分舉例

1.三角函數(shù)有理式的積分和分部積分法討論過一些.對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分,曾用換元法

是否任何一個(gè)三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù)

回答是肯定的.?有理函數(shù)的積分24

由三角學(xué)知識(shí)可通過變換事實(shí)上,由半角變換(或稱萬能代換）則表示.化為有理函數(shù)的積分.有理函數(shù)的積分25u的有理函數(shù)有理函數(shù)的積分26例6求有理函數(shù)的積分27結(jié)論

比較以上三種解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.有理函數(shù)的積分28類型解決方法作代換去掉根號(hào).通常先將配方,再用三角變換化為三角函數(shù)有理式的積分或直接利用積分公式計(jì)算.有理函數(shù)的積分2.

簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分29例7

求有理函數(shù)的積分30例8

求解先將無理函數(shù)的分子或分母有理化.分析原式有理函數(shù)的積分31例9求

解令則原式=回代有理函數(shù)的積分322.簡(jiǎn)單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）1.三角有理式的積分.（萬能代換公式）（注意：萬能公式并不是最佳代換）三、小