2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第12講：拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(學(xué)生版+解析)

第12講：拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題一、型及型未定式1、定義：如果當(dāng)（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時，及；（2）在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導(dǎo)，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:A． B． C．1 D．23．（23-24高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．類型二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用典型例題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第12講：拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題一、型及型未定式1、定義：如果當(dāng)（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時，及；（2）在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導(dǎo)，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.二、型、、、型1、型的轉(zhuǎn)化：或；2、型的轉(zhuǎn)化：3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類高頻考點(diǎn)類型類型一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算典型例題1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意利用洛必達(dá)法則求解即可【詳解】由題意得，故選：B2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可.【詳解】.故選：B.3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可【詳解】，故選：D練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】【分析】由洛必達(dá)法則，分別對分子和分母求導(dǎo)，代入即可求得該極限值.【詳解】由題意可得：．故答案為：.2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】2【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達(dá)法則，直接計(jì)算可求得答案.【詳解】由題意可得：,故答案為：2.3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．【答案】/0.5【分析】依據(jù)洛必達(dá)法則去計(jì)算即可解決.【詳解】故答案為：類型二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用典型例題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；（2）通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；（3）通過換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，由于，所以不成立，故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).（2）設(shè)，則，設(shè)，則，所以，得.（3）令，則原不等式等價(jià)于，即證，記，則，所以，即有對任意，均有，所以，因?yàn)椋?，所以，證畢!【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．【答案】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，令，利用洛必達(dá)法則求出，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題目的條件，當(dāng)且時，得，等價(jià)于．設(shè)，，因?yàn)椋O(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)在上單調(diào)遞增．當(dāng)趨近時，趨近，當(dāng)趨近時，趨近，所以符合洛必達(dá)法則的條件，即，所以當(dāng)時，所以的取值范圍是．練透核心考點(diǎn)1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.使得當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，則，④當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，即在上遞增，則成立.綜上所述，若函數(shù)恒成立，則.方法二當(dāng)時，成立，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，恒成立，令，則，又，令，，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增.，，故，，又，，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于恒成立問題，法一：由求解；法二：轉(zhuǎn)化為由求解.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）函數(shù)有兩個零點(diǎn)等價(jià)于有兩個不同根，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性與零點(diǎn)得方程有兩個不等實(shí)根，利用換元法得，構(gòu)造，法一、將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，分類討論計(jì)算即可；法二、利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性結(jié)合洛必達(dá)法則最小值即可.【詳解】（1）易知的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程為：，把點(diǎn)帶入切線得：，所以，的切線方程為：；（2），又有兩個不同零點(diǎn)，則有兩個不同零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，

則為增函數(shù)，且，即方程有兩個不等實(shí)根，令，則，

則，

設(shè)，法一、原不等式恒成立等價(jià)于恒成立