上海市松江某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

松江二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.已知集合4==1x|0<x<31,則=

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,貝Iji?z=.

3.在（4—2了的展開式中，/的系數(shù)為.

4.雙曲線——/=i的兩條漸近線的夾角為

3--------

5.已知向量方=（—1,2）石=付,2）,且cos伍B〉=1,則彳=

6.函數(shù)/（x）在R上可導(dǎo)，若/（2）=3,則典/（2+3Ax2/（2-M.

'123、

7.已知隨機(jī)變量X的分布為111,且y=aX+3,若E[F]=—2,則實(shí)數(shù)a=

J36）

8.正方體Z8CD-481GA的棱長為2,P為棱CG的中點(diǎn)，△APD】以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋

轉(zhuǎn)體的表面積是.

DiC,

9.已知集合N=<|x221,xeR>,設(shè)函數(shù)y=log]X+a,（xe幺）的值域?yàn)?,若50/,則實(shí)數(shù)a

I%-2J5

的取值范圍為.

10.已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放

回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束，則恰好檢測四次停止的概率為.

22

11.如圖，己知「，鳥分別是橢圓。：二+與=1伍〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)，河,N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足

ab

F、M〃FK,且內(nèi)N|:內(nèi)M：EM=1:2:3,則橢圓C的離心率為.

12.已知Kb.c,2都是平面向量，且同=25—可=血—耳=1,若〈3,2〉=；,則歸―1+曲—@的

最小值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.“。=2”是“直線y=—ox+2與直線y=（x—1垂直”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.已知加，〃是兩條不同直線，a,6是兩個(gè)不同平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若切,〃平行于同一平面，則加與〃可能異面

B.若a,萬不平行，則在a內(nèi)不存在與A平行的直線

C.若加，〃不平行，則加與〃不可能垂直于同一平面

D.若a,6垂直于同一平面，則a與6可能相交

—■2—■

15.在△4BC中，弓是邊48上一定點(diǎn)，滿足片8=§48,且對于邊48上任一點(diǎn)尸，恒有

PBPC>^B-^C,則△N8C為（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

16.已知函數(shù)/（x）=儲，若函數(shù)g（x）="（x）T+〃（%）-e?-ae恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（）

A.（-00,-2e）B.（-00,-e）C.[―叫一斗D.[―叫一口

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17.（本小題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BC。是矩形，上4,平面4BCD,PA=AD=2,AB=1,以BD

的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

黃山原名“夥山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山

雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一.明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊

嘆說：“登黃山天下無山，觀止矣！”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽(yù)，為更好地提升

旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對景區(qū)進(jìn)行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分,

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；

（2）估計(jì)這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；

（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在［50,60）,［60,70）的兩組中共抽取6人，再從

這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流。求選取的2人評分分別在［50,60）和［60,70）內(nèi)各1人的概率.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式/（X）=X+3+2（加為實(shí)數(shù)）.

（1）函數(shù)歹=/（x）在區(qū)間［2,+00）上是嚴(yán)格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

（2）設(shè)機(jī)<0,若不等式/（x）〈乙在xe1,1上有解，求左的取值范圍.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

如圖，已知「，鳥是橢圓一丁+/=1的左右焦點(diǎn)，是其頂點(diǎn)，直線=狂+加/>0）與「相交

于48兩點(diǎn).

（1）求的面積尸；

（2）若/JLgN,點(diǎn)4〃重合，求8點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè)直線OA,OB的斜率分別為尢，左2，記以O(shè)A,OB為直徑的圓的面積分別為岳,S2,^OAB的面積為

S,若左1、k、左2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求S(S]+S2)的最大值.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

己知函數(shù)f(x)=xe2~~ax2-ax(a>0).

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)若/(x)的極大值為1—：,求。的值；

(3)當(dāng)a>2時(shí)，若對任意的X]e[1,+co),存在馬€(-8,0]使得/(芯)+/(%2)=0，求a的取值范

e

圍.

松江二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1?【答案】{152}

【解析】易知znB={i,2}.

2.【答案】—2+i

【解析】z=l+2i,i-z=i(l+2i)=—2+i.

3.【答案】—10

42

【解析】7]+1=C*(V^)x(-2y=-10x.

4.【答案】60°

【解析】兩條漸近線分別為y=±[x,夾角為60°.

5.【答案】±1

【解析】a-b=同?W-cos〈瓦B〉-%2+4=45x=±1.

6.【答案】12

[解析]lim〃2+3Ax)-/(2-Ax)=1ml/(2+3Ax)-”2)+/⑵-/(2-Ax)

ArfoAxAx

=lim/(2+3Ax)-/(2)+Um/(2)-/(2-Ax)=3的/(2+3Ax)-/(2)+./(2+Ax)-/(2)

AxAX->OAx3AxAx

=3/'（2）+/'（2）=12

7.【答案】-3

【解析[E[X]=lx-+2x-+3x-=-,E[Y]=E[aX+3]=aE[X]+3=-2^a=-3.

2363

8.【答案】2麗兀

【解析】由題意知，△耳犯為等腰三角形，aBD[=26,PD[=PB=4^,所以△BPD1以33為軸旋

轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是以AD1為中心軸,

和尸5分別為母線且同底的兩個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體,

可得圓錐的底面半徑為=所以S表=2?！?2&5兀.

9.【答案】（4,5]

(4-x)(x-2)>0

【解析】會"白一三。，即n2<x<4=>2=(2,4]

I'xw2

因?yàn)閤w4=(2,4],所以log[xe[—2,—1)Jog[x+ae2+a,—1+a),所以8=[—2+ct,—1+a)

22

-2+a〉2

因?yàn)?uA,所以1,解得4<a<5,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4,5]

—-l+tz<4

3

10.【答案】-

5

p11

【解析】由題意可知，2次檢測結(jié)束的概率為a=庶=而，

3次檢測結(jié)束的概率為a=0：+,正=1，

133

則恰好檢測四次停止的概率為p=l-p2-p3=l----=-

m【答案】半

【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c（c>0）,

如圖，延長兒陰，與橢圓交于點(diǎn)心連接用乙由F[M〃F?N,所以根據(jù)對稱性可知，陽￡|=|QN|,

設(shè)叵M=|44=/,/〉0,則閃M=2t：MM=3f,從而2a=內(nèi)網(wǎng)+陽M=5f,故內(nèi)4=4/,

\MF2

在片中，叵4=4/=|北國，所以cos/L〃5=R向

4

在△.心中，4c2=9r+4/2—2x3/x2/x；,即4c2=10』,

所以/=巫。，所以2a=JT5c,所以離心率6=巫

55

12.【答案】V26--

2

【解析】如圖設(shè)麗=心而=5扇礪=3,玩=工礪=2,

點(diǎn)5在以Z為圓心，半徑為’的圓上,

2

JT

點(diǎn)C在以M為圓心，半徑為1的圓上，ZNOM=-,

4

_____k1______kk3

所以。在射線ON上，所以出―2|+m—2|=|礪|+|反閉萬口—5+|加|—1=|萬口+|加|一5,

作的4關(guān)于射線ON的對稱點(diǎn)G,則|方不目方彳，且NGCU=m，

所以|54+|加/9己俞卜9=茅—g=M—（當(dāng)且僅當(dāng)。、G、加共線時(shí)取等號）,

|^—t/|+|c—1/|的最小值為A/26——.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)

13.【答案】A

【解析】“直線y=—?dú)W+2與直線歹=巴工一1垂直”等價(jià)于一ax@=—loa=±2,故選A.

44

14.【答案】B

【解析】在】內(nèi)與1和萬的交線平行的直線與萬平行，故B錯(cuò)誤.

15.【答案】B

【解析】取3C的中點(diǎn)的中點(diǎn)E,連接勺。,4￡(如圖所示)，則

M隹=(而+西.(而+反)=(而+西.(而-西=福-麗2,

-----?-----?------?2-----*2

同理尸8?尸C=P￡>-DB,

----------?----------?------------?------------?-----------*2-----*2------*2-----*2

因?yàn)镻B-PCN,所以尸￡>-DB>P0D-DB,

即而2?92,所以對于邊48上任意一點(diǎn)尸都有，48麗因此兄。，45,

--2—?

又PoB=^AB,D為BC中W,E為。C中點(diǎn)，

pDBD2

所以」」=—=-,所以不?！?E,即/氏4E=90°,所以/R4c>90。，即△4BC為針角三角

ABBE3°

形.

16.【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)=片的定義域?yàn)閧X|XH0},

lxl

(X—])QX

若X〉0時(shí)，由/(%)二一求導(dǎo)得，/'(')=----2--

XX

故當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)時(shí)，/'(x)〉0,

所以/(x)=厘在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增，且/(x)極小值=/(l)=e,

X

當(dāng)X—。+時(shí)，/(x)+00,當(dāng)X—+8時(shí)，+8；

(]—x)QX

若x<0時(shí)，由/(%)=---求導(dǎo)得,/,(%)=-----j，

XJC

因x<0,故恒有/'(x)〉0,即/(x)=—J在(―oo,0)上單調(diào)遞增，

X

且當(dāng)X-—8時(shí)，f(x)0+,當(dāng)X-0一時(shí)，/(x)f+8,即X<0時(shí)，恒有/(X)>0.

作出函數(shù)/(X)=『的大致圖像如圖所示.

又由g(x)="(x)]+/■(》)—e?—ae="(x)-e]"(x)+e+a]=0可得/(%)=6或

f(x)--Q-a,由圖知/(x)=e有兩個(gè)根，此時(shí)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

要使函數(shù)g(x)="(%)『+?/'(x)-e2-ae恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，

需使/(x)=-e-a有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使/(x)〉e,即-e-a>e,解得a<-2e.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,-2e).

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.【答案】(1)證明見解析；(2)120°

【解析】(1)因?yàn)槠矫?8CD,48u平面48CD,4Du平面4BCD,

所以,

又AB上AD,AD^PA=A,ADu平面PAD,PAu平面PAD,

所以48,平面P4D,又PDu平面P4D,所以4BLPD,

有題意可知BMLPD,又ABCBM=B,ABu平面ABM,BMu平面ABM,

所以平面4W.

(2)分別以AB,AD,AP所在直線為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

Z1

因P。，平面4gM平面4W,所以尸I1,

因?yàn)槭?=/。=2,所以M為尸。中點(diǎn)，

故？（0,0,2）,。（0,2,0）,河（0,1,1）,8（1,0,0）,。（1,2,0）,

平面ABM的一個(gè)法向量為/=麗=（0,2,—2）,

W=（-1,1,1）,5C=（0,2,0）,

設(shè)平面5cM的法向量為〃2=（x/,z）,

n2-BM二0-x+y+z=0

由＜得＜令x=-2得y=0,z=-2,

2y=0

n2-BC=0

4_1

貝|]〃2=(-2,0,-2),所以〈〃，〃〉

COS12272x272-5

因?yàn)槎娼茿-BM-C是鈍二面角,所以二面角A-BM-C的大小為120。.

18?【答案】

8

c1)x=0.03；(2)83.33；(3)—

15

【解析】⑴由圖知：10x(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=l,可得x=0.03.

(2)由10x(0.005+0.01+0.015)=0,3<0,4<10x(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6,所以40%分位

數(shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)，令其為加，

則0.3+0.03x（m-80）=0.4,解得加=80+1a83.33.所以滿意度評分的40%分位數(shù)為83.33.

（3）因?yàn)樵u分在［50,60）,［60,70）的頻率分別為0.05,0.1,

0.05

則在［50,60）中抽取x6=2人,設(shè)為a,6；

0.05+0.1

0.1

在［60,70）中抽取x6=4人,設(shè)為C,D,E,F；

0.05+0.1

從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有:{a,b},{a,C},{a,D},{a,E},{a,F},{b,C},{b,D},{b,E},{b,F},

{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共有15個(gè)基本事件,

設(shè)選取的2人評分分別在［50,60）和［60,70）內(nèi)各1人為事件4,

O

則有｛2。｝,｛凡。｝,｛名司,｛生尸｝,｛“。｝,｛4。｝,｛"號,｛仇/｝,共有8個(gè)基本事件，所以尸(2)=話.

