高中數(shù)學(xué) 2.3數(shù)學(xué)歸納法同步測試 新人教B版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.3數(shù)學(xué)歸納法同步測試新人教B版選修2-2一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝eq\f(qn＋2－q,q－1)(n∈N*，q≠1)，在驗(yàn)證n＝1等式成立時，等式左邊的式子是()A．1 B．1＋qC．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3[答案]C[解析]左邊＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故選C.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從n＝k到n＝k＋1，左邊的式子之比是()A.eq\f(1,2k＋1) B．eq\f(1,22k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]eq\f(k＋1k＋2k＋3…k＋k,k＋1＋1k＋1＋2…k＋1＋k＋1)＝eq\f(k＋1k＋2k＋3…2k,k＋2k＋3…2k2k＋12k＋2)＝eq\f(1,22k＋1).故選B.3．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊()A．增加了一項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1)D．以上各種情況均不對[答案]C[解析]n＝k時，左邊＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1時，左邊＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)∴增加了eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，減少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1).故選C.4．(·秦安縣西川中學(xué)高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時，左邊所得的項(xiàng)為()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因?yàn)楫?dāng)n＝1時，an＋1＝a2，所以此時式子左邊＝1＋a＋a2.故應(yīng)選B.5．某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時該命題成立，則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時命題不成立，那么可推得()A．當(dāng)n＝4時該命題不成立B．當(dāng)n＝6時該命題不成立C．當(dāng)n＝4時該命題成立D．當(dāng)n＝6時該命題成立[答案]A[解析]由命題及其逆否命題的等價性知選A.6．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,2)(5n2－7n＋4)()A．n為任何正整數(shù)都成立B．僅當(dāng)n＝1,2,3時成立C．當(dāng)n＝4時成立，n＝5時不成立D．僅當(dāng)n＝4時不成立[答案]B[解析]經(jīng)驗(yàn)證，n＝1,2,3時成立，n＝4,5，…不成立．故選B.7．用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，左式為eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1時，左邊所得的代數(shù)式為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)＋cosαC.eq\f(1,2)＋cosα＋cos3αD.eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋cos5α[答案]B[解析]令n＝1，左式＝eq\f(1,2)＋cosα.故選B.8．(·揭陽一中高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因?yàn)閺膎＝k到n＝k＋1的過渡，增加了(k＋1)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，證明余下的項(xiàng)9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到________．[答案]1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N＋時，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時，當(dāng)n＝1時原式為__________，從k→k＋1時需增添的項(xiàng)是________．[答案]1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．使不等式2n＞n2＋1對任意n≥k的自然數(shù)都成立的最小k值為________．[答案]5[解析]25＝32,52＋1＝26，對n≥5的所有自然數(shù)n,2n＞n2＋1都成立，自己用數(shù)學(xué)歸納法證明之．三、解答題12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．[證明](1)當(dāng)n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時等式成立．即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么當(dāng)n＝k＋1時，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2·(k＋1)－1]即n＝k＋1時等式成立．由(1)、(2)可知，對任何n∈N*等式均成立.一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，則“從k到k＋1”左端需乘的代數(shù)式為()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]n＝k時左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1時左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“從k到k＋1”左端需乘eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．故選B.2．已知數(shù)列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除時，假設(shè)a4k能被4整除，應(yīng)證()A．a(chǎn)4k＋1能被4整除 B．a(chǎn)4k＋2能被4整除C．a(chǎn)4k＋3能被4整除 D．a(chǎn)4k＋4能被4整除[答案]D[解析]在數(shù)列{a4n}中，相鄰兩項(xiàng)下標(biāo)差為4，所以a4k后一項(xiàng)為a4k＋4.故選D.3．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)為()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]由凸n邊形變?yōu)橥筺＋1邊形后，應(yīng)加一項(xiàng)，這個頂點(diǎn)與不相鄰的(n－2)個頂點(diǎn)連成(n－2)條對角線，同時，原來的凸n邊形的那條邊也變?yōu)閷蔷€，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故選C.4．(·湖北重點(diǎn)中學(xué)高二期中聯(lián)考)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)時，從“n＝k到n＝k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式為()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]n＝k時，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1時，等式左邊為(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右邊為2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左邊需增乘2(2k＋1)，故選B.二、填空題5．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時，當(dāng)n＝k時，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時，待證表達(dá)式應(yīng)為________．[答案]1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：①當(dāng)n＝1時，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，不等式成立；②假設(shè)n＝k時，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.則當(dāng)n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以n＝k＋1時等式成立．由此可知對任意正整數(shù)n，等式都成立．以上證明錯在何處？____________.[答案]沒有用上歸納假設(shè)[解析]由數(shù)學(xué)歸納法證明步驟易知其錯誤所在．7．設(shè)S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12.用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn＝eq\f(n2n＋1,2)時，第二步從k到k＋1應(yīng)添加的項(xiàng)為________．[答案]eq\f(k＋2·2k＋1,2)[解析]Sk＋1－Sk＝eq\f(k＋12k＋1＋1,2)－eq\f(k2k＋1,2)＝eq\f(k＋2·2k＋1,2).三、解答題8．在數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，當(dāng)n∈N*時，滿足an＋2＝an＋1＋an，且設(shè)bn＝a4n，求證：{bn}的各項(xiàng)均為3的倍數(shù)．[證明](1)∵a1＝a2＝1，故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3.∴b1＝a4＝3，當(dāng)n＝1時，b1能被3整除．(2)假設(shè)n＝k時，即bk＝a4k是3的倍數(shù)．則n＝k＋1時，bk＋1＝a4(k＋1)＝a(4k＋4)＝a4k＋3＋a4k＋2＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝3a4k＋1＋2a4由歸納假設(shè)，a4k是3的倍數(shù)，故可知bk＋1是3的倍數(shù)．∴n＝k＋1時命題正確．綜合(1)、(2)可知，對于任意正整數(shù)n，數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是3的倍數(shù)．9．(·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計(jì)算a1、a2、a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．[證明](1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)(2)證明：①當(dāng)