專(zhuān)題08 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型（解析版）

專(zhuān)題08相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線(xiàn)與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E點(diǎn)，那么．這條直線(xiàn)叫的梅氏線(xiàn)，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來(lái)命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG、BG、CG分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線(xiàn)共點(diǎn)，而梅涅勞斯定理的特征是三點(diǎn)共線(xiàn)；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問(wèn)題，也添加輔助線(xiàn)后用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似來(lái)解決。例1.如圖，在中，D為AC中點(diǎn)，，求證：．【解析】∵HFC是的梅氏線(xiàn)，∵直線(xiàn)AE是的梅氏線(xiàn)，∴．∴，∴，∵直線(xiàn)AF是的梅氏線(xiàn)，∴，∴，．∴．【點(diǎn)睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對(duì)于梅氏定理的應(yīng)用的難點(diǎn)，在于找梅氏線(xiàn)．例2.如圖，在中，，，AD、BE交于點(diǎn)，求．【解析】∵HFC是的梅氏線(xiàn)，由AFD截可得，又，，∴．【點(diǎn)睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對(duì)于梅氏定理的應(yīng)用的難點(diǎn)，在于找梅氏線(xiàn)．例3.如圖所示，被通過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)與三角形內(nèi)一點(diǎn)O的三條直線(xiàn)分為6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，求的面積．【解析】有題意知：，對(duì)和截線(xiàn)，由梅氏定理得：，即，∴，∴∴【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問(wèn)題．例4.已知AD是的高，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，且，，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，求CG．【解析】如圖，設(shè)，EFG是的梅氏線(xiàn)．則由梅涅勞斯定理．顯然的，，于是，得．【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.如圖所示，△ABC的三條外角平分線(xiàn)BE、AD、CF，與對(duì)邊所在直線(xiàn)交于E、D、F三點(diǎn)，求證：D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)?！窘馕觥坑赏饨瞧椒志€(xiàn)性質(zhì)定理可得:；；．所以由梅涅勞斯定理的逆定理可得D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)?！军c(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和角平分線(xiàn)定理的綜合應(yīng)用．例6．（2023·山西·期中聯(lián)考）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書(shū)籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）被一條不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線(xiàn)所截，這條直線(xiàn)可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理）：設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線(xiàn)，則滿(mǎn)足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線(xiàn)交的邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，（依據(jù)），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線(xiàn)分別交的邊，，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，．…(1)情況①中的依據(jù)指：；(2)請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；(3)如圖3，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，那么【答案】(1)兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解決問(wèn)題即可；（2）如圖2中，作交于，模仿情況①的方法解決問(wèn)題即可；（3）利用梅氏定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：情況①中的依據(jù)是：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．故答案為：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．（2）證明：如圖2中，作交于，則有，∴，∴，則，變形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．例7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通過(guò)BC的中點(diǎn)，求證：EF//BC?！驹斀狻孔C明：在中，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∴．對(duì)△ABC和點(diǎn)M應(yīng)用賽瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例8.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。解答：證明：如圖，連接BD交AC于H，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)交AG的延長(zhǎng)線(xiàn)于I，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線(xiàn)交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于J．對(duì)△BCD用塞瓦定理，可得①

因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)定理知．代入①式得②

因?yàn)镃I∥AB，CJ∥AD，則．代入②式得．

從而CI=CJ．又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，

所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例9.如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)M，直線(xiàn)KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.對(duì)△DKL和點(diǎn)B應(yīng)用賽瓦定理可得：．①對(duì)和截線(xiàn)，由梅氏定理得：②由①②得：點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線(xiàn)論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線(xiàn)形中線(xiàn)段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，證明，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)可求△BCF的面積，從而得解．【詳解】（1）證明：在中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴，．由賽瓦定理可得：．∴，∴．即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）解：∵為等邊三角形，，∴∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用塞瓦定理是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：法1：對(duì)和截線(xiàn)，由梅氏定理得：，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，∴，∴，∴，∴，故選B.法2：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2.如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對(duì)△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設(shè)S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)F作于H，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)三角形的面積求得的值，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)，，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得k的值，即可求得和的值，根據(jù)勾股定理求得的值，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于H．

在中，，，則，∵，∴，即解得：，在中，，，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線(xiàn)．將沿方向平移得到．與相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與邊相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】則E為的中點(diǎn)，得為的中點(diǎn)，證明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根據(jù)相似比即可求解．【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得，，∴E為的中點(diǎn)，，∴，∴為的中點(diǎn)，∵D是邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．解：∵DEF是△ABC的梅氏線(xiàn)，∴由梅涅勞斯定理得，??＝1，即??＝1，則＝，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．6.如圖，在中，AD、CE交于點(diǎn)F，若，，求．【解析】∵直線(xiàn)是的梅氏線(xiàn)，∴，又，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對(duì)于梅氏定理的應(yīng)用的難點(diǎn)，在于找梅氏線(xiàn)．7.P是平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)P作AD的平行線(xiàn)，分別交AB于E，交CD于F；又過(guò)P作AB的平行線(xiàn)，分別交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求證：D，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．【解析】對(duì)和截線(xiàn)DPQ，由梅涅勞斯定理的逆定理得：，故D，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．【點(diǎn)睛】這道題主要是考查梅氏定理逆定理判定三點(diǎn)共線(xiàn)．8.（2023.湖北九年級(jí)期中）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線(xiàn)與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有??＝1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則有＝．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE＝．解：（1）補(bǔ)充的證明過(guò)程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，則由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．9．（江蘇2022-2023學(xué)年九年級(jí)月考）如圖1，在中，D是邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)分別與、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M、N．問(wèn)題引入：若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，求的值；如圖2，可以過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)P；如圖3，也可以過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．探索研究：（1）如圖4，若點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)，求證：．

拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，則_______，____．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2），【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB交MN于點(diǎn)P，由題意易得，，則有，，然后問(wèn)題可求證；（2）過(guò)點(diǎn)D分別作DG∥AB，DH∥AC，由題意易得，，，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB交MN于點(diǎn)P，如圖所示：∴，，∴，，∴；（2）過(guò)點(diǎn)D分別作DG∥AB，DH∥AC，如圖所示：∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴；∵DH∥AC，∴，，∴，，∴，∴；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·四川內(nèi)江·中考模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AD．問(wèn)題引入：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=（用圖中已有線(xiàn)段表示）．探索研究：（2）如圖②，在△ABC中，O點(diǎn)是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線(xiàn)段之比，并說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，O是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，試猜想的值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由見(jiàn)解析；（3）=1，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時(shí)，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=1：2；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案為：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如圖，分別過(guò)點(diǎn)O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形綜合題，利用了等底的三角形面積與高的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2023·重慶·八年級(jí)期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點(diǎn)，且,．連接,交于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則四邊形的面積為．【答案】.【分析】先畫(huà)出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF: