人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓周角定理【十大題型】原卷版

專題24.4圓周角定理【十大題型】

【人教版】

【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】...................................2

【題型2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等的運(yùn)用】..................................................3

【題型3直徑所對(duì)的圓周角是90。的運(yùn)用】......................................................4

【題型4翻折中的圓周角的運(yùn)用】..............................................................5

【題型5利用圓周角求最值】...................................................................6

【題型6圓周角中的證明】....................................................................7

【題型7圓周角中的多結(jié)論問(wèn)題】..............................................................9

【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問(wèn)題】.......................................10

【題型9圓周角與量角器的綜合運(yùn)用】..........................................................11

【題型10利用圓周角求取值范圍】.............................................................12

【知識(shí)點(diǎn)1圓周角定理及其推論】

/4。3是@所對(duì)的圓心角，

定理：圓周角的度數(shù)等于它所NC是痛所對(duì)的圓周角，

對(duì)的弧的圓心角度數(shù)

)ZC=-ZAOB

的一半2

NC和都是G所對(duì)的圓周

圓角

周

角推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓ZC=ZD

定周角相等

理

A3是O。的直徑

CNC是翕湖對(duì)的圓周角

B?A

推論2：直徑所對(duì)的圓周角是ZC=90°

直角，90。的圓周角NC是卷所對(duì)的圓周角

所對(duì)的弦是直徑ZC=90°

A5是的直徑

【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】

【例1】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是。。的直徑，。。上的兩點(diǎn)A,5分別在直徑的兩側(cè),

且NA8C=78°,則NAOO的度數(shù)為（）

A.12°B.22°C.24°D.44°

【變式1-1］（2022?溫州）如圖，AB,AC是。。的兩條弦，0Q_LA3于點(diǎn)。，OE_LAC于點(diǎn)E,連結(jié)OB,

OC.若NDOE=130°,則N50C的度數(shù)為（）

A.95B.100°D.130°

【變式1-2］（2022?藍(lán)山縣一模）如圖，點(diǎn)A,B,。在。。上，Zl=40°,ZC=25°,則N5=（）

A.100°B.70°D.65

【變式1-3］（2022春?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB,為。。的兩條弦，若NA+NC=120°,AB=2,

CD=4,則。。的半徑為（）

Bj

C

D

A.2V5B.2V7C告D.第

【題型2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等的運(yùn)用】

【例2】（2022?保亭縣二模）如圖，42為。。的直徑，點(diǎn)C、。在圓上，CELA3于點(diǎn)E,若/。=48°,

則Nl=()

A.42°B.45°C.48°D.52°

【變式2-1］（2022?南充）如圖，AB為。。的直徑，弦CD_L48于點(diǎn)E,。尸_LBC于點(diǎn)孔ZBOF=65°,

【變式2-2］（2022?十堰二模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=54°,以BC為直徑的。。交

A8于點(diǎn)。.￡是。。上一點(diǎn)，且朝=麗，連接OE過(guò)點(diǎn)E作EPLOE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R則/

尸的度數(shù)為（）

A.92°B.108°C.112°D.124°

【變式2-3］（2022?本溪模擬）如圖，在。。中，AB=BC,直徑CDLA8于點(diǎn)N,尸是衣上一點(diǎn)，則/

【題型3直徑所對(duì)的圓周角是90°的運(yùn)用】

【例3】（2022?中山市三模）如圖，A8是。。的直徑，若AC=2,ZZ）=60°,則BC長(zhǎng)等于（）

A.4B.5C.V3D.2V3

【變式3-1］（2022?濰坊二模）如圖，已知以△ABC的邊AB為直徑的。O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,ODJ_AC交。。于點(diǎn)

D,連接30.若/BAC=36°,則NODB的度數(shù)為（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【變式3-2］（2022?江夏區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，。。的直徑A2為8,。為公上的一點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)E,若

CE=3AE,ZBAC=30°,則。E的長(zhǎng)是（）

【變式3-3］（2022秋?如皋市校級(jí)期中）在。。中，A2為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交

A8于點(diǎn)。，連接CD

（1）如圖1,若點(diǎn)。與圓心。重合，AC=2,求。。的半徑廠；

（2）如圖2,若點(diǎn)。與圓心。不重合，ZBAC=25°,求NOC4的度數(shù).

【題型4翻折中的圓周角的運(yùn)用】

【例4】（2022春?福田區(qū)校級(jí)月考）如圖，是。。的直徑，BC是。。的弦，先將比沿2c翻折交

【變式4-1]（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖，在。。中，為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于點(diǎn)。，連結(jié)C。，若NBAC=25°,則NBOC的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

【變式4-2]（2022秋?研口區(qū)期末）如圖，A8為。。的一條弦，C為。。上一點(diǎn)，OC〃A8.將劣弧AB

沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點(diǎn)。.若。為翻折后弧AB的中點(diǎn)，則（）

B.112.5°C.115°D.117.5°

【變式4-3］（2022秋?丹江口市期中）已知。。的直徑42長(zhǎng)為10,弦將。。沿CD翻折，翻

折后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)夕，若AB'=6,CB'的長(zhǎng)為（）

A

A.4V5B.2V5^4V5C.2V5D.2花或4百

【題型5利用圓周角求最值】

【例5】（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)〃在。。上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中點(diǎn)，尸是直徑上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=2,則△2阿周長(zhǎng)的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式5-1］（2022?陳倉(cāng)區(qū)一模）如圖，△A8C中，ZABC=45°,ZACB=15°,AB=4,。是邊8c上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫。。，分別交A3、AC于點(diǎn)E、凡連接ER則線段所長(zhǎng)度的最小值為.

【變式5-2］（2022秋?大連期末）如圖，AB是。。的直徑，42=2,點(diǎn)C在。。上，NC4B=30°,。為

曲的中點(diǎn)，E是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE最小值為（）

c

A.1B.V2C.V3D.2

【變式5-3］（2022?杏花嶺區(qū)校級(jí)三模）如圖，矩形48CD中，AB=j,BC=AB2,E為射線8A上一動(dòng)點(diǎn),

連接CE交以BE為直徑的圓于點(diǎn)H,則線段DH長(zhǎng)度的最小值為

【題型6圓周角中的證明】

【例6】（2022秋?定陶區(qū)期末）如圖1.在。。中AB=AC,ZACB=70°,點(diǎn)石在劣弧衣上運(yùn)動(dòng)，連接

EC,BE,交AC于點(diǎn)孔

（1）求NE的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使BE,AC時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)D,交8C于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)依

據(jù)題意在備用圖中畫出圖形.并證明：G為。M的中點(diǎn).

【變式6-1］（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知。為。。的直徑，A、8為。。上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧A8中

點(diǎn)，連接D4、BA,AC,且/B=30°.

（1）求證：ZZ）=30°；

（2）F、G分別為線段C。、AC上兩點(diǎn)，滿足=AG,連接AF、OG,取0G中點(diǎn)H,連接C”，請(qǐng)猜

測(cè)AF與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

B

【變式6-2]（2022?武漢）如圖，以A8為直徑的。。經(jīng)過(guò)AABC的頂點(diǎn)C,AE,8E分別平分/8AC和/

ABC,AE的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。，連接BD

（1）判斷△8OE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若A8=10,BE=2同,求BC的長(zhǎng).

【變式6-3]（2022?南召縣四模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了

解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：

從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的

弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,和BC是。。的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BOAB.M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M

向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段CB上從C點(diǎn)截取一段線段CN=AB,連接MA,MB,

MC,MN.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)X,連接MA,MB,MC.

任務(wù)：（1）請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過(guò)程.

（2）就圖3證明：MC2-MB-^BC'AB.

【例7】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在。。中，A8是。。的直徑，AB=10,數(shù)=①=麗，點(diǎn)E是點(diǎn)、D

關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，"是A8上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：

①NBOE=30°；?ZDOB=2ZCED；③。M_LCE；④CM+DM的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)

【變式7-1］（2022秋?淅川縣期末）如圖，已知：點(diǎn)A、B、C、。在。。上，AB=CD,下列結(jié)論：①/

AOC=ZBOD；@ZBOD=2ZBAD；?AC=BD；@ZCAB=ZBDC；⑤/CAO+/CDO=180°.其中

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式7-2］（2022秋?廈門期末）在AABC中，A8=AC,以AB為直徑的。。交BC邊于點(diǎn)D要使得。。

與AC邊的交點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段OA上（不與端點(diǎn)重合）,需滿足的條件可以是.（寫

出所有正確答案的序號(hào)）

①/a4c>60°；②45°<ZABC<60°；③?^AB<DE<^AB.

【變式7-3］（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，A2是。。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，S.OC//BD,與

BC,OC分別相交于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：@AD1BD；@ZAOC=ZAEC；③CB平分/AB。；@AF

=DF；⑤ACEF咨ABED.其中一定成立的結(jié)論是.（填序號(hào)）

【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問(wèn)題】

【例8】（2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）如圖，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（3,0）,點(diǎn)C在y

【變式8-1］（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=BD.若/ABC=H2°,則/ADC

【變式8-2］（2022?北京模擬）己知三角形ABC是銳角三角形，其中NA=30°,BC=4,設(shè)BC邊上的高

為h,則h的取值范圍是.

【變式8-3］（2022春?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,AB=BC=4,ZB=60°,

/C=105°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以CE為弦作圓，設(shè)該圓與四邊形48C。的一邊的交點(diǎn)為P,若/CPE

=30°,則EP的長(zhǎng)為

【題型9圓周角與量角器的綜合運(yùn)用】

【例9】（2022?南召縣模擬）以。為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的。刻度

線與斜邊A8重合.點(diǎn)。為斜邊AB上一點(diǎn)，作射線交弧AB于點(diǎn)E,如果點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的讀數(shù)為50°,

那么NBOE的大小為（）

【變式9-1］（2022秋?南京期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙片上，使點(diǎn)。在半圓圓心上,

點(diǎn)8在半圓上，邊48,AO分別交半圓于點(diǎn)C,D,點(diǎn)B,C,。對(duì)應(yīng)的讀數(shù)分別為160°、72°、50°,

則NA=.

【變式9-2］（2022秋?高港區(qū)期中）如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊A8與量角器的直徑重合，點(diǎn)。對(duì)

應(yīng)的刻度值為50°,則的度數(shù)為.

【變式9-3]（2022秋?北京期末）如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊48重合，其中量角器0

刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?。的速度旋轉(zhuǎn)，”與量角器

的半圓弧交于點(diǎn)E