高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題8.5直線、平面垂直的判定及性質(zhì)專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題8.5直線、平面垂直的判定及性質(zhì)練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2020·浙江開學(xué)考試）已知兩個(gè)不重合的平面，若直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·浙江高二期末）已知，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．【多選題】（2021·河北高一期末）已知直線a，b與平面，，則下列說法不正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，為異面直線，，，，，則4．【多選題】（2021·南京市寧海中學(xué)高一月考）如圖，在正方體中，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段長度為一定值，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值5．（2020·北京101中學(xué)期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l是直線且，則“”是“”的______.條件(參考選項(xiàng)：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).6.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）三棱錐的高為，若三條側(cè)棱、、兩兩垂直，則為的______心.7．（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1）平面//平面；（2）平面平面．8．（2021·山西高一期中）如圖，四棱錐的底面ABCD為菱形，，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBD；（2）求證：平面PBC.9．（2021·湖南高二期末）如圖，在三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.10．（2020·內(nèi)蒙古寧城·月考（文））在三棱柱中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面平面，，，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求到平面的距離.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2019·福建高考模擬（理））已知等邊△的邊長為2，現(xiàn)把△繞著邊旋轉(zhuǎn)到△的位置．給出以下三個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，；②存在點(diǎn)，使得平面；③三棱錐的體積的最大值為1.以上命題正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2020·重慶市廣益中學(xué)校期末）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC．其中正確的是___________3．（2021·四川高二期末（文））如圖，直三棱柱中，，且，為線段上動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）判斷點(diǎn)到面的距離是否為定值，并說明理由，若是定值，請(qǐng)求出該定值.4．（2020·佛山市第四中學(xué)高二月考）在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證:平面；（2）若∥平面，試確定點(diǎn)的位置，并給出證明.5．（2019·河北高考模擬（文））如圖，在四棱錐中，，是梯形，且，，.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求得值；若不存在，說明理由.6.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2（1）求證：平面PBC⊥平面PAC（2）若點(diǎn)M,N分別為PA,CD上的點(diǎn)，且PMPA=CNCD=35，在線段7．（2021·江蘇高一期末）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．8．（2020·江蘇南京師大附中高二開學(xué)考試）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，連接，如圖（1）證明：平面和平面必定存在交線，且直線；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（3）當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.9．（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高一期中）如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求與平面所成的角．10．（2021·浙江溫州市·高二期中）如圖所示，四邊形是矩形，平面平面，平面平面.（1）求證：平面；（2）過點(diǎn)作平面，若，，，為的中點(diǎn)，設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角為.若存在，求的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面2．（2020·山東海南省高考真題）日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°3．（2019·全國高考真題（文））已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．4.（2018·全國高考真題（文））如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由．5．（2021·全國高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.6．（2021·全國高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．1/31專題8.5直線、平面垂直的判定及性質(zhì)練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2020·浙江開學(xué)考試）已知兩個(gè)不重合的平面，若直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若且，可推出，即必要性成立；反之，若，則與的位置關(guān)系不確定，即充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2．（2021·浙江高二期末）已知，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若，則“”則成立，滿足充分性；反之，若，則與的位置關(guān)系不確定，即不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3．【多選題】（2021·河北高一期末）已知直線a，b與平面，，則下列說法不正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，為異面直線，，，，，則【答案】AB【解析】舉反例可判斷A和B；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷C；由反證法可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：反例如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：反例如圖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：是“線面平行的性質(zhì)定理”的符號(hào)語言，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若平面與平面不平行，設(shè)，因?yàn)?，，由線面平行的性質(zhì)定理得，同理，所以，這與，為異面直線矛盾，所以.故D正確.故選：AB.4．【多選題】（2021·南京市寧海中學(xué)高一月考）如圖，在正方體中，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段長度為一定值，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，連接BD，通過證明平面，可判定；選項(xiàng)B，通過可判定；選項(xiàng)C，利用平面ABCD平面可判定平面ABCD；選項(xiàng)D，可利用三棱錐的高和底面積為定值來判定.【詳解】選項(xiàng)A：連接BD，底面ABCD是正方形，，又平面ABCD，平面ABCD，，，平面，又平面，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若平面，平面，，但顯然，所以平面不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：正方體中，平面ABCD平面，平面，平面ABCD，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：點(diǎn)A到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面的距離，等于AC的一半，即三棱錐高為定值，而的邊為定值，高為為定值，故體積為定值，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.5．（2020·北京101中學(xué)期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l是直線且，則“”是“”的______.條件(參考選項(xiàng)：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.因?yàn)橹本€且所以由判斷定理得.所以直線，且若，直線則直線，或直線，或直線l與平面相交，或直線l在平面內(nèi).所以“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.6.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）三棱錐的高為，若三條側(cè)棱、、兩兩垂直，則為的______心.【答案】垂【解析】根據(jù)題意可證明面PBC，結(jié)合PH為三棱錐的高可以證明，同理：，進(jìn)而得到答案.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以面PBC，則PA⊥BC，又PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC，而，所以面PAH，所以，同理可證：，所以點(diǎn)H為垂心.故答案為：垂.7．（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1）平面//平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）連接，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，則‖,‖,，再結(jié)棱柱的特點(diǎn)可得四邊形為平行四邊形，‖，所以由線面平行的判定可得‖平面，‖平面，再由面面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知可得，，從而可得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論【詳解】證明：（1）連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，‖，所以，‖，‖，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以?‖,，因?yàn)槠矫?，平面，所以‖平面，因?yàn)?，‖，所以‖，，所以四邊形為平行四邊形，所以‖，因?yàn)槠矫?，平面，所?/平面，因?yàn)?，所以平?/平面；（2）因?yàn)闉檎切?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?．（2021·山西高一期中）如圖，四棱錐的底面ABCD為菱形，，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBD；（2）求證：平面PBC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）首先證出，，再利用線面垂直的判定定理即可證明.（2）取PC的中點(diǎn)G，連接FG，BG，證出四邊形BEFG是平行四邊形，從而可得，再由線面平行的判定定理即可證明.【詳解】證明：（1）設(shè)，則O是AC，BD中點(diǎn)，連接PO，∵底面ABCD是菱形，∴，又∵，O是AC中點(diǎn)，∴，又，平面PBD，平面PBD，∴平面PBD.（2）取PC的中點(diǎn)G，連接FG，BG，如圖所示：∵F是PD的中點(diǎn)，∴，且.又∵底面ABCD是菱形，E是AB中點(diǎn)，∴，且，∴，且，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴，又平面PBC，平面PBC，∴平面PBC.9．（2021·湖南高二期末）如圖，在三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連，，證明與底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得證結(jié)論；（2）由棱柱、棱錐體積得，計(jì)算三棱錐體積可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，在中，由，滿足，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，，所以四棱錐的體積.10．（2020·內(nèi)蒙古寧城·月考（文））在三棱柱中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面平面，，，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，所以為正三角形，則，在中，因?yàn)?，，，由余弦定理可得：，又因?yàn)椋运?，又，平面，且，所以平面?）在中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得解得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2019·福建高考模擬（理））已知等邊△的邊長為2，現(xiàn)把△繞著邊旋轉(zhuǎn)到△的位置．給出以下三個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，；②存在點(diǎn)，使得平面；③三棱錐的體積的最大值為1.以上命題正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】由題意，取中點(diǎn)，由于，，根據(jù)線面垂直的判定定理，得平面，平面，所以，故①正確；假設(shè)平面，則，又，這不可能，故②錯(cuò)誤；由，當(dāng)平面平面時(shí)，達(dá)到最大，此時(shí)，故③正確.故選B．2．（2020·重慶市廣益中學(xué)校期末）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC．其中正確的是___________【答案】①②③【解析】設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=a，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，

