2024-2025學(xué)年河南省高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知向量.若，則（）A.-1 B.1 C.2 D.04.已知，且，則（）A.0 B.1 C. D.5.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，則不同的放法有（）A60種 B.64種 C.78種 D.81種6.已知，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則（）A.1 B.2 C. D.8.已知是雙曲線左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的同一支上），且，則（）A.6 B.8 C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A. B.C. D.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.11.如圖，球被一個(gè)距離球心的平面截成了兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個(gè)球缺的球冠面積分別為，兩個(gè)球缺的體積分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則兩個(gè)球缺的底面面積均為B.若，則C.若，則D.若，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，若，則__________.13.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.16.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.17.在拋物線上有一系列點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與軸都相切，且圓與圓彼此外切.已知，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)是上的“距增函數(shù)”；（2）若是上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知是定義在上的“2距增函數(shù)”，求的取值范圍.19.甲?乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，兩人進(jìn)行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.（1）求甲的總得分為0的概率；（2）求甲的總得分為1的概率；（3）若為隨機(jī)變量，則.記甲的總得分為，求2024-2025學(xué)年河南省高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解一元二次不等式得集合，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求出即可.【詳解】依題意，，則，所以.故選：D3.已知向量.若，則（）A.-1 B.1 C.2 D.0【正確答案】A【分析】由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得答案.【詳解】由，則，因?yàn)?，所以，即，解?故選：A4.已知，且，則（）A.0 B.1 C. D.【正確答案】B【分析】利用二倍角公式公式推導(dǎo)出，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，所以.故選：B5.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，則不同的放法有（）A.60種 B.64種 C.78種 D.81種【正確答案】C【分析】利用間接法，4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中的放法減去將4個(gè)球放入同一個(gè)盒子中的放法即得.【詳解】不考慮每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，有種放法.若將4個(gè)球放入同一個(gè)盒子中，有3種放法.故不同的放法有種.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式計(jì)算找到關(guān)系式；【詳解】因?yàn)?，所以，，故故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】由圖象找到周期求出，根據(jù)圖象中已知點(diǎn)代入求出，得到函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律得出，計(jì)算得出結(jié)果．【詳解】由圖可知，則，解得.因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得因?yàn)椋?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.故.因?yàn)?，所?.故選：D.8.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的同一支上），且，則（）A.6 B.8 C. D.【正確答案】D【分析】首先由雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程，然后借助直線與雙曲線聯(lián)立，得到和與積的關(guān)系，再由，得到的等量關(guān)系，從而解出的值，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出得長(zhǎng).【詳解】由可得.根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立可得.設(shè)，則.①由，則，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A B.C. D.【正確答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及原則，以及條件一一判斷即可.【詳解】依題可知，，故C正確，D錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，A正確.因?yàn)?，所?.8，B正確.故選：ABC10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.【正確答案】ABD【分析】A.令求解判斷；B.分別令，求解判斷；C.令利用函數(shù)奇偶性定義判斷；D.令求解判斷.【詳解】令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤.令，得，所以D正確.故選：ABD11.如圖，球被一個(gè)距離球心的平面截成了兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個(gè)球缺的球冠面積分別為，兩個(gè)球缺的體積分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則兩個(gè)球缺的底面面積均為B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】BCD【分析】根據(jù)勾股定理結(jié)合圓的面積公式計(jì)算判斷A錯(cuò)誤；根據(jù)截面的面積和球的體積公式根據(jù)不同條件計(jì)算進(jìn)行判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，設(shè)這兩個(gè)球缺的底面圓半徑為，則，因?yàn)?，，解得，該圓的面積為A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)兩個(gè)球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對(duì)于C，.設(shè)，由，得，則，C正確.對(duì)于D，.由，得.設(shè)函數(shù)，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即D正確.故選：BCD.方法點(diǎn)睛：關(guān)于球的截面問(wèn)題常用勾股定理求解截面半徑和球的半徑；三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，若，則__________.【正確答案】1【分析】依題意可得，再由下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，顯然，所以，則，故.故13.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為_(kāi)_________.【正確答案】##【分析】由條件可知為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定關(guān)系，由此可求離心率.【詳解】取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設(shè)，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是．故答案為.14.已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】由方程有4個(gè)不同的根，且方程有1，2兩個(gè)根，則方程有2個(gè)不同的根，且，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】解：由題意可得方程有4個(gè)不同的根，方程的2個(gè)根為，則方程有2個(gè)不同的根，且，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以解?要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需直線的斜率大于，故的取值范圍為.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，，再由三角形內(nèi)角和可得，即可求解；（2）先應(yīng)用正弦定理和余弦定理求邊長(zhǎng)，再結(jié)合面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?【小問(wèn)2詳解】.由正弦定理，解得.由余弦定理，得，解得（舍去）.在中，，所以.16.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可得.（2）作，垂足為，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由三角形全等，得出，從而建立空間坐標(biāo)系利用空間向量解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槭堑妊苯侨切?，為中點(diǎn)，所以，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，又為的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，故.【小問(wèn)2詳解】在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.17.在拋物線上有一系列點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與軸都相切，且圓與圓彼此外切.已知，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先計(jì)算，結(jié)合設(shè)拋物線定義可得，解得的值.（2）因?yàn)閳A與圓彼此外切，得結(jié)合拋物線方程化簡(jiǎn)得，從而數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而.（3）由（2）得，利用錯(cuò)位相減進(jìn)而求得答案；【小問(wèn)1詳解】，設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，根據(jù)題意可知，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A與圓彼此外切，所以則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋詳?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即.故.【小問(wèn)3詳解】，兩式相減得.令，則.兩式相減得，所以.所以.，即.18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)是上的“距增函數(shù)”；（2）若是上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知是定義在上的“2距增函數(shù)”，求的取值范圍.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合增函數(shù)得證明是上的“距增函數(shù)”；（2）根據(jù)“距增函數(shù)”的定義，可得，解不等式求得的取值范圍；（3）根據(jù)是定義在上的“2距增函數(shù)”，有，對(duì)分類討論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，所以，所以是上的“距增函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭巧系摹熬嘣龊瘮?shù)”，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以無(wú)解，即，解得（舍去）.所以的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)槭嵌x在上的“2距增函數(shù)”，所以.①若，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立.②若，則.因?yàn)?，所?令，則，即.令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.③若，則.由（2）可得，要使得是定義在上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足.當(dāng)時(shí)，.綜上，的取值范圍為.19.甲?乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，兩人進(jìn)行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.（1）求甲的總得分為0的概率；（2）求甲的總得分為1的概率；（3）若為隨機(jī)變量，則.記甲的總得分為，求.【正確答案】（1）（2）（3）2【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性，不妨固定乙六輪選卡的數(shù)字依次為