材料力學(xué)：扭轉(zhuǎn)

1材料力學(xué)：扭轉(zhuǎn)概述薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)傳動(dòng)軸的外力偶矩?扭矩及扭矩圖等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力?強(qiáng)度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形?剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形2在桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶。機(jī)器的傳動(dòng)軸、水輪發(fā)電機(jī)的主軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、橋梁及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等，扭轉(zhuǎn)是其主要變形之一。§3-1概述一、扭轉(zhuǎn)的受力特點(diǎn)桿件的任意橫截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。二、扭轉(zhuǎn)的變形特點(diǎn)3扭轉(zhuǎn)受力簡(jiǎn)圖mm電動(dòng)機(jī)軸扭轉(zhuǎn)受力簡(jiǎn)圖4請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)

當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊羅母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn).5請(qǐng)判斷哪些零件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)傳動(dòng)軸6§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

r0

是薄壁圓筒的厚度，r0

是平均半徑。7

一、薄壁筒扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力用截面法求任一橫截面n—n上的內(nèi)力MeMelnn8MennMelnnT橫截面上的應(yīng)力只能是切應(yīng)力。設(shè)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)其任一橫截面n-n上的內(nèi)力為力偶矩。稱為扭矩TMe9MeMe預(yù)先在圓筒的表面畫(huà)上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。1.試驗(yàn)10MeMe圓周線保持不變；縱向線都傾斜一個(gè)相同的角度。2.觀察到的現(xiàn)象：3.設(shè)想：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀，大小均無(wú)改變的平面，相鄰兩橫截面繞圓筒軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力的方向必與圓周相切11MeMe

圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

，用

表示。12MeMe

DABC

圓筒表面上每個(gè)格子的直角的改變量，稱為切應(yīng)變。用

表示。13dxtABCDMeMe

DABC

近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化。圓周表面各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等。

14Mennxr二、推導(dǎo)公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力

都是相等的，而其方向于圓周相切。T15r為薄壁圓筒平均半徑MennxrT16上式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式。Mennxr17

薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。T18薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)19（1）在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向與y軸平行。三、切應(yīng)力互等定理xydydzabdzdxc

20xydydzabdzdxc

兩側(cè)面的內(nèi)力元素（

dydz）大小相等，方向相反，將組成一個(gè)力偶。由平衡方程：可知：21xydydzabdzdxc

(dydz)dx其矩為22xydydzabdzdxc

（2）要滿足平衡方程23xydydzabdzdxc

在單元體的上，下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成的力偶，其矩為24xydydzabdzdxc

數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dx25xydydzabdzdxc

切應(yīng)力互等定理：?jiǎn)卧w兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在，且大小相等，都指相（或背離）該兩平面的交線。26xydydzabdzdxc

純剪切應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)卧w平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，則稱該單元體稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。27四、剪切胡克定律mmABCD

lr

為薄壁圓筒的外半徑28MeMeABCD

l薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶Me

在某一范圍內(nèi)時(shí)，與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比

。29To

o從Mn

與

之間的線性關(guān)系，可推出

與

間的線性關(guān)系。該式稱為材料的

剪切胡克定律30G

稱為材料的

切變模量，其單位是Pa。剪切胡克定律只有在切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切屈服

p極限時(shí)才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。拉(壓)、剪切彈性模量與泊松比的關(guān)系31

剪切胡克定律32思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變

2

切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?3334§3-3傳動(dòng)軸的外力偶矩

扭矩和扭矩圖從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪nm2m1m3一、傳動(dòng)軸的外力偶矩35從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪nMe2Me1Me3一傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/min，軸傳遞的功率由主動(dòng)輪輸入，然后由從動(dòng)輪輸出。若通過(guò)某一輪所傳遞的功率為P千瓦（kW)，則作用在該輪上的外力偶矩Me

可按以下方法求得:36n——軸的轉(zhuǎn)速(r/min)Me——作用在軸上的力偶矩，(kN.m)P

——軸傳遞的功率，

(kW)37nnMeMe?xMe?x在n—n截面處假想將軸截開(kāi)取左側(cè)為研究對(duì)象分析圖示圓軸任一橫截面n—n上的內(nèi)力。仍用

截面法。二、扭矩和扭矩圖38nnMeMe?xMe?xT橫截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個(gè)力偶稱為該橫截面上扭矩Me?x?T取右側(cè)為研究對(duì)象其扭矩與取左側(cè)為研究對(duì)象數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。39Me?x?nnMeMe?xTMe?xT右手螺旋法則：當(dāng)力偶矩矢的指向背離截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。扭矩符號(hào)的規(guī)定++40用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，稱為扭矩圖。

41扭轉(zhuǎn)內(nèi)力42m4ABCDm1m2m3n例題1：一傳動(dòng)軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速n=300/min，主動(dòng)輪輸入的功率為有P1=500kW。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。試做扭矩圖。43解：計(jì)算外力偶矩ABCDm4ABCDm1m2m3n44ABCD用外力偶作用面將軸分段。該軸分為BC，CA，AD

三段m4ABCDm1m2m3n45ABCD22計(jì)算CA段內(nèi)任橫一截面

2-2截面上的扭矩。假設(shè)T2

為正值。結(jié)果為負(fù)號(hào)，說(shuō)明T2應(yīng)是負(fù)值扭矩BCx由平衡方程(-)46ABCD在BC段內(nèi)在AD段內(nèi)1133注意：若假設(shè)扭矩為正值，則扭矩的實(shí)際符號(hào)與計(jì)算符號(hào)相同。(-)(+)47+4.789.566.37最大扭矩在CA段內(nèi)。ABCD作出扭矩圖T圖（kN.m）48§3-4等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力?強(qiáng)度條件一、橫截面上的應(yīng)力

預(yù)先在圓桿的表面畫(huà)上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。49MeMe等直圓桿扭轉(zhuǎn)變形后，兩圓周線繞桿件的軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，兩圓周線的形狀和大小均未改變;在變形微小的情況下，縱向線則傾斜了一個(gè)相同的角度

。試驗(yàn)結(jié)果：50剛性平面假設(shè)：變形前垂直于軸的圓形橫截面，在變形后仍保持為同樣大小的圓形平面。且半徑仍為直線。MeMe51aabATTdxDb1.幾何方面d是b—b截面相對(duì)于a—a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度。傾角

是橫截面圓周上任一點(diǎn)A處的切應(yīng)變52EG也傾斜了一個(gè)角度

是橫截面半徑上任一點(diǎn)E處的切應(yīng)變。aabATTdxDbGE經(jīng)過(guò)半徑O2D上任一點(diǎn)G的縱向線EG。53此時(shí)式說(shuō)明：同一半徑

圓周上各點(diǎn)切應(yīng)變

均相同，且其值與

成正比。aabATTdxDbGE542.物理方面由剪切胡克定律同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力

均相同

，且其值與成正比，

垂直與半徑。553.靜力學(xué)方面整個(gè)橫截面上的內(nèi)力元素

的合力必等于零，并組成一個(gè)力偶這就是橫截面上的扭矩。roTdAdA56roTdAdA57上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公式roTdAdA58稱為橫截面對(duì)圓心的

極慣性矩式中：T

為橫截面上的扭矩；

為求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離：59oT（1）橫截面周邊各點(diǎn)處，切應(yīng)力將達(dá)到最大值。說(shuō)明：切應(yīng)力與

成正比。且垂直于半徑。指向與T的轉(zhuǎn)向一至。圓心處的切應(yīng)力為零。60WP

稱作扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為mm3

或m3。61圓軸扭轉(zhuǎn)62扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)公式二、極慣性矩及抗扭截面模量極慣性矩公式63do實(shí)心圓截面

64Ddo空心圓截面其中65ebfabcdxnfe三、斜截面上的應(yīng)力66efb截面的外法線n與x

軸間的夾角為

規(guī)定：并x

軸至截面的外法線

n逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)x67efbx假設(shè)ef

的面積為dAeb

的面積為dAcos

bf

的面積為dAsin

68efbefb69斜截面上應(yīng)力的計(jì)算公式ebfabcdxnfe70abcdxnfe71在

=-450

和

=+450

的兩斜截面上正應(yīng)力分別為

中的最大值和最小值，它們的絕對(duì)值都等于

，但一個(gè)為拉應(yīng)力，一個(gè)為壓應(yīng)力。且在這兩截面上切應(yīng)力等于零。abcdxnfe72以上結(jié)論是純剪切應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)，并不限于等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)這一特殊情況。73

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿內(nèi)各點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強(qiáng)度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作切應(yīng)力

max

不超過(guò)材料的許用切應(yīng)力

[]

。四、強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大工作切應(yīng)力

max

發(fā)生在最大扭矩所在橫截面（危險(xiǎn)截面）的周邊上的任一點(diǎn)處（危險(xiǎn)點(diǎn)），74

根據(jù)上述條件，可以解決三個(gè)方面的問(wèn)題（1）強(qiáng)度校核（2）截面設(shè)計(jì)

（3）確定許可荷載強(qiáng)度條件為75ABC例題2：圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為mA=22kN.m，

mB=36kN.m

，mC=14kN.m

。已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。76ABC解：作軸的扭矩圖+2214mA=22kN.mmB=36kN.mmC=14kN.m單位（kN.m）77

因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。分別校核兩段軸的強(qiáng)度ABC+2214單位（kN.m）78ll例題3：實(shí)心圓軸１和空心圓軸２，材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩m和長(zhǎng)度l

均相等，最大切應(yīng)力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為

=0.8，試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比。79解：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1，空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為

d2、D2。已知兩軸扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T

。ll80已知：所以ll81因此解得ll82兩軸材料、長(zhǎng)度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比。

在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕，即節(jié)省材料。83例題4：圖示空心圓軸外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm，

m1=6kN.m，m2=4kN.m，材料的切變模量G=80GPa。(1)畫(huà)軸的扭矩圖(2)求軸的最大切應(yīng)力，并指出其位置。m1m2ABCll84(1)畫(huà)軸的扭矩圖m1m2ABCllBC段：1m2CT1T1+m2=0(-)2m2Cm1BT2T2+m2-m1=0T2=2kN.m

AB段：(+)4kN.m-+2kN.mT1=-4kN.m最大扭矩發(fā)生在BC段Tmax=4kN.m85(2)求軸的最大切應(yīng)力，并指出其位置m1m2ABCll

max

最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上，且垂直于半徑。861.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

來(lái)度量的§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形?剛度條件是計(jì)算等直圓桿相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形87其中d

代表相距為dx

的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。長(zhǎng)為l的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

可按下式計(jì)算88對(duì)于同一材料制成的等直圓軸（G

，Ip為常量），當(dāng)只在兩端受一對(duì)外力偶作用時(shí)（T

為常量）

，從上式可得GIP

稱作扭轉(zhuǎn)剛度892.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角90

在扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中，通常限制最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

’max

不超過(guò)許可扭轉(zhuǎn)角[

′]

。[

′]

稱作許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。二、剛度條件91圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件是92例題5：圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。已知：m1=1592N.

m，m2=955N.m

，m3=637N.

m。截面

A與截面B、C之間的距離分別為lAB=300mm和lAC=500mm。軸的直徑d=70mm，鋼的切變模量為G=80GPa。試求截面C對(duì)截面B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。BCA1293解法1：設(shè)截面B

固定不動(dòng)BCA1294BCA12TABTAB=m295BCA12TAB=m2TACTAC=-m396BCA12轉(zhuǎn)向與m3同97BCA12解法2

：假設(shè)A截面不動(dòng)，先分別計(jì)算截面B、C

對(duì)截面A

的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

AB

和

AC

。98BCA12與轉(zhuǎn)向同99BCA12與轉(zhuǎn)向同100BCA12截面C對(duì)截面B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

BC

為轉(zhuǎn)向與m3相同101解法3：設(shè)截面B固定不動(dòng)，先分別計(jì)算m1、m3單獨(dú)作用下截面C對(duì)截面B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

BC1和

BC2，然后疊加，即采用疊加法。BCA12102BCA12

BA

BC1m1單獨(dú)作用下截面C

對(duì)截面B

的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

BC1103BCA12

BC2m3

單獨(dú)作用下截面C對(duì)截面B

的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

BC2，104轉(zhuǎn)向與m3同C

截面對(duì)截面B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角105例題6：某汽車的主傳動(dòng)軸是用40號(hào)鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩m=1.98KNm,材料的許用切應(yīng)力

[]=100MPa，切變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[]=2/m

。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。Ddtmm106Ddtmm解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比107Ddtmm108由剛度條件由強(qiáng)度條件

109將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸，仍使

max=96.1MPad=47.2mm實(shí)心軸的直徑為實(shí)心軸的截面面積為空心軸的截面面積為110兩軸材料、長(zhǎng)度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比，

在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕，即節(jié)省材料。111例題7：

軸上有三個(gè)齒輪。軸的轉(zhuǎn)速為n=183.5r/min,G=80GPa。齒輪2的傳動(dòng)功率P2=0.756kW，齒輪4的傳動(dòng)功率P4=2.98kW。軸的[]=40MPa，[’]=1.50/m。設(shè)計(jì)軸的直徑。m2m3m4112m2m3m4畫(huà)軸的扭矩圖+-39.3N.m155N.m113由強(qiáng)度條件114由剛度條件取D=30mm115例題8：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用剪應(yīng)力[]=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角

[’]=0.8°/m，切變模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度。d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m116d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：畫(huà)扭矩圖+8kN.m3kN.m滿足強(qiáng)度要求117d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：+8kN.m3kN.m滿足剛度要求118例題9：圖示等直桿，已知直徑d=40