22

19.【答案】(1)(-oo,4]；(2)當(dāng)加(一§時(shí)，Ew[4加+5,+8)；當(dāng)一§＜優(yōu)＜0時(shí),

k￡[加+3,+8).

【解析】(1)由題意，任取天、x2€[2,+oo),且匹＜X2，

貝!J/(12)―/(匹)=+%+2—匹+絲+2=(%2一2),—~~—＞0,

因?yàn)椋?一七〉°，%丁2＞0，所以看12一加〉0，即加＜西12，

由％2＞項(xiàng)22,得％I＞2＞4,所以冽44,所以，加的取值范圍是(一8,4].

m]m2

(2)由/得xH----卜24kx,因?yàn)閤s—,1，所以左之一—----F1,

x12」xx

令[=L則％所以后之加『+2/+1,令g(%)=加之+2i+l/￡[1,2],

于是，要使原不等式在XW1,1有解，當(dāng)且僅當(dāng)左Ng。%/，

因?yàn)闄C(jī)＜0,所以8(。=掰,+工]+l—_1-圖象開口向下，對稱軸為直線，=一'-＞0,

\mJmm

1+23

因?yàn)?41,2],設(shè)：[。為區(qū)間[1,2]的中點(diǎn)值，%=虧=5，

132

故當(dāng)0＜，＜九，即0＜---＜—,即加W—時(shí)，g(0min=g(2)=4m+5；

m23

132

當(dāng)務(wù)＜￡,即＞7,即一;＜加＜。時(shí),g?)min=g(D=加+3.

m23

22

綜上，當(dāng)加W——時(shí),ke[4機(jī)+5,+co)；當(dāng)—＜加＜0時(shí),ke[ZM+3,+co).

33

224

20.【答案】(1)Id—V3；(2)B（3）S（S+S2）的最大值不存在

2E'U

【解析】（1）容易求得片bG,0），8（G,0）,M（—2,0）,N（0,l）

所以，P=-\MF,\xb=l+-y/3.

21212

（2）易求左4N=—[，所以左=G，

代入直線方程得/:j=V3(x+2),設(shè)4(—2,0),8(x2,%),

戚/）0得⑶》…=0,

由＜

44224

由韋達(dá)定理得：—2X=—，解得/=----,y=

21321321313

f224

所以，8—記，百

(3)設(shè)2(%21),8(%2，%),

::加40得(1+4左2)/+8左蛆+4(加2—1)=

由＜0,

2

8km4(m-l

由韋達(dá)定理有：X]+%=-

彳記'X也=不而

且A=16(1+4左之一加2)>.

一九%(丘1+M(丘2+〃，

IV—fVi/v2_—，即左根（再+%）+加2=0.

XXX2X1X2

11

由韋達(dá)定理得左29二—,即左二—,

42

由A=16(1+4左2—加之)>o得加￡卜后,后)，

工+邑=a(x；+v；+考+4

S=\m\,2-加2=J加之(2_療)<1,

當(dāng)且僅當(dāng)m2=2-m2,即同=1時(shí)等號成立.

此時(shí)，直線方程為y=；x+l,該直線過〃,N,即3上2中有一個(gè)不存在，

所以，5(5]+邑)的最大值不存在.

21.【答案】(1)y=(1—a)x；(2)a=2；(3)\-,e--

lee」

rr

【解析】(1)/(x)=QX^x+\)-ax-a,則左=/(0)=l-a,

因?yàn)?(o)=o,所以切點(diǎn)(oj(o))即(0,0),

所以切線為y=(l-a)x.

(2)(x)=ev(x+1)-tzx-?=(x+D(e"-a),

因?yàn)閍>0,令/'(x)=0,解得x=-1或x=Ina,

①當(dāng)lna<—1時(shí)，即0<a<,時(shí)，/(同在卜哈也切上單調(diào)遞增，在(Ina,—1)上單調(diào)遞減，在(-l,+oo)

e

上單調(diào)遞增，

所以/(x)的極大值為/(Ina)=