蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊 圓周角（專項練習）（培優(yōu)練）

專題2.11圓周角（專項練習）（培優(yōu)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024?浙江湖州?模擬預測）如圖，A3是。。的一條弦，點C是A3的中點，連接AO,OC,BD//AO

交。。于點連接A。，若NABD=20。，則ZAZ汨的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

2.（2024?湖北黃石三模）如圖所示，弦A3,C。所對的圓心角分別是—A03,ZCOD,若NAOB與NCOD

互補，AB=8,CD=6,那么。。的半徑為（）

A.5B.10C.5A/2D.5^

3.（2024?山東濟寧?模擬預測）如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上的兩點，連接AC,CD,AD,

若/ADC=75。，則一區(qū)4c的度數(shù)是（）

A.15°B.25°C.35°D.75°

4.（2024?河北邯鄲?二模）如圖，RtZSABC是工人李大爺自制的一個三角形紙板（厚度不計），已知

ABAC=9Q）°,=AC=10cm,李大爺將該三角形紙板放置在一個圓形工件上，使得頂點C都

在圓形工件的圓周上，將直角邊A8與圓形工件圓周的交點記為點D,恰好發(fā)現(xiàn)CD=3D,則該圓形工件

的半徑長為（）

A

A.10cmB.15cmC.20cmD.25cm

5.（2024?浙江溫州?三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于如果ZBOD的度數(shù)為124°,則NDCE的度數(shù)

為（）

C.62°D.60°

6.（23-24九年級上?河南三門峽?期中）如圖，G）C過原點O,且與兩坐標軸分別交于點48,點A的坐

標為（0,4）,點M是第三象限內(nèi)圓上一點，ZBMO=120°,則。C的半徑為（）

C.673D.2

7.（2024?遼寧遼陽三模）如圖，OA=2,以Q4為半徑，。為圓心作圓交射線4。于點8.仍以。4為半徑,

分別以/和2為圓心作弧交。。于點C和。.順次連接4C,B,D,則四邊形AC5D的面積為（）

A.273B.473C.8D.12

8.（2024?福建廈門?二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生

產(chǎn)中廣泛使用.如圖，筒車的半徑為2m,筒車上均勻設置了12個盛水筒，其中4B,C是相鄰的三個

盛水筒，在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速運動.通過觀察，當N離開水面時，C

恰好開始進入水中，每個盛水筒經(jīng)過水流用時3秒，離開水面6秒后水開始倒出，為使接水槽能夠盡可能

A.(2+㈣mB.25/3mC.2mD.3m

9.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，A3是。。的直徑，點￡在。。上，垂足為C,AC=4,CE=40,

點G在。。上運動（不與￡重合），點尸為GE的中點，則CP的最大值為（）

C.473D.8

10.（23-24九年級下?浙江杭州?階段練習）如圖，AABC是等邊三角形，。。為AABC的外接圓，點。在劣

弧2C上，連結(jié)AD,BD,CD,并在AD上取點E,使得CD=￡>E,連結(jié)CE.若CD=1,BD=2,則。。的

半徑為（）

D.

2

、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2024?陜西?中考真題）如圖，BC是。。的弦，連接。8,OC,NA是2C所對的圓周角，則/A與NOBC

12.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）如圖，AABC內(nèi)接于。。，AB=BC,ZABC=120°,為。。的直徑,

AD=6,貝.

13.（2024?遼寧大連?一模）如圖，A8是。。的直徑，點C,。是。。上的兩點.若WC=106。,則，C43

14.（23-24九年級下?江蘇南京?期末）在0。中，AB=BC=CD，BELAD,FG=1,則。。的面積

為

15.（2024?安徽蚌埠?三模）如圖，為半圓的直徑，。為圓心，C、。為半圓弧上兩點，且=

若NC4B=10。，則NC的度數(shù)為.

16.（2024?山西呂梁?模擬預測）如圖，/是0。外一點，連接Q4交。。于點8,。是。4的中點，C是。。

上一點且滿足CD=6?,分別連接AC,BE,CE,若NA=24。，則NE=.

17.（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，在半圓。中，點C在半圓。上，點。在直徑AB上，將半圓。沿過

BC所在的直線折疊，使8c恰好經(jīng)過點。.若BC=Ji6,BD=1,則半圓。的直徑為.

18.（23-24九年級下?廣東東莞?階段練習）在直角4RC中，ZACB=90°,AC=4,3C=6,點尸是

內(nèi)一點，滿足NCBP=NACP,則R4的最小值為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（2024?安徽安慶一模）如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在。。上，平分NADC,連接OC,

且OC_LBD.

⑴求證：AB=CD-,

(2)若CD=5,BD=8,求。。的半徑.

20.（8分）（23-24九年級上?浙江?期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，分別延長BC,AD,使它們相

交于點￡,AB=8,且DC=DE.

⑴求證：ZA^ZAEB.

（2）若Z￡DC=90。，點C為助的中點，求。。的半徑.

A

D

E

C

B

21.（10分）（2024?河北廊坊?二模）如圖，AABC為等腰直角三角形，/ACS為直角，AC=3五,。在AB

的延長線上，且AB=3￡）,DE_LAD于點。，過5,C,。三點的0。交OE于點/，連結(jié)CF.求。。的

半徑.

探究：其他條件不變，將點C在圓上移動至點G,使AG=3G,求AG的長度.

22.（10分）（2024?浙江杭州?一模）如圖，點N,B,C,D,E在。。上順次排列，已知AB=3C,ZABD=ZBCE.

⑴求證：BD=CE；

（2）若直線AE過圓心。，設/BCE的度數(shù)為。，CO的度數(shù)為夕.

①當月=60時，求。的值；

②探索a和尸滿足的等量關系.

23.（10分）（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）A3為。。的直徑，弦C。交Q4于點不與。重合），且

AC=AD-

⑴如圖1,求證：ABLCD；

（2）如圖2,點P為3C上一點,.連接OC交于點F,FC=AC,求證：/BPC=2NPAC；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BC交尸于點G,若BG=5,CE=6求。。的半徑.

——

A'

圖1圖2圖3

24.（12分）（23-24九年級上?全國?課后作業(yè)）"善思"小組開展”探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論:對

角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究.

D

圖1

提出問題:

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點5,D,連接AD,AB,BC,CD,如果=那么4B,C,D

四點在同一個圓上.

探究展示:

如圖2,作經(jīng)過點4C,。的。。，在劣弧AC上取一點E（不與C重合），連接AE,CE,則

ZAEC+ZD=180°（依據(jù)1）,

EI/B=ZD,0ZAEC+ZB=180°,

團點4B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）,

回點2,。在點4C,E所確定的。。上（依據(jù)2）,

團點4B,C,。四點在同一個圓上.

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：;

依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形ABCD中，Z1=Z2,Z3=45°,則N4的度數(shù)為.

拓展探究：

（3）如圖4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,點。在3C上（不與8C的中點重合），連接AD.作

點C關于AO的對稱點E,連接￡B并延長交AD的延長線于P,連接AE,DE,CE.求證：A,D,B,

E四點共圓.

參考答案：

1.C

【分析】連接0Q,根據(jù)圓周角定理可得NAOD=2NABD=40。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理求得NADO=NQ4D=70。，由平行線的性質(zhì)得NAOD=NO05=4O。，即可求解.

【詳解】解：連接0Q,

團NABD=20。,

ZAOD=2ZABD=4Q°,

團AO=OD,

1800-40°

國ZADO=ZOAD=————=70°,

2

團3D〃AO,

^ZAOD=ZODB=40°,

團ZADB=ZADO+ZODB=70°+40°=110°,

【點撥】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關知

識是解題的關鍵.

2.A

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理，延長AO交O。于點E,連接班，由

ZAOB+ZBOE=ZAOB+NCOD知ZBOE=/COD,據(jù)此可得5￡=CD,在RtzXABE中利用勾股定理求

解可得.

【詳解】解：如圖，延長AO交。。于點E,連接3E,

D

C

A7B

則ZAOB+Z.BOE=180°,

又國ZAO3+ZCOD=180°,

SZBOE=ZCOD,

0BE=CD=6,

EIAE為。。的直徑，

0ZAB￡,=9OO,

^AE=ylAB2+BE2=782+62=10>

回0。的半徑=；AE=5,

故選A.

3.A

【分析】本題考查了直徑所對圓周角性質(zhì)，同弧所對圓周角性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題關鍵是能

夠靈活運用圓周角定理及其推論.

連結(jié)BC,根據(jù)直徑所對圓周角可得/ACB=90°,由同弧所對圓周可求出/ABC的度數(shù)，利用直角三角

形兩銳角互余求出/R4C的度數(shù)即可.

EIAB是。。的直徑，

:.ZACB=90°,

^AC=AC

SZABC=ZADC='75°,

ABAC=90°-ZABC=90°-75°=15°.

故選：A.

4.A

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，90。的圓周角所對的弦是直徑，先根據(jù)

等邊對等角的到=然后得到NADC=/3+NDCB,進而求出CD=2AC,然后根據(jù)CD是圓O

的直徑即可解題.

【詳解】解：SCD^BD,

0ZB=ZZ）CB=15°,

0ZADC=Zfi+Z￡）CB=15°+15°=30°,

0CD=2AC=2xlO=2Ocm,

0ZBAC=90°,

EICZ）是圓。的直徑，即半徑長為10cm,

故選A.

5.C

【分析】根據(jù)圓周角定理可得NA的度數(shù)，由圓的內(nèi)接四邊形對角互補可得NA+N38=180。，又由

NDCE+/3CD=180。可得"CE=NA,從而可得—DCE的度數(shù).

本題主要考查了圓周角定理及其推論，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

【詳解】-.■ZBOD=124°,

ZA=-ZBOD=-xl24°=62°,

22

回四邊形A3CD內(nèi)接于。。，

ZA+ZBCD=180°,

?.?ZDCE+ZBCD^180°,

ZDCE=ZA=62°.

故選：C.

6.A

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，坐標與圖形，

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得到N54O=60。，再由90。的圓周角所對的弦是直徑得到AB是直徑，求出

04=4,進而求出AB=2Q4=8,是解題的關鍵.

【詳解】解：回0、A、B、加都在圓上，ZBMO=120°,

0ZBAO=180O-NBMO=60°,

回404=90°,

團A3是。C的直徑，NABO=30。，

0A（O,4）,

團。4=4,

團AB-2。4=8,

團。。的半徑為4,

故選：A.

7.B

【分析】本題主要考查直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定，矩形的判定等知識，連接。氏。C,

證明AAOCQBOD是等邊三角形，可得ZOAC=ZOBD=60。,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得

NAO5=NACB=90。，由三角形內(nèi)角和定理可得N8AD=30。,得N為C=90。,進一步證明四邊形ABCD是

矩形，再計算面積即可

【詳解】解：連接。民。C,如圖，

由作圖得，OA=AC=OC=OB=OD=BD=2,

回AAOCABOD是等邊三角形，

SZOAC=ZOBD=6Q°,

回AB是0。的直徑，

0ZAZ)B=ZACB=90°,

0ABAD=180。-90°-60°=30°,

0ADAC=Z.DAB+ABAC=30°+60°=90°,

0ABDA=ADAC=ZACB=90°,

回四邊形A3CD是矩形，

又BC=yjAB2-AC2=742-22=2瓜

回矩形ABCD的面積為ACx=2x26=4區(qū)

故選：B

8.B

【分析】本題考查了圓周角定理的應用，勾股定理的應用.作出圖形，求得AAOC是等邊三角形，證明

C、。、M在同一直線上，利用圓周角定理和勾股定理即可求解.

【詳解】解：接水槽距離水面的最大高度是指盛水筒離開水面開始倒水的位置，如圖，

直線表示接水槽距離水面的最大高度的位置，即盛水筒/恰好轉(zhuǎn)到M的位置倒水,

直線AB表示水面，筒車的圓心為。，則。4=OB=OC=2m,

由題意得ZA0B=ZBOC=4360丁°=30°,

0ZAOC=60°,

團AAOC是等邊三角形，OA=AC=OC=2m,

回每個盛水筒經(jīng)過水流用時3秒，離開水面6秒后水開始倒出，

國AM=2AC，

0ZAOM=1ZAOC=120°,

0ZAOM+ZAOC=180°,

團點C、O、M在同一直線上，

0CM為直徑且CM=4m,

EINC4M=90°,

0AM=《CM?一AC?=2也(m),

回接水槽距離水面的最大高度是26m,

故選：B.

9.B

【分析】此題主要考查了垂徑定理，四點共圓，勾股定理，作出輔助線判斷出點O,CE,尸四點共圓是解本

題的關鍵.

先判斷出點O,CE,尸四點共圓，判斷出C尸的最大值為OE,再求出OE即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接OE,OF,

回點尸是EG的中點，

團OF_LEG,

⑦NOFE=90。,

BCE1AB,

團NOCE=90。,

ZOCE+ZOFE=180°f

團點O,C,瓦方在以0E為直徑的圓上，

回。上大值二°E,

在尺以。石。中，OC=OE-AC=OE-4,CE=442,

根據(jù)勾股定理得，OC2+CE2=OE2,

0(OE-4)2+(4近了=OE2,

團OE=6,

E1CP的最大值為6,

故選：B.

10.B

【分析】根據(jù)AABC是等邊三角形，以及圓周角定理得出NADC=NABC=60。，從而證明ACDE是等邊三

角形，求出CE>=CE=DE=1,再證明△ACEgA3CD(S4S),證出AE=3￡>=2,過點C作C0LDE,算

出EM=L,CM=8,AB=AC=5,連接49,BO,過點。作。尸，AB,得出AF=也，再用勾股定理

222

即可解答；

【詳解】回&4BC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=ABAC=60°,CA=CB

AC=BC>

ZADC=ZABC=60°,

?.?CD=DE,

團△CDE是等邊三角形，

/.NDCE=6V,CD=CE=DE=',

QZACE+Z.BCE=60°,/BCE+/BCD=60°,

:.ZACE=ZBCD,

團AACE/ABCD(SAS),

:.AE=BD=2,

過點。作

貝ljEM=DM」0E」,CM=ylCE2-EM2=—

222

/.AC=y/AM2+CM2=112+1j+曰="

/.AB=BC=AC=近，

連接AQBO,過點。作。尸，AB,

則AO=BO,A/=3尸=工45=也，

22

QZAOB=2ZACB=120°,

:.ZOAB=30°,

...OA2=goA)+AF2,

解得：OA二叵.

3

故選：B.

【點撥】該題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)判定，特殊直角三角形，圓周角定

理，勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點.

11.90。/90度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關鍵.根據(jù)圓周角定理可得=結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明2NA+NOBC+/OCB=180。，

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知ZOBC=ZOCB,由此即得答案.

【詳解】是BC所對的圓周角，/3OC是BC所對的圓心角，

:.ZBOC=2ZA,

Z.BOC+AOBC+Z.OCB=180°,

2ZA+ZOBC+Z.OCB=180°,

-.-OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

2ZA+Z.OBC+AOBC=180°,

:.2ZA+2ZOBC=1SO°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案為：90°.

12.3G

【分析】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，根據(jù)等角對等邊以及

三角形內(nèi)角和定理得出NACB=30。,進而得出？他D90?,NADF=NACB=30。，根據(jù)含30度角的直角

三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可求解.

【詳解】解：=ZABC=120°,

0ZACB=30°,

團AD為。。的直徑，

07ABZ)90?,

又ZADB=ZAC3=30°,

13在RtZXA皮)中，AD=6,

SAB=-AD=3,

2

^BD=^AEr-AB1=而-學=

故答案為：373.

13.16°

【分析】本題考查圓中求角度，涉及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、直角三角形兩銳角互

余等知識，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、圓周角定理是解決問題的關鍵.連接BC,如圖所示，由圓內(nèi)接

四邊形性質(zhì)得到NABC=74。,再由直徑所對的圓周角是直角及直角三角形性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：連接3C,如圖所示：

ZABC=180°-106°=74°,

???A3是。。的直徑，

:.ZACB=90°,

二NR4c=90°—74°=16°,

故答案為：16。.

14.3萬

【分析】延長班交。。與X,連接。3,OC,利用垂徑定理可得出AB=AH，利用圓周角定理等可得出

ZABE^ZBAC,NAO3=N3OC=NC8=60。，2ABD90?,利用余角的性質(zhì)、等角對等邊等得出

BF=GF=AF=1,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)，求出=EO=；BO,在RtABEO中，利用勾

股定理得出求出30,最后利用圓的面積公式求解即可.

【詳解】解回延長BE交。。與〃，連接OB,OC,

團A3=A”，？ABD90?，

團AB=BC=CD，

0AB=BC=CD=AH，^AOB=ZBOC=/COD=180°=60°,

團NABE=NBAC,

又/BAE+/EBG=90。,/BAC+ZAGB=90。,

⑦ZEBG=ZAGB,

田BF=GF=l,

^ZABE=ZBAC,

^\AF=BF=1,

國NCOD=60。,

ZCAD=-ZCOD=30°

2f

BEF=-AF=-,

22

3

^\BE=BF+EF=-,

2

0BE1EO,ZAOB=60°,

SZ￡BO=30°,

^EO=-BO,

2

XBE2+OE2=BO\

41：+/回、5。2，

0BO=\[3,

回00的面積為萬?=3"，

故答案為：3萬.

【點撥】本題考查了垂徑定理圓周角定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意，添

加合適輔助線是解題的關鍵.

15.400/40度

【分析】本題考查了等邊對等角，直徑所對的圓周角為直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識.熟練掌握等邊

對等角，直徑所對的圓周角為直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

如圖，連接8C,則NACB=90。，由AD=OC,可得/ACD=ND4C,由

ZACD+Z.CAB+ADAC+ZACB=180°,可得/ACD=血-(/03+/一俎,求解作答即可.

【詳解】解：如圖，連接5C,

團AB為半圓的直徑,

0ZACB=9O°,

團AD=DC,

團NACD=/DAC,

團ZACD+ZCAB+/DAC+ZACB=180。，

180°-(ZCAB+ZACB)

0ZACD=--------------------------)-=40°,

2

故答案為：40°.

16.33。/33度

【分析】此題考查了圓周角定理、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理等知識，先證明ZACO=90。，再求出

ZAOC=90°-ZA=66°f根據(jù)圓周角定理即可得到答案.

【詳解】解：連接OC,

BAD=OD,

⑦CD=OD

⑦AD=OD=CD

團ADAC=ZACD,ZDCO=ZCOD

團ZACO=ZACD+ZOCD=1(ZACP+ZCAD+ZOCD+ZCOD)=gx180。=90。,

0ZAOC=9O°-ZA=66°,

^\ZE=-ZAOC=33°

2

故答案為：33°

17.4

【分析】本題考查了利用弧、弦、圓心角的關系求解，結(jié)合半圓（或直徑）所對的圓周角是直角、圓周角

定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識，熟練掌握知識點推理、正確計算

是解題的關鍵.利用弧、弦、圓心角的關系，證明CD=AC,根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角、

圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理列出一元二次方程3+；［-七］=（9『-5+1）2求

解，進而得出半圓0的直徑即可.

【詳解】解：如圖，點。為圓心，過點C作C//J_A3交于點H,連接AC、OC、CD,

回在半圓。中，點C在半圓。上，點。在直徑A3上，將半圓。沿過2C所在的直線折疊，使恰好經(jīng)過

點,D,

回C。和AC是等圓中的圓弧，且所對的圓周角都等于/ABC,ZACB=ZCHB=90°,

回。。和4c所對的圓心角也相等,

^CD=AC>

團CD=AC,

又13s_LAB,BC=5,BD=1,

國設AH=DH=a,貝！J3"=a+1,

Afi1

AB=2a+l,AO=BO=CO=——二a+—,

22

OD=BO-BD=a+--1=a--,

22

OH=DH-OD=a-[a-g

2,

0CH2=CO"-OH2=BC2-BH1,

la+2-

整理得：2a2+3〃-9=0,

（2a-3）（a+3）=0,

團2a-3=0或。+3=。，

3

解得：％=；，出=-3（負值舍去），

3

團半圓0的直徑A3=2?萬1=4,

故答案為：4.

18.2

【分析】本題考查點與圓位置關系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關鍵是確定點尸位置，學會求

圓外一點到圓的最小、最大距離.首先證明點尸在以5C為直徑的上，連接Q4與0。交于點尸,此時

最小，利用勾股定理求出。4即可解決問題.

【詳解】解：EZACB=90°,

0ZBCP+ZPC4=9O°,

@NPBC=NPCA,

0ZCBP+ZBCP=90°,

0ZBPC=9O°,

團點尸在以3c為直徑的。。上，連接。4交。。于點。，此時最小，

^OP=-BC=3,

2

在Rtz\C4O中，0ZOC4=9O°,AC=4,OC=-BC=3,

2

0（M=VOC2+AC2=V32+42=5-

回24=。4—OP=5—3=2.

故答案為：2.

19.⑴見詳解

【分析】本題考由圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，圓心角、弧、弦的關系，關鍵是由圓周角定理、垂

徑定理推出=C。，由垂徑定理、勾股定理得到關于圓半徑的方程.

(1)由角平分線定義得到=由圓周角定理推出AB=BC，由垂徑定理推出BC=，得

到=由圓心角、弧、弦的關系推出AB=CD；

(2)連接08,0C與3。交于E,由垂徑定理得至l]BE=DE=gx8=4,由勾股定理求出

CE=WD2-DE2=^^=3,設。。半徑為人由勾股定理得到r=4?+(一3>,求出廠=一，即可得到圓

6

的半徑長.

【詳解】(1)證明：團05平分NAPC,

:.ZADB=ZCDB,

/.AB=BC，

???OC^BD,

BC=CD，

AB=CD，

AB=CD；

(2)解：連接。氏OC與3。交于石，

?.?OCLBD,

:.BE=DE=-xS=4,

2

\CE=yjCD2-DE2=V52-42=3，

OE=r—3,

■.■OB2=OE2+BE2,

.?.,二不+(—3)2,

25

r=

69

回。。的半徑是弓25.

6

20.⑴見解析

(2)2石

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等；

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得=再根據(jù)等邊對等角可得再根據(jù)等量代換，即

可求解；

（2）連接AC,根據(jù)90。的圓周角所對的弦是直徑得出AC為。。的直徑，由等角對等邊得AB=fiE=8,

根據(jù)勾股定理得AC=JAB2+BC2，即可求解；

掌握相關的性質(zhì)，能由皿C=90。找出連接AC的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：???四邊形A3CD內(nèi)接于。。，

0ZA+ZBCD=180°,

0ZBCD+ZDCE=180°

：.ZA=ZDCE,

?/DC=DE,

:.ZE=ZDCE,

:.ZA=ZAEB-.