又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，

∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，

∴BD⊥AC，故①正確；

②由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，

∴BD⊥CD，又∴由勾股定理得：，又AB=AC=a，

∴△ABC是等邊三角形，故②正確；

③∵△ABC是等邊三角形，DA=DB=DC，

∴三棱錐D-ABC是正三棱錐，故③正確．

④∵△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)F，則DF⊥AC，又△ABC為等邊三角形，連接BF，則BF⊥AC，

∴∠BFD為平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，

由BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，故平面ADC與平面ABC不垂直，故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．3．（2021·四川高二期末（文））如圖，直三棱柱中，，且，為線段上動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）判斷點(diǎn)到面的距離是否為定值，并說明理由，若是定值，請(qǐng)求出該定值.【答案】（1）證明見解析；（2）是定值，理由見解析，.【解析】（1）由，證得面，從而，結(jié)合，證得面，從而證得.（2）點(diǎn)到面的距離即為到面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，由條件證得面，則為點(diǎn)到面的距離，求得即可.【詳解】解：（1）連，，四邊形為正方形，又，直棱柱中，，，面，面，又，面，面，（2）點(diǎn)到面的距離為定值.，面，面，點(diǎn)到面的距離即為到面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離令，則，又面，面，，，，面，為點(diǎn)到面的距離在等腰中，，到面的距離為定值，且定值為4．（2020·佛山市第四中學(xué)高二月考）在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證:平面；（2）若∥平面，試確定點(diǎn)的位置，并給出證明.【答案】（1）證明詳見解析；（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明詳見解析.【解析】（1）即證平面，只需證，即可；（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面，取的中點(diǎn)，只需證四邊形是平行四邊形即可.【詳解】（1）要證明平面，即證平面.依題意知平面，又平面，則，又，且，所以平面，又平面，所以.依題意知，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，即平面.（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：取的中點(diǎn)，連接，，.則，且；依題意知四邊形為正方形，則且，又是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面.5．（2019·河北高考模擬（文））如圖，在四棱錐中，，是梯形，且，，.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求得值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見證明；（2）（3）見解析【解析】(1)由題意，可知，則，所以，，面，所以，又因?yàn)?，所?2)因?yàn)?，，為等腰直角三角形，所以，在中，，，，又?(3)在棱上取點(diǎn)，使得，過作交于，則，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，使得平面.6.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2（1）求證：平面PBC⊥平面PAC（2）若點(diǎn)M,N分別為PA,CD上的點(diǎn)，且PMPA=CNCD=35，在線段【答案】（1）見解析（2）線段PB上存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE．VP【解析】（Ⅰ）證明：由已知，得AC=∵BC=AD=2又BC2+又PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，則∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且∴BC⊥平面PAC∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面（Ⅱ）線段PB上存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE證明：在線段PB上取一點(diǎn)E，使PEPB=3∵PMPA=PEPB=又∵CN∥AB，且∴CN∥ME，且∴四邊形CEMN是平行四邊形，∴CE∥又CE?平面ACE，MN?平面ACE，∴MN∥∴VP7．（2021·江蘇高一期末）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直的判定，推得AC⊥平面PDO，再由面面垂直的判定定理，可得證明；

（2）在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，由三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，計(jì)算可得所求最小值．【詳解】解：（1）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以．又垂直于圓所在的平面，因?yàn)閳A所在的平面，所以．因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）在中，，，所以．同理，所以．在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示．當(dāng)，，共線時(shí)，取得最小值．又因?yàn)?，，所以垂直平分，即為中點(diǎn)．從而，亦即的最小值為．8．（2020·江蘇南京師大附中高二開學(xué)考試）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，連接，如圖（1）證明：平面和平面必定存在交線，且直線；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（3）當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由平面的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)定理可證得結(jié)果；（2）證得，，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可證得結(jié)果；（3）由等體積法可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以//平面.又平面與平面有公共點(diǎn)，則由公理3可知平面與平面必然相交，設(shè)交線為，因?yàn)?/平面，平面，所以由線面平行的性質(zhì)定理得到.（2）因?yàn)?，且，所以平面，由?）知，則平面，又平面，所以.因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以，又，故平面.（3）設(shè)，由三棱錐的體積得，則，，，從而，等腰三角形底邊上的高，所以三角形的面積.三棱錐的體積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由得，解得.故到平面的距離為.9．（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高一期中）如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求與平面所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）取的中點(diǎn)M，根據(jù)中位線定理以及公理4可得，且，從而有，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）根據(jù)正三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的定義可得，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證出；（3）易證平面，從而可知是與平面所成的角，解三角形即可求出．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為M，連接，∵E是的中點(diǎn)，∴是的中位線．∴，又∵F是的中點(diǎn)，且由于是菱形，∴，∴，且．∴四邊形是平行四邊形，∴．∵平面，平面．∴平面．（2）證明：∵平面，平面，∴．連接，∵底面是菱形，，∴為正三角形∵F是的中點(diǎn)，∴．∵，∴平面．（3）連結(jié)交于O，∴底面是菱形，∴，∴平面，∴，∴平面．∴，即是在平面上的射影．∴是與平面所成的角．∵O，E分別是中點(diǎn)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，即與平面所成的角的大小為．10．（2021·浙江溫州市·高二期中）如圖所示，四邊形是矩形，平面平面，平面平面.（1）求證：平面；（2）過點(diǎn)作平面，若，，，為的中點(diǎn)，設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角為.若存在，求的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理得到，由此證得平面.（2）作出在底面上的射影，結(jié)合線面角的知識(shí)確定正確結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵在該組合體中，平面底面，且平面底面，，∴底面，故有，同理可證，又，是底面的兩條相交直線，∴底面.（2）取的中點(diǎn)，連，，由于是中點(diǎn)，所以，則底面，故在底面的射影是，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，所成的線面角最大，此時(shí)，，在中，，故，故不可能在上存在點(diǎn)，滿足條件.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.2．（2020·山東海南省高考真題）日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B3．（2019·全國高考真題（文））已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．【答案】.【解析】作分別垂直