2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．(2024·青島模擬)以下命題：①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤，②正確．對(duì)于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③不正確．答案：B2．如圖(1)所示，是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖(2)所示，則可以作為其主視圖的是()解析：依據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知，其主視圖的長(zhǎng)應(yīng)為底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，寬應(yīng)為正方體的棱長(zhǎng)，故解除B，D；而在三視圖中看不見(jiàn)的棱用虛線表示，故解除A.答案：C3．一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫法畫出來(lái)的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則原三角形的面積是()A．2eq\r(6) B．4eq\r(6)C.eq\r(3) D．都不對(duì)解析：依據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，正三角形的底邊長(zhǎng)是原三角形的底邊長(zhǎng)，原三角形的高是正三角形高的2eq\r(2)倍，而正三角形的高是eq\r(3)，故原三角形的高為2eq\r(6)，于是其面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(6)＝2eq\r(6).答案：A4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A、E、C1解析：取DD1的中點(diǎn)F，連接AF，C1F.平面AFC1E為截面．如圖：則上半部分的主視圖如A選項(xiàng)，故選A.答案：A5．如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)凸多面體的三視圖(兩個(gè)矩形，一個(gè)直角三角形)，則這個(gè)幾何體可能為()A．三棱臺(tái) B．三棱柱C．四棱柱 D．四棱錐解析：依據(jù)三視圖的法則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示，這是一個(gè)三棱柱．答案：B6.如圖所示，右面的幾何體由一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是()A．①② B．②③C．③④ D．①⑤解析：圓錐的軸截面為等腰三角形，此時(shí)①符合條件；當(dāng)截面不過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，圓錐在截面上為雙曲線的一支，此時(shí)⑤符合條件，故截面圖形可能是①⑤.故選D.答案：D7．“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線．當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()解析：依據(jù)直觀圖以及圖中的協(xié)助四邊形分析可知，當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B，故選B.答案：B8．已知一個(gè)正三棱柱的全部棱長(zhǎng)均相等，其左視圖如圖所示，那么此三棱柱主視圖的面積為_(kāi)_______．解析：由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得主視圖是一個(gè)矩形，其中一邊的長(zhǎng)是左視圖中三角形的高，另一邊是棱長(zhǎng)．∵左視圖中三角形的邊長(zhǎng)為2，∴高為eq\r(3)，∴主視圖的面積為2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：1310.如圖所示，三棱錐V-ABC的底面是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，側(cè)面VAC與底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作為主視圖的方向，垂直于平面ABC的方向?yàn)楦┮晥D的方向，已知其主視圖的面積為2eq\r(3)，則其左視圖的面積是________．解析：設(shè)三棱錐的高為h，邊AB＝BC＝eq\r(2)a，則AC＝2a，S主視圖＝eq\f(1,2)×2a×h＝2eq\r(3)?h＝eq\f(2\r(3),a)，則S左視圖＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(a,2)×eq\f(2\r(3),a)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)B組——素養(yǎng)提升練11．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：由三視圖還原為如圖所示的四棱錐A-BCC1B1，從圖中易得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為AC1＝eq\r(AC2＋CCeq\o\al(2,1))＝eq\r(（22＋22）＋22)＝2eq\r(3)，故選B.答案：B12．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P-BCD的主視圖與左視圖的面積之比為()A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：由題意知三棱錐P-BCD的主視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，高為正四棱柱的高；左視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，高為正四棱柱的高，故兩視圖面積之比為1∶1.故選A.答案：A13．某四面體的三視圖如圖所示，在該四面體的四個(gè)面中，直角三角形的面積和是()A．2 B．4C．2＋eq\r(5) D．4＋2eq\r(5)解析：由三視圖可得原幾何體如圖所示，由三視圖知該幾何體的高PO＝2，底面ABC是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，則BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△PBC和△ACB，易求得PC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).又BC＝2，∴S△PBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5).又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴該四面體的四個(gè)面中，直角三角形的面積和為2＋eq\r(5)，故選C.答案：C14．(2024·惠州調(diào)研)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于________．解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，如圖所示．由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí)，該球的半徑最大，故其半徑r＝eq\f(1,2)×(6＋8－10)＝2.答案：215．(2024·高考全國(guó)卷Ⅱ)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：先求面數(shù)，有如下兩種方法．法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26(個(gè))面．法二：一般地，對(duì)于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2(歐拉公式)．由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24，故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長(zhǎng)．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為半正多面體的棱長(zhǎng)．連接AF，過(guò)H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.解得x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－116．關(guān)于空間中隨意放置的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD，下列命題正確的是________．(寫出全部正確命題的序號(hào))①正四面體ABCD的主視圖面積可能是eq\r(2)；②正四面體ABCD的主視圖面積可能是eq\f(2\r(6),3)；③正四面體ABCD的主視圖面積可能是eq\r(3)；④正四面體ABCD的主視圖面積可能是2；⑤正四面體ABCD的主視圖面積可能是4.解析：對(duì)于正四面體ABCD，如圖①：當(dāng)主視方向垂直于底面BCD時(shí)，主視圖為△BCD，其面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，③正確；當(dāng)主視方向平行于底面BCD，垂直于BD方向時(shí)，主視圖是以BD為底，正四面體的高AO為高的三角形，則其面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\r(3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(6),3)，②正確；當(dāng)主視方向平行于底面BCD，沿CD方向時(shí)，主視圖為圖①中△ABE，則其面積為eq