0ZADC=9O°,

AC是。。的直徑，

:.ZABC=90°,

?;NBAD=NAEB,

AB=BE=8,

:點、C為8E的中點,

BC=-BE=4,

2

在RtaABC中，

AC=4AB1+BC-

=V82+42

=4A/5，

,。。的半徑為2君.

21.。。的半徑為36，AG=3A/10-

【分析】連接3尸，由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得AC=3C=3亞，3D=AB=6

,/45。=/。歸=45。,/4)=90。,進而證明點人、C、P三點共線，利用勾股定理求得3尸=

JBD'D>=/2+122=6&唧可求得。。的半徑，探究:如圖，連接G尸，先證明4=BM,

再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/GFB=ZBCM=45°,從而利用勾股定理即可得解。

【詳解】解：連接BF,

回AABC為等腰直角三角形，/ACS為直角，AC=3A/2,AB=BD,

SAC=BC=3y/2,BD=AB=J（3A/2+（372）2=6/WC=/C45=45"AC8=90。,

回?！阓LAD,

國防。。的直徑,

國NBC尸=90。，

0NACB+NBCF=180°,

團點A、C、/三點共線，

回/C43=45°,OE_LAD,

0AADF是以XBDF為直角的等腰直角三角形，

0Z)F=AD=6+6=12,

0=JBD2+DF?=+12?=6/'

團0。的半徑為述=36，

2

探究：如圖，連接GF,連接GC并延長交AB于M,

SAG=BG,AC=BC,

回點C在線段AB的垂直平分線上，點G在線段AB的垂直平分線上,

0GMLAB,AM=BM,

MACB=90。，

0cM=BM,NBCM=45°,

03廠是。。的直徑，

EI/BGr=90°,

回四邊形CB。歹是。。的內(nèi)接四邊形，

0NGFB=NBCM=45°,

回ABGF是等腰直角三角形，

SAG=BG=GF=—BF=3y/l0-

2

【點撥】本題主要考查了圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

圓周角定理等，熟練掌握圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關鍵。

22.⑴見解析

(2)①cr=110。；②6a+￡=720。，理由見解析

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓心角、弧、弦的關系以及圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補,

圓心角、弧、弦的關系以及圓周角定理是正確解答的關鍵.

(1)根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系，圓周角定理進行解答即可；

(2)①根據(jù)==得到NAOB=40。，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行解答即可.

②根據(jù)①中原理進行解答即可.

【詳解】(1)證明：(1)-.-AB=BC,

AB=BC，

■.■ZABD=ZBCE,

AED=BAE>AE+DE^AB+AE<

…AB=DE，

AB=BC，

?二DE=BC，

?=BC+CD=DE+CD，

即BD=CE，

BD=CE；

(2)解：①CD的度數(shù)刀=60°,

1QAO_6。。

AB=BC=DE,其度數(shù)都等于~=40°,

.*.ZAOB=40°,

丁點A、點6、點。、點E1在0。上，

/.ZBCE+ZA=180°,

1800-40°

ZBCE=180。-(——-——)

=180°-70°

=110°,

即a=110。；

②6c+￡=720。，理由如下：

???co的度數(shù)/，

AB=BC=DE,其度數(shù)都等于,

-=1^,

3

???四邊形ABCE是G)O的內(nèi)接四邊形，

/.ZBCE+ZA=180°,

:.ZBCE=1800-ZA

二180。一(幽丁嗎

=90°+-ZAOB

2

=90。+'g~

23

即…。。+o

.\6cr+/?=720°.

⑵詳見解析

,25萬

14

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，全等三角形性的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，

三角函數(shù)等

(1)連接OC、0D,由同弧所對的圓周角相等得NAOC=/AOD,由等腰三角形的性質(zhì)得OE_LCD,即

可求證；

(2)設NCPA=a,由圓周角定理得NAOC=2a