2025屆江西省贛州市大余縣新城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆江西省贛州市大余縣新城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，點F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點）上運動，則（）A．在點F的運動過程中，存在EF//BC1B．在點M的運動過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值2．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達(dá)，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．3．已知，，則等于（）．A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)5．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．定義在上的偶函數(shù)，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．設(shè)集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．299．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（）A． B． C． D．210．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．411．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．12．計算等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式的系數(shù)為__________．14．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.15．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則__________．16．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）若，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，且線段的中點為，證明：.18．（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.20．（12分）已知奇函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.22．（10分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項和；（2）若，求數(shù)列的前n項和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即點到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即為點到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.2、D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題6、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，，所以故選：A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.7、C【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求得其模.【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，排除B和C；當(dāng)時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.12、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項展開式公式即可求解.【詳解】因為所以的通項公式為當(dāng)時，當(dāng)時，故展開式中的系數(shù)為故答案為：【點睛】此題考查定積分公式，二項展開式公式等知識點，屬于簡單題目.14、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為15、【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力16、【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，可求得，代入圓柱的表面積公式，即得解【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由，得，∴．故答案為：【點睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設(shè)，即證：，再分別證明，即可；【詳解】解：（Ⅰ）由題意可知，，在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由可得，，令，則，令，可得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以是的極大值也是最大值，又當(dāng)，當(dāng)大于0趨向與0，要使在有兩個根，則，所以的取值范圍為；（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：即：，只需證：設(shè)，即證：要證，只需證：令，則在上為增函數(shù)，即成立；要證，只需證明：令，則在上為減函數(shù)，，即成立成立，所以成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題;18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：，即，因為平面平面，所以平面，所以，因為，所以平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，故；解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點為，因為平面，平面平面于，所以，因為是中點，所以是的中點，因為，取的中點為，連接，則，因為平面平面，所以面，以為坐標(biāo)原點，以過點且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因為，所以二面角的余弦值為.解法二：（Ⅱ）設(shè)與的交點為，因為平面，平面平面于，所以，因為是中點，所以是的中點，因為，，所以平面，所以，取中點，連接、，因為，所以，故平面，所以，即是二面角的平面角，不妨設(shè)，因為，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設(shè)是平面PAB的法向量,，令，則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式，進(jìn)而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，故；當(dāng)時，，，則；故.（2）令，解得，畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示，要使曲線與直線有3個交點，則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立，化簡可得，令，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；（2）通過對的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點，則就是的極大值點也是最大值點，計算的值并利用進(jìn)行化簡，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當(dāng)時，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因為，所以，所以，所以.【點睛】（1）求函數(shù)中字母的范圍