專題03多面體與旋轉(zhuǎn)體（原卷版）

【原卷版】專題03多面體與旋轉(zhuǎn)體本章將討論柱體、錐體及球體等常見(jiàn)的空間幾何體的形狀、性質(zhì)和度量；對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的研究有許多實(shí)際的應(yīng)用；從粉墻黛瓦的傳統(tǒng)民居到高聳入云的摩天大樓，各式建筑雖然千姿百態(tài)，但它們往往都是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的．因此，簡(jiǎn)單幾何體的研究自古以來(lái)就是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中的“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉”等幾何體就是一些特殊的柱體和錐體；本教材延續(xù)了“二期課改”教材的內(nèi)容編排順序：先學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系（第10章），再學(xué)習(xí)本章的簡(jiǎn)單幾何體；這樣編排的意圖：一是通過(guò)第10章的學(xué)習(xí)，為本章理解幾何體各個(gè)元素之間的位置關(guān)系提供邏輯基礎(chǔ)；二是利用簡(jiǎn)單幾何體模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握空間圖形的位置關(guān)系．，與全國(guó)其他一些版本的教材不同．【本章教材目錄】11.1柱體11.1.1棱柱與圓柱；11.1.2柱體的體積；11.1.3柱體的表面積；11.2錐體11.2.1棱錐與圓錐；11.2.2錐體的體積；11.2.3錐體的表面積；11.3多面體與旋轉(zhuǎn)體11.3.1多面體；11.3.2旋轉(zhuǎn)體；11.4球11.4.1球；11.4.2球的體積；11.4.3球的表面積【本章內(nèi)容提要】1、多面體與旋轉(zhuǎn)體是兩類重要的幾何體（1）多面體：由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；（2）旋轉(zhuǎn)體：一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條直線在空間旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；2、本章所討論的“簡(jiǎn)單幾何體”有：（1）柱體（包括棱柱和圓柱），其中棱柱是多面體，而圓柱是旋轉(zhuǎn)體；（2）錐體（包括棱錐和圓錐），其中棱錐是多面體，而圓錐是旋轉(zhuǎn)體；（3）球，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體；3、我們主要關(guān)注所涉及幾何體的體積和表面積的計(jì)算（1）柱體的體積和表面積：柱體的體積：V柱＝S底h(S底為底面面積，h為高)；直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的表面積：S表＝ch＋2S底；圓柱的表面積：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2；其中，S底，h與c分別是柱體的底面積、高與底面周長(zhǎng)，r是圓柱的底面半徑;（2）錐體的體積和表面積：錐體的體積：V錐＝eq\f(1,3)S底h(S底為底面面積，h為高)；正棱錐（底面為正三角形或正多邊形且高通過(guò)底面中心的棱錐）的表面積：S表＝eq\f(1,2)ch′＋S底；圓錐的表面積：S表＝eq\f(1,2)cl＋S底＝πrl＋πr2；其中，S底、h與犮分別是錐體的底面積、高與底面周長(zhǎng)，h′是正棱錐的斜高，r與l是圓錐的底半徑和母線長(zhǎng)；（3）球的體積和表面積：球的體積：V球＝eq\f(4,3)πR3：球面面積：S球＝4πR2；其中，R是球的半徑；1、多面體的定義由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體；如：棱柱、棱錐、棱臺(tái)等幾何體都是多面體；2、多面體的分類多面體可以用它的面的數(shù)量進(jìn)行命名，有幾個(gè)面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，所以是四面體；長(zhǎng)方體（四棱柱）有六個(gè)面，是六面體．一般地，一個(gè)n棱錐,有一個(gè)底面和n個(gè)側(cè)面，所以是n＋１面體；n棱柱或n棱臺(tái)有兩個(gè)底面和n個(gè)側(cè)面，所以是n＋2面體;由此可見(jiàn)，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;3、基本多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形4、四面體四面體在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；5、正多面體與平面上的正多邊形類比，在空間中可以考慮正多面體．如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體；6、旋轉(zhuǎn)體的定義及其相關(guān)概念由一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的軸；與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)面；7、基本旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)題型1、有關(guān)多面體的概念及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)例1、（1）判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①多面體至少有四個(gè)面；（）②九棱柱有9條側(cè)棱,9個(gè)側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形；（）③長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱；（）④三棱柱的側(cè)面為三角形；（）⑤等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相同；（）【說(shuō)明】本題主要考查多面體與特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺(tái) B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱題型2、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及截面例2、（1）已知正四棱錐中，底面面積為，側(cè)棱的長(zhǎng)為，則該棱錐的高是.

【說(shuō)明】對(duì)于棱錐的計(jì)算，關(guān)鍵還是抓住“特殊”的直角三角形；（2）、如圖，四邊形AA1B1B為邊長(zhǎng)為3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，請(qǐng)你判斷這個(gè)幾何體是棱柱嗎？若是棱柱，指出是幾棱柱；若不是棱柱，請(qǐng)你試用一個(gè)平面截去一部分，使剩余部分是一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征．在立體圖中畫(huà)出截面；【說(shuō)明】本題考查了簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及截面的知識(shí)交匯；認(rèn)識(shí)一個(gè)幾何體，需要看它的結(jié)構(gòu)特征，并且要結(jié)合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關(guān)系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平面分割開(kāi)；題型3、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的平面展開(kāi)圖例3、（1）畫(huà)出如圖所示的幾何體的平面展開(kāi)圖（畫(huà)出其中一種即可）；（2）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)；【說(shuō)明】1、多面體的展開(kāi)與折疊：（1）由多面體畫(huà)平面展開(kāi)圖，一般要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其平面展開(kāi)圖；（2）由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推；2、求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過(guò)的最短距離，常將幾何體的側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題；題型4、有關(guān)簡(jiǎn)單多面體的高考真題體驗(yàn)例4、（2019·全國(guó)Ⅱ卷）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）；半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體；半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.（圖2）是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1；則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為；【說(shuō)明】本題考查學(xué)生的空間想象能力，抽象概括能力，解題關(guān)鍵是從“半正多面體”中作出一個(gè)截面為正八邊形且正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上，由此易得棱長(zhǎng)；題型5、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的概念及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)例5、（1）下列說(shuō)法正確的是（）A．矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周其余三邊形成的面所圍成的幾何體是圓柱B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．用一個(gè)平面去截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)D．圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；【說(shuō)明】本題考查了特殊旋轉(zhuǎn)體的定義與結(jié)構(gòu)特征（2）、給出以下四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是__________．【說(shuō)明】本題主要考查了準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的生成過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問(wèn)題的關(guān)鍵．要注意定義中的關(guān)鍵字眼，對(duì)于似是而非的問(wèn)題，可以通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)解決；題型6、有關(guān)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征例6、（1）如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()（2）、已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰(如圖)．分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？【說(shuō)明】關(guān)于平面圖形繞固定軸旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體的組成問(wèn)題，可采用如下方法解決：1、引線分割：由平面圖形的各定點(diǎn)向旋轉(zhuǎn)軸引垂線，將平面圖形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形；2、旋轉(zhuǎn)成體：將上述分割的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)形成不同的柱、錐、臺(tái)體解之；題型7、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算問(wèn)題例7、（1）一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為_(kāi)_______．（2）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為6和12，平行于底面的截面自上而下分母線為2∶1的兩部分，求截面的面積．【說(shuō)明】對(duì)于此類問(wèn)題，特別注意：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題；圓柱、圓錐、圓臺(tái)問(wèn)題要抓住它們的軸截面及其中線段與底面半徑、高、母線之間的關(guān)系，構(gòu)造矩形、直角三角形求解；題型8、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題例8、（1）如圖所示，有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱體，在A點(diǎn)處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱表面一周且由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬行的最短距離是多少？【說(shuō)明】本題考查了有關(guān)旋轉(zhuǎn)體“面上的最短問(wèn)題“，一般”展開(kāi)“往往是有效的方法；（2）、如圖所示，圓柱側(cè)面上有兩點(diǎn)B，D，在D處有一只蜘蛛，在B處有一只蒼蠅，蜘蛛沿怎樣的路線行走才能以最短的路程抓住蒼蠅？最短路程是多少？【說(shuō)明】1、用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，得到的截面與底面全等或相似，常結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的軸截面的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組來(lái)解決問(wèn)題；2、幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題，都應(yīng)該將幾何體的表面展開(kāi)，畫(huà)出展開(kāi)圖，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題；題型9、將多面體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題例9、（1）在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF將其折成一個(gè)多面體，則此多面體是________．（2）如圖所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC1周長(zhǎng)的最小值是________．題型10、有關(guān)多面體的綜合題例10、（1）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______．（2）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分別是CE和CF的中點(diǎn)．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；（3）求多面體ABCDEF的體積．題型11、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題例11、（1）某市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，某市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為某市某公園供游人休息的石凳，它可以看作一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長(zhǎng)為20eq\r(2)cm，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為cm2.（2）如圖1，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖2，已知圓柱的底面直徑AB＝16m，母線長(zhǎng)AD＝4m，圓錐的高PQ＝6m，則該蒙古包的側(cè)面積約為m2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))【答案】144π；題型12、有關(guān)幾何體的與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題例12、已知圓錐SO的底面半徑為1，若其底面圓周上存在兩點(diǎn)A，B，使得∠ASB＝90°，則該圓錐側(cè)面積的最大值為eq\r(2)π.（2）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1，（1）判斷平面四邊形OABC的形狀并求周長(zhǎng)；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．1、面數(shù)最少的多面體有________個(gè)面.2、棱柱的側(cè)棱最少有________條，棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)之間的大小關(guān)系是________．3、如圖所示，不是正四面體的展開(kāi)圖的是________．①②③④4、如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是5、若棱臺(tái)上、下底面的對(duì)應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是________.6、下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．7、下列四個(gè)命題中正確的是（）A．棱柱的底面一定是平行四邊形B．棱錐的底面一定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱8、下列說(shuō)法中，